
- •Глава 1. Векторная алгебра
- •§ 1. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора
- •Линейные операции над векторами
- •Замечания
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Скалярное произведение векторов
- •Примеры решения задач
- •Решение. Векторы и заданы координатами в ортонормированном базисе, поэтому:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 3. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения:
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
1. Векторы
и
взаимно перпендикулярны; вектор
образует с ними углы, равные
;
зная, что
,
вычислить:
1); 2)
;
3)
.
Ответ. 1) – 62, 2) 162, 3) 373.
2. Доказать
справедливость тождества
и выяснить его геометрический смысл.
3. Векторы
попарно образуют друг с другом углы,
каждый из которых равен
.
Зная, что
,
определить модуль вектора
.
Ответ.
.
4. Векторы
и
образуют угол
;
зная, что
вычислить угол
между векторами
и
.
Ответ.
.
5. Даны векторы
вычислить: 1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
Ответ. 1) 22, 2) 6, 3) 7, 4) –200, 5) 129, 6) 41.
6. Даны точки А(–1,3,–7), В(2,–1,5), С(0,1,–5).
Вычислить 1),
2)
,
3)
,
4) найти координаты вектора
и
.
Ответ. 1) –524, 2) 13,
3) 3, 4)
и
.
7. Даны вершины четырёхугольника А(1,–2,2), В(1,4,0), С(–4,1,1), D(–5,–5,3). Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны.
8. Найти вектор
,
коллинеарный вектору
и удовлетворяющий условию
.
Ответ.
.
9. Даны два вектора
.
Найти вектор
при условии, что он перпендикулярен к
осиOz
и удовлетворяет условиям
.
Ответ.
.
10. Найти проекцию
вектора
на ось, составляющую с координатными
осямиOx,
Oz
углы
и
,
а с осьюOy
– острый
угол .
Ответ. –3.
11. Даны три вектора:
Вычислить
.
Ответ. –11.
12. Вычислить длину
диагоналей параллелограмма, построенного
на векторах
,
если известно, что
и угол между ними
.
Ответ. 15,
.
13. Вычислить
,
если
и угол между ними
.
Ответ.
.
14. Найти длины
сторон и величины углов треугольника
с вершинами
,В(–4,–2,0),
С(3,–2,1).
Ответ.
,
,
,
,
.
15. Для заданных
векторов
вычислить
а)
б)
Ответ. а)
,
б)
.
16. Найти косинус угла между диагоналями АС и BD параллелограмма, если заданы три его вершины А(2,1,3), В(5,2,–1) и С(–3,3,–3).
Ответ.
.
17. Даны векторы
,
и
.
Найти
,
если
,
,
.
Ответ.
.
§ 3. Векторное произведение векторов
Основные теоретические сведения
Определение.
Векторным
произведение вектора
на вектор
называется такой вектор
,
который удовлетворяет следующим трем
условиям:
1.
и
,
т.е. вектор
перпендикулярен плоскости, в которой
можно расположить векторы
и
;
2.
т.е. длина вектора
численно равна площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
;
3. упорядоченная
тройка векторов
– правая, т.е. если привести векторы к
общему началу и смотреть с конца вектора
,
то кратчайший поворот от
к
должен быть виден против часовой стрелки
(рис. в табл.1).
Векторное
произведение обозначают
или
.
Из определения векторного произведения
следует, например, что при
,
т.е. необходимым и достаточным условием
равенства нулю векторного произведения
является коллинеарность векторов.
Алгебраические свойства векторного произведения
1)
;
2)
;
3)
.
Если векторы
и
заданы своими координатами в
ортонормированном базисе
(в декартовой системе координат)
,
то векторное произведение в том же
базисе вычисляется так:
,
.
Векторное произведение векторов широко используется в геометрии, механике, физике, теории поля и т.д.
Примеры решения задач
Задача 3.1.
Дано:
;
и
.
Вычислить:
;
;
.
Решение.
1. По определению
.
Ответ.
.
2. Используя свойства
векторного произведения, преобразуем
произведение
.
Следовательно,
.
Ответ.
.
3. Аналогично
.
Ответ.
.
Задача 3.2.
Дано:
,
и
.
Вычислить
.
Решение.
По определению скалярного произведения
.
