6.4. Расчет фсс на пьезоэлектрических фильтрах

Пьезоэлектрическими называют фильтры, состоящие из пьезоэлектрического резонатора, индуктивностей и ёмкостей. Основное их достоинство высокая избирательность и высокая стабильность характеристик.

Основной элемент фильтра – пьезоэлектрический резонатор, состоящий из пьезоэлектрической пластины (пьезоэлемента) с электродами и держателем.

Рис. 6.12. Эквивалентная схема (а) и зависимость сопротивления эквивалентного двухполюсника от частоты (б) пьезоэлектрического резонатора.

Пьезоэлектрическую пластину изготавливают из кварца, виннокислого калия и пьезокерамики.

В пьезоэлектрическом резонаторе имеют место как прямой так и обратный пьезоэффекты. Обратный пьезоэффект - при приложении электрического напряжения к пьезоэлектрику, в нем возникают механические колебания.

При расчете пьезоэлектрический резонатор заменяется эквивалентной электрической схемой, состоящей из последовательно соединенных индуктивности , емкостии сопротивления, зашунтированных емкостью(Рис. 6.12а)

Последовательную емкость называют динамической емкостью в отличие от статической емкости, представляющей собой емкость конденсатора, образованного электродами с пьезоэлектрической пластиной в качестве диэлектрика.

Сопротивление характеризует потери, которые оцениваются с помощью добротности резонатора. Для кварцевых резонаторов добротность лежит в пределах.

Частота последовательного резонанса резонатора равна:

;

(6.14)

Частота параллельного резонанса равна:

;

(6.15)

Кривая зависимости сопротивления эквивалентного двухполюсника от частоты показана на рис. 6.12 б.

Интервал называют резонансным промежутком пьезоэлектрического резонатора. Кроме основного резонанса пьезоэлектрический резонатор имеет еще ряд дополнительных резонансов на гармониках.

В зависимости от диапазона частот используется тот или иной тип колебаний пластины. Для частот ниже применяются бруски с колебаниями изгиба.

Для частот используются пластины с продольными колебаниями по длине на основной частоте.

В диапазоне применяются резонаторы с колебаниями по длине на гармониках. В диапазонеприменяются резонаторы с колебаниями сдвига по толщине на основной частоте и на гармониках, а для частот выше- резонаторы с колебаниями сдвига по толщине на гармониках.

Пьезоэлектрическая пластина имеет прямоугольную или круглую форму. Электродами являются тонкие пленки металла, нанесенные на большие грани пластины. В зависимости от требований к фильтру в нем используются пластины различных срезов. Срез пластины кварца определяется по углу распиловки кристалла пьезоэлектрика относительно его осей . Наиболее употребительными являются срезы

В таблице 6.3 даны формулы для расчета параметров резонатора с колебаниями сдвига по толщине В качестве материала в данном случае чаще всего используется кварц. Толщина пластины, площадь пластины, частота

Таблица 6.3

Характеристики	Срез	Срез
Диапазон частот,
Частота
Индуктивность
Емкость
Отношение емкостей
Температурный коэффициент

Для построения схем пьезоэлектрических фильтров чаще всего используются мостовая схема и схемы лестничного типа.

Расчет мостовой схемы полосового фильтра с резонатором в одном плече и конденсатором в другом

Схема фильтра содержит в одной паре плеч по резонатору и в другой – по конденсатору (Рис. 6.13а). На рис. 6.13б приведена эквивалентная электрическая схема (симметричная часть схемы не показана).

Рис.6.13.: Принципиальная (а) и эквивалентная (б) мостовая схема полосового фильтра с резонатором в одном плече.

Емкость равна сумме статической ёмкости резонатораи ёмкости добавочного конденсаторат.е.

,

(6.16)

где и– динамические параметры кварца.

Чем больше ёмкость добавочного конденсатора, тем уже полоса пропускания фильтра. Наибольшая ширина этой полосы получается при отсутствии добавочного конденсатора т.е.

;

(6.17)

Относительная полоса для фильтров с резонаторами из кварца при колебаниях на толщине не более , а для резонаторов из виннокислого калия.

Различают фильтры с полюсами затухания выше и нижерабочей частоты, а также с полюсом затухания в бесконечности, где:

;

(6.18)

Средняя частота настройки фильтра

;	(6.19)
;	(6.20) (6.21)
;	(6.22) (6.23)
; ;	(6.24) (6.25)
;		(6.26)
.		(6.27)

Фильтр нагружен на согласованную нагрузку, если:

(6.28)

Затухание однозвенного фильтра без полюсов затуханияза пределами полосы пропускания в зависимости от нормированной частотыи при условии согласованиявычисляется по формуле:

;	(6.29)
	(6.30)

Если однозвенный фильтр даёт недостаточную избирательность, применяют двухзвенный мостовой фильтр. Тогда затухания вычисляют по формуле:

(6.31)

Потери в полосе пропускания определяют для однозвенного фильтра по формуле:

(6.32)

- для двухзвенного фильтра по формуле:

,	(6.33)
,	(6.34)

где - добротность резонатора

Примечание: при численных расчетах полезно запомнить следующие соотношения:

Пример 6.4. Требуется рассчитать пьезоэлектрический фильтр (мостовая схема с резонатором в одном плече).

