Примеры решения задач

Задача 1.1. Построить вектор , если известны векторыи.

Решение. Из одного начала строим векторы (рис. 1.5) и. Далее строим параллелограмм со сторонойАВ и диагональю АС (рис. 1.6). Тогда по правилу параллелограмма .

С D C

А В A B

Рис. 1.5 Рис. 1.6

Задача 1.2. Векторы ивзаимно перпендикулярны, причемОпределитьи.

Решение. Так как , то параллелограмм, построенный на этих векторах, будет прямоугольникомABCD (рис. 1.7) и D C

или . Из прямоугольного треугольника

АВС имеем илиА В

Рис. 1.7

Так как модуль вектора есть величина неотрицательная, то .

Ответ. .

Задача 1.3. Векторы иобразуют угол, причем. Определитьи.

Решение. Векторы иприводим к общемуD C

началу и строим параллелограмм ABCD

(рис. 1.8). По условию задачи ;А В

тогда . Рис. 1.8

Вспомним, что углом между векторами иназывается наименьший из двух углов между векторами, приведенными к общему началу, т.е.. По правилу параллелограмма. Изимеем

или

.

Аналогично из имеем

или

Ответ:

Задача 1.4. В параллелепипеде (рис. 1.9) заданы векторы, совпадающие с его ребрами:Построить векторы

и .

Решение.

1) Для построения вектора по правилу многоугольника рассмотрим ломаную из векторов :, где. Векторзамыкающий построенную ломаную, будет искомым вектором (рис. 1.9).

2) Вектор будет замыкающим для ломаннойABCM (рис. 1.10), где

Рис. 1.9 Рис. 1.10

3) Для определения вначале строим(по правилу параллелограмма), затем находим разностьследовательно,.

Ответ. 1) , 2), 3).

Задача 1.5. Найти единичный вектор, коллинеарный данному вектору .

Решение. Искомый вектор , так как. Следовательно, имеем два решения.

Ответ. .

Задача 1.6. Векторы ислужат сторонамиD C

параллелограмма ABCD. Выразить через иM

векторы , гдеМ– точка пересечения А В

диагоналей (рис. 1.11) параллелограмма. Рис. 1.11

Решение. По правилу сложения ,используя определение произведения вектора на число, имеем, но. Следовательно,. Аналогично

Задача 1.7. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Доказать равенство (Вспомним, что нуль-вектор – это вектор, модуль которого равен нулю, а направление не определено).

Решение. Рассмотрим векторы (рис. 1.12). Очевидно, что. Векторывыразим через,,, откуда

С D Е А F B Рис. 1.12

Задача 1.8. Найти зависимость между векторами и, если

Решение. Так как , то существует числотакое, что. Следовательно,

Ответ. .

Задача 1.9. Векторы изависимы с коэффициентами 4, –3, т.е.. Показать, что они коллинеарны.

Решение. .

Задача 1.10. Векторы линейно зависимы с коэффициентами 4, 6, –2, т.е.. Показать, что они компланарны.

Решение. Из следует, что. Следовательно,совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторахипараллельны одной плоскости, а т.к.тотоже параллельны одной плоскости (компланарны).

Задача 1.11. Даны три некомпланарных вектора . Доказать, что векторы,компланарны.

Решение. По условию задачи следует доказать, что существует линейная комбинация векторов такая, чтои. Рассмотрим. Используя свойства сложения векторов и умножения вектора на число, последнее равенство запишем в виде:

.

Так как по условию задачи векторы независимы, то их линейная комбинация равна нулю только при нулевых коэффициентах, следовательно,

Откуда имеем , где– произвольная постоянная, отличная от нуля. Таким образом, получим, где.

Задача 1.12. В ромбе ABCD ,(рис. 1.13). Разложить по векторамивекторыи.

Решение.

.

D A K C B Рис. 1.13

D Q C A M B Рис. 1.14

Задача 1.13. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 1.14),DM – медиана грани DBC. Найти разложение вектора по векторам

Решение. где– половина диагонали параллелограмма, построенного на векторахи. Следовательно,. Таким образом,

Ответ.

Задача 1.14. В задаче 1.13 точка Q (рис. 1.14) – точка пересечения медиан грани BCD. Найти координаты вектора в базисе

Решение. Для определения координат вектора разложим его по направлению векторов

Следовательно, координаты в базисеесть. Символически это записывается так:

Задача 1.15. Известно разложение векторов ипо базису. Найти в данном базисе координаты вектора

Решение. Имеем откудаиИскомый вектор=

Ответ.

Задача 1.16. Проверить коллинеарность векторов и

Решение. Так как координаты векторов пропорциональны, то . Из сравнения координатиследует, чтоследовательно,

Задача 1.17. В треугольнике с вершинами в точках определить расстояние от вершиныС до точки пересечения медиан треугольника (точка М на рис. 1.15).

А N M B C Рис. 1.15

Решение. Пусть N – середина стороны AB, тогда Следовательно, искомое расстояние равно модулю вектора:

,

так как

то

.

Ответ.

Все формулы, необходимые для самостоятельного решения задач, приведены в таблице 1, в конце главы.