
- •Глава 1. Векторная алгебра
- •§ 1. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора
- •Линейные операции над векторами
- •Замечания
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Скалярное произведение векторов
- •Примеры решения задач
- •Решение. Векторы и заданы координатами в ортонормированном базисе, поэтому:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 3. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения:
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
1. По данным векторам
и
построить каждый из следующих векторов:
1)+
;
2)
–
;
3)
–
;
4) –
–
.
2. Векторы
и
образуют угол
,
причём
и
.
Определить
и
.
Ответ.
.
3. Какому условию
должны удовлетворять векторы
и
,
чтобы имели место следующие соотношения:
1)
,
2)
,
3)
.
Ответ. 1) Векторы взаимно перпендикулярны.
2) Угол между векторами должен быть острым.
3) Угол между векторами должен быть тупым.
4. Какому условию
должны удовлетворять векторы
и
,
чтобы вектор
+
делил
пополам угол между
и
.
Ответ.
.
5. По данным векторам
и
построить
каждый из следующих векторов:
1) 3; 2)
; 3)
; 4)
.
6. В параллелепипеде
заданы векторы, совпадающие с его рёбрами
Построить каждый из следующих векторов:
1)
,
2)
.
7. Даны два вектора
и
.
Определить проекции на координатные
оси следующих векторов:
1)
+
; 2)
-
;
3)
2
;
4)
; 5)
2
+3
; 6)
.
Ответ. 1)2)
3)
4)
5)
6)
.
8. Определить при
каких ,
векторы
и
коллинеарны.
Ответ. =4, =–1.
9. Принимая в
качестве базиса векторы
и
,
совпадающие со сторонами треугольникаABC,
определить разложение векторов,
приложенных вершинах треугольника и
совпадающих с его медианами.
Ответ:
,
,
гдеM,N,P
– середины
сторон треугольника АВС.
10. Даны точки
А(3,–1,2)
и В(–1,2,1).
Найти координаты векторов
и
.
Ответ.,
.
11. Проверить
коллинеарность векторов
и
.
Установить, какой из них длиннее и во
сколько раз, как они направлены: в одну
или в противоположные стороны.
Ответ.
длиннее в три раза,
и
направлены в противоположные стороны.
12. Разложить вектор
по трём некомпланарным векторам:
.
Ответ.
.
13. Доказать, что
для любых заданных векторов
векторы
,
,
компланарны.
14. В тетраэдре OABC
медиана AL
грани ABC
делится точкой М
в отношении
.
Найти координаты вектора
в базисе из рёбер
.
Ответ.
.
15. В тетраэдре
ABCD,
DM–
медиана грани BCD
и Q–
центр масс этой грани. Найти координаты
векторов
и
в базисе
.
Ответ.
,
.
16. Заданы векторы
и
.
Разложить вектор
по базису векторов
.
Ответ.
.
17. Показать, что
тройка векторов
,
,
образует базис в множестве всех векторов
пространства. Найти координаты вектора
в базисе
.
Ответ.
.
18. Дан вектор
.
Найти
,
если
,
,
.
Ответ.
или
.
§ 2. Скалярное произведение векторов
Основные теоретические сведения
Определение.
Скалярным произведением векторов
и
называется число
,
где
–
длины векторов
и
,
а
–
угол межу этими векторами.
Скалярное
произведение обозначается
или
.
Из определения
следует, что
Свойства скалярного произведения.
1.
–
коммутативность произведения.
2.
–
ассоциативность относительно числового
множителя.
3.
–
дистрибутивность суммы.
4. Скалярное
произведение
называется скалярным квадратом вектора
и обозначается
.
Из определения скалярного произведения
следует:
,
т.е. скалярный квадрат вектора равен
квадрату его модуля (длины).
5.
6. Если векторы
заданы своими координатами в
ортонормированном базисе
и
,
то
.
Косинус угла между
векторами:
.
Если вектор
изображает силу, точка приложения
которой перемещается из начала в конец
вектора
,
то работаА
этой силы вдоль указанного пути,
определяется равенством
.