
- •Глава 1. Векторная алгебра
- •§ 1. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора
- •Линейные операции над векторами
- •Замечания
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Скалярное произведение векторов
- •Примеры решения задач
- •Решение. Векторы и заданы координатами в ортонормированном базисе, поэтому:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 3. Векторное произведение векторов
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения:
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Глава 1. Векторная алгебра
§ 1. Линейные операции над векторами. Базис. Координаты вектора
Основные теоретические сведения
Линейные операции над векторами
Сложение векторов.
Суммой векторов
называется вектор
(рис.1.1), представляющий замыкающую
многоугольника, построенного на слагаемых
векторах (правило многоугольника). Из
этого правила для суммы двух векторов
получается правило параллелограмма
(рис. 1.2).
Рис. 1.1 Рис. 1.2
Свойства суммы векторов:
1.
.
2.
Вычитание
векторов:
Разностью
называется вектор
,
такой что
.
Для построения вектора
приводим к общему началу
векторы
и
,
затем по правилу многоугольника находим
так, чтобы
(рис. 1.3)
Рис. 1.3
Замечания
1. Вектор
направлен от конца вычитаемого вектора
к концу уменьшаемого вектора.
2. Векторы
и
совпадают с диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах
и
(рис. 1.2, рис. 1.3)
Умножение вектора
на число (скаляр).
Произведением вектора
на число
называется новый вектор
такой, что
и
при
(вектора сонаправлены),
при
(вектора противоположно направлены).
В частном случае
при
вектор
называется противоположным вектору
и обозначается
.
Свойства умножения вектора на скаляр:
1.
2.
Имеет место
утверждение:
,
где
–
число.
Линейная
зависимость векторов.
Сумма
называется линейной комбинацией векторов
;
числа
называются коэффициентами линейной
комбинации.
Векторы
называютсялинейно
зависимыми,
если существуют числа
такие, что
и
.
Векторы
называютсялинейно
независимыми,
если
только при
.
Два вектора зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Три вектора зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Четыре вектора всегда линейно зависимы.
Разложение
вектора на составляющие.
Если
и
независимы (неколлинеарны), то любой
третий вектор
,
лежащий в плоскости
и
,
единственным образом раскладывается
на составляющие по направлениям
и
:
.
Если
независимы (некомпланарны), то любой
четвертый вектор
единственным образом раскладывается
по направлениям векторов
:
.
Векторный базис
и координаты вектора.
Упорядоченная система любых трех линейно
независимых векторов называется базисом
трехмерного пространства. Предположим,
что в качестве базиса выбраны 3
некомпланарных вектора
,
тогда любой вектор
можно представить в виде:
.
Числа
называются координатами вектора
в выбранном базисе. Наряду с записью
будем пользоваться символической
записью:
.
Аналогично, упорядоченная пара линейно независимых векторов называется базисом двухмерного пространства.
Базис называется
ортонормированным, если базисные векторы
являются взаимно перпендикулярными
ортами. В этом случае базисные векторы
обозначаются буквами
и наряду с записью
пользуются символической записью:
В ортонормированном базисе координаты
вектора совпадают с проекциями этого
вектора на направления базисных векторов:
.
В любом базисе при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Прямоугольная система координат и радиус-вектор.
Если в пространстве выбрана прямоугольная система координат, (рис. 1.4), то координатами точки называются координаты радиус-вектора этой точки.
M
0
y
x Рис. 1.4 |
Если вектор
Если
даны две точки
|