Исходные данные: номинальная рабочая частота 8 МГц; полоса пропускания 20КГц; ослабление на частоте 8,1МГц должно быть не менее ; сопротивление нагрузки; фильтр должен иметь стабильные характеристики в диапазоне температур-60⁰С– +85⁰С.

1. Средняя частота настройки фильтра:

Полоса пропускания фильтра:

Относительная полоса пропускания фильтра:

Пьезоэлектрический резонатор выполним на кварцевой пластине среза с колебаниями сдвига по толщине.

2. Расчет параметров фильтра. Выбираем фильтр без полюсов затухания: и.

Характеристическое сопротивление фильтра берем равным сопротивлению нагрузки, т.е..

По формуле (6.30) находим нормированную расстройку на частоте.

По формуле (6.29) определяем ослаблением частоты в однозвенном фильтре

Итак, однозвенный фильтр не обеспечивает заданных требований по ослаблению частоты на.

Двухзвенный фильтр (6.31) дает:

что соответствует требованиям с запасом.

Потери на средней частоте полосы пропускания определяем по формуле (6.33):

где находим по формуле (6.34)

Таким образом, для обеспечения заданной избирательности необходим двухзвенный фильтр. Поскольку выбран фильтр без полюсов затухания, то в соответствии с (6.24) и (6.25) имеем:

Параметры кварцевого резонатора согласно (6.20)÷(6.23) равны:

3. Параметры кварцевой пластины среза находим, пользуясь таблицей 6.3.

Толщина пластинки:

Площадь кварцевой пластинки:

Параллельная емкость резонатора:

Поскольку дополнительного конденсатора в цепи резонатора не требуется. Электрическая схема двухзвенного мостового фильтра показана на рис. 6.14.

Рис. 6.14. Электрическая схема двухзвенного мостового пьезоэлектрического фильтра с резонатором в одном плече.

На схеме (Рис. 6.14) все пьезоэлектрические резонаторы должны быть одинаковыми и соответствовать рассчитанным параметрам. Конденсаторы в противоположных плечах мостатакже одинаковы и равны.

Расчет мостовой схемы полосового фильтра с резонатором в каждом плече.

Улучшить фильтрующие свойства можно в мостовой схеме фильтра с резонатором в каждом плече (Рис. 6.15а).

Рис. 6.15. Принципиальная (а) и эквивалентная (б) мостовая схема полосового фильтра с резонатором в каждом плече:

На рис. 6.15б показана эквивалентная электрическая схема (симметричная часть не показана). На рис. 6.15 имеют место следующие обозначения:

- пьезоэлектрический резонатор с параметрами и;

,

где - статическая емкость резонатора;

- емкость добавочного конденсатора.

При симметричном расположении полюсов затухания относительно средней частоты полосы пропускания фильтра формулы для расчета элементов фильтра имеют вид:

; ; ; ; ; ; ; ; ,

(6.35) (6.36) (6.37) (6.38) (6.39) (6.40) (6.41) (6.42) (6.43)

где ;

; ; ,

(6.44) (6.45) (6.46)

где и- частоты полюсов затухания слева и справа отсоответственно; характеристическое сопротивление.

(6.47)

Затухание фильтра за пределами полосы находятся по формуле (6.31), потери в полосе пропускания по формуле (6.33).

Пример 6.5. Требуется рассчитать пьезоэлектрический фильтр (мостовая схема с резонатором в каждом плече).

Исходные данные: номинальная рабочая частота 10МГц; полоса пропускания 20КГц; избирательность по соседнему каналу S_ск=40дБ; частота соседнего канала f_ск=10,1МГц; интервал температур от -60⁰С- +85⁰С.

1. Относительная полоса пропускания фильтра равна:

, где ;.

Пьезоэлектрический резонатор выполняем на кварцевой пластине среза с колебаниями сдвига по толщине.

2. Расчет параметров фильтра. Выбираем фильтр с симметричным расположением полюсов затухания слева и справа от полосы затухания, т.е.

По формулам (6.35)÷(6.43) находим:

Задаемся характеристическим сопротивлением фильтра , тогда:

Считаем, что фильтр согласован на входе и выходе т.е. и.

Определяем расстройку на частоте соседнего канала:

По формуле (6.31) находим ослабление соседнего канала:

Это с избытком обеспечивает заданные требования . Потери фильтра в полосе прозрачности находим по формуле (6.33)

, где

3. Расчет параметров кварцевых пластин резонатора.

Параметры пластин кварцевого резонатора среза находим, пользуясь таблицей 6.3.

Первый резонатор .

Толщина кварцевой пластинки:

Площадь пластины:

Параллельная емкость резонатора (емкость кварцедержателя):

Емкость дополнительного конденсатора:

Второй резонатор .

Толщина кварцевой пластинки:

Площадь пластины:

Параллельная емкость резонатора (емкость кварцедержателя):

Емкость дополнительного конденсатора:

Ввиду симметрии мостовой схемы параметры

;

;

Электрическая схема фильтра приведена на рис. 6.16.

Рис. 6.16. Электрическая схема одного звена мостового

пьезоэлектрического фильтра с резонаторами в каждом плече..