
- •Глава 1. Векторная алгебра
- •§ 1. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора
- •Линейные операции над векторами
- •Замечания
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Скалярное произведение векторов
- •Примеры решения задач
- •Решение. Векторы и заданы координатами в ортонормированном базисе, поэтому:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 3. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения:
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
1. Векторы
и
образуют угол
.
Зная, что
вычислить
.
Ответ. 15.
2. Даны
,
.
Вычислить
.
Ответ. 16.
3. Векторы
и
взаимно перпендикулярны. Зная, что
,
вычислить
1), 2)
.
Ответ. 1) 24, 2) 60.
4. Векторы
и
образуют угол
.
Зная, что
,
вычислить
1)
, 2)
, 3)
.
Ответ. 1) 3, 2) 27, 3) 300.
5. Найти орт
,
перпендикулярный векторам
и
.
Ответ.
.
6. Вычислить площадь
треугольника с вершинами
,
и
.
Ответ. 14 кв. ед.
7. Сила
приложена к точке
.
Найти момент этой силы относительно
начала координат.
Указание: если
–
сила, прилаженная к точкеМ,
то момент этой силы относительно точки
А
равен векторному произведению векторов
и
.
Ответ.
.
8. Дана сила
и точки ее приложения
.
Найти момент этой силы относительно
точки
и углы, составляемые им с координатными
осями.
Ответ.
;
,
,
.
9. Даны векторы
и
.
Найти векторное произведение
.
Ответ.
.
10. Дан треугольник
с вершинами
,
и
.
Найти длину его высоты, проведенной из
вершиныС.
Ответ. 10.
§ 4. Смешанное произведение векторов
Основные теоретические сведения
Смешанным
произведением упорядоченной тройки
векторов
называют число
(векторно-скалярное произведение).
Свойства смешанного произведения:
1.
.
Это свойство позволяет ввести для
смешанного произведения обозначение
.
2. Циклическая
перестановка векторов не меняет величины
смешанного произведения, т.е.
3.
гдеV
– объем
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
а
– объем пирамиды, построенной на векторах
.
4. Для того чтобы
векторы
были компланарны, необходимо и достаточно,
чтобы их смешанное произведение равнялось
нулю.
Замечание. Из определения смешанного произведения следует, что смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей хотя бы два вектора коллинеарны.
Если векторы заданы
своими координатами в ортонормированном
базисе
:
,
то их смешанное произведение вычисляется
в виде
.
5. Если
– тройка векторов называется правой,
– левой.
Примеры решения задач
Задача 4.1.
Вычислить смешанное произведение
векторов
.
Решение. Способ 1.
или
Способ 2.
Ответ. –2
Задача 4.2.
Упростить выражение:
Решение.
Ответ. 3.
Задача 4.3.
Векторы
образуют правую тройку, взаимно
перпендикулярны и
Вычислить
.
Решение.
по определению скалярного произведения
векторов
и
.
Из определения
векторного произведения векторов
и
следует, что
.
Следовательно, угол между векторами
и
равен нулю и косинус этого угла равен
1. Тогда
Ответ. 24.
Задача 4.4.
Дано:
и
.
Вычислить
.
Решение.
.
Ответ. –7.
Замечание.
Векторы
образуют левую тройку.
Задача 4.5.
Установить, образуют ли векторы
и
базис в множестве всех векторов.
Решение.
Смешанное
произведение векторов
оказалось равным нулю, следовательно,
эти вектора компланарны, а значит,
базисом в множестве всех векторов они
быть не могут.
Ответ. Не образуют.
Задача 4.6.
Доказать тождество
.
Решение.
Все слагаемые – смешанные произведения; те из слагаемых, в которых два вектора совпадают, равны нулю.
Задача 4.7.
Доказать, что если
,
причем хотя бы одно из чисел
отлично от нуля, то векторы
–
компланарны.
Решение.
Пусть
.
Умножим обе части данного равенства
скалярно на вектор
.
Получим
–
компланарны. Что и требовалось доказать.
Задача 4.8. Вычислить объем тетраэдра OABC, если
.
Решение. Объем тетраэдра равен шестой части объема параллелепипеда, следовательно:
Ответ.
Задача 4.9.
В тетраэдре с вершинами в точках A(1,1,1)
B(2,0,2),
C(2,2,2)
и Dвычислить высоту
.
Решение.
Таким
образом
|
Рис. 1.19 |
Ответ.
.
Задача 4.10. Доказать, что четыре точки A(1,2,–1), B(0,1,5), C(–1,2,1) и D(2,1,3) лежат в одной плоскости.
Решение.
Достаточно убедиться в том, что, например,
векторы
и
компланарны:
Что и требовалось доказать.