
- •Глава 1. Векторная алгебра
- •§ 1. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора
- •Линейные операции над векторами
- •Замечания
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Скалярное произведение векторов
- •Примеры решения задач
- •Решение. Векторы и заданы координатами в ортонормированном базисе, поэтому:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 3. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения:
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
1.Определить, какой
является тройка
(правой или левой), если
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
Ответ. 1) правая; 2) левая; 3) левая; 4) правая; 5) векторы коллинеарны; 6) левая.
2. Вектор
перпендикулярен к векторам
и
,
угол между ними равен
.
Зная, что
,
вычислить
.
Ответ.
.
3. Доказать, что
.
В каком случае здесь может иметь место
знак равенства?
Ответ. В том случае,
когда векторы
,
и
взаимно перпендикулярны.
4. Доказать тождество
,
где
и –
какие угодно числа.
5. Показать, что
четырехугольник с вершинами
,
,
и
есть квадрат.
6. Установить,
компланарны ли векторы
,
если
,
,
.
Ответ. Да.
7. Установить, лежат
ли в одной плоскости точки
,
,
и
.
Ответ. Да.
8. В тетраэдре с
вершинами
,
,
и
найти площадь граниАВСD
и длину высоты, проведенной к этой грани.
Ответ.
кв. ед.;
.
9. Объем тетраэдра
,
три его вершины находятся в точках
,
,
.
Найти координаты четвертой вершины
,
если известно, что она лежит на осиОу.
Ответ.
,
.
10. Объем тетраэдра
равен 2. Вершины лежат в т.
,
и
.
Найти коэффициенты вершины
,
если известно, что она лежит на оси
абсцисс и тройка векторов
,
,
– левая. Найти высоту тетраэдра, опущенную
из вершины
.
Ответ.
;
.
Таблица 1