По условию
,
следовательно,
.
Тогда
.
Таким образом,
.
Ответ.
.
Задача 3.3.
Какому условию должны удовлетворять
ненулевые векторы
и
,
чтобы векторы
и
были коллинеарны?
Решение.
Если векторы коллинеарны, то их векторное
произведение равно нулю, т.е.
.
Следовательно, по
свойствам векторного произведения
векторы
и
коллинеарны (сонаправлены или
противонаправлены).
Замечание. К такому же выводу можно прийти, если вспомнить, что сумма и разность двух векторов – это векторы, совпадающие с диагоналями параллелограмма, построенного на исходных векторах.
Ответ.
.
Задача 3.4. Упростить выражения:
1.
;
2.
;
3.
.
Решение.
1.
,
т.к. вектор
совпадает по определению с вектором
,
а
с вектором
.
Ответ.
.
2.
.
Ответ.
.
3.
.
Здесь мы воспользовались свойством скалярного квадрата вектора.
Ответ. 3.
Задача 3.5.
Дано:
.
Вычислить площадь треугольника,
построенного на векторах
и
.
Решение.
Площадь треугольника равна половине
площади параллелограмма, построенного
на тех же векторах. Следовательно:
,
,
.
Ответ.
.
Задача 3.6.
Дано:
,
.
Найти координаты векторов:
1.
;
2.
.
Решение.
Способ 1.
,
тогда
.
Ответ.
.
2.
.
Тогда
.
Ответ.
.
Способ 2. Можно, воспользовавшись свойствами векторного произведения, сначала преобразовать искомое произведение (как мы это делали в задача 3.3 и 3.4):
1.
.
2. Этот пункт решается аналогично.
Задача 3.7.
В треугольнике с вершинами
,
и
найти
.
Решение.
Из определения векторного произведения
имеем
(рис. 1.18). С другой стороны,
.
Следовательно,
,
.
Рис. 1.18
Аналогично
,
;
,
.
Таким образом,
.
Ответ. 5.
Задача 3.8.
Сила
приложена к точке
.
Определить момент этой силы относительно
точки
.
Решение.
Если вектор
изображает силу, приложенную к какой-либо
точкеА,
а вектор
имеет начало в точкеО
и конец в точке А,
то вектор
представляет собой момент силы
относительно точкиО.
Таким образом, нам необходимо вычислить
.
Ответ.
.
Задача 3.9.
Найти координаты вектора
,
если известно, что он перпендикулярен
векторам
и
,
образует с ортом
тупой угол и
.
Решение.
По условию
,
:
.
Вектор
,
,
причем
,
т.к. вектор
так же, как и вектор
,
образует с ортом
тупой угол (проекция вектора
на направление орта
равна отрицательному числу -12).
Следовательно,
.
Итак,
.
Ответ.
.
Задача 3.10.
Найти площадь параллелограмма, диагонали
которого
и
.
Угол между диагоналями
.
Решение.
По свойствам параллелограмма, известно:
,
а
.
Тогда по условиям
задачи
,
.
Складывая и вычитая полученные уравнения, будем иметь
,
.
Найдем векторное произведение, используя его свойства.
.
Площадь
параллелограмма:
.
Ответ.
.
Задача 3.11.
Даны векторы
и
,
приложенные к общей точке. Найти орт
биссектрисы угла между векторами
и
.
Решение.
Найдем длины векторов
и
:
и
.
Биссектриса
совпадает с диагональю ромба, поэтому
найдем орты векторов
и
,
и сложим их:
.
.
Длина вектора:
.
Орт вектора
:
.
Ответ:
.
Задача 3.12.
Вектор
перпендикулярный к оси
и вектору
,
образует острый угол с осью
.
Зная, что
.
Найти его координаты.
Решение.
Способ 1:
Пусть
.
по условию, т.к.
,
т.к.
–
острый угол;
,
т.е.
.
Составим систему уравнений и решим ее.
,
,
,
,
,
,
не подходит, т.к.
по условию.
Итак,
.
Способ 2. Используем векторное произведение.
,
,
,
.
,
вычислим вектор
:
.
Получили
,
по условию
.
,
подходит
,
т.к.
по условию.
Итак,
.
Ответ:
.