Примеры решения задач

Задача 6.1. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

Решение. Разделив данное уравнение эллипса на , приведем его к виду. Отсюда следует, что большая полуось эллипса, а малая полуось. Известно, что, поэтому

.

Следовательно, координаты фокусов и, а его эксцентриситет.

Ответ.

Задача 6.2. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр симметрии его находится в точке . Составить уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен.

Решение. Выполним чертеж (рис. 2.35).

Каноническое уравнение такого эллипса В нашем случае

Рис. 2.35

Известно, что . Следовательно, для нахождениянадо знать. Найдемиз формулы эксцентриситета:,, откуда. Значит,,

Итак, уравнение искомого эллипса

Ответ.

Задача 6.3. Определитель траекторию точки , которая при своем движении остается втрое ближе к точке, чем к прямой

Решение. Траекторию точки найдем как уравнение множества точек плоскости, обладающих свойством(рис. 2.36). Расстояние между любыми точками инайдем по формуле Следовательно, .

Рис. 2.36

После преобразований получаем искомое уравнение:

.

Таким образом, точка движется по эллипсу. При этом большая ось эллипса и его фокусы расположены на оси

Ответ. .

Задача 6.4. Действительная полуось гиперболы , эксцентриситетСоставить каноническое уравнение гиперболы и начертить ее.

Решение. Эксцентриситет гиперболы Следовательно,

, ,

откуда фокусы гиперболы ,, а мнимая полуось. Искомым уравнением гиперболы будет

.

Рис. 2.37

Вершины гиперболы: ,,,. Через них проводим стороны основного прямоугольника. Его диагоналиявляются асимптотами гиперболы. Построим их. Затем через вершиныигиперболы проводим ее ветви, приближая их к асимптотам (рис. 2.37).

Ответ. .

Задача 6.5. Дана равносторонняя гипербола . Найти уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах гиперболы, если известно, что эллипс проходит через точку.

Решение. Для данной гиперболы . Следовательно, из соотношенияполучаем, откуда. Значит, фокусы гиперболыи. В этих же точках находятся фокусы эллипса.

Обозначим через исоответственно большую и малую полуоси эллипса. Тогда при условии, что, будем иметьДля определенияииспользуем еще одно условие: что точкалежит на эллипсе, т.е. ее координаты должны удовлетворять уравнению эллипса

(6.8)

Это значит, что Таким образом, для определенияиимеем систему уравнений

решив которую, получим ,Подставив эти значения в уравнение (6.8), найдем

Ответ.

Задача 6.6. Асимптоты гиперболы имеют уравнения . Фокусы лежат на осии расстояние между ними равно. Написать каноническое уравнение гиперболы и начертить ее.

Решение. Так как фокусы гиперболы лежат на оси , то ее каноническое уравнение имеет вид

Разрешив уравнение асимптот относительно , получим, откуда. Кроме того,, т.е.Так как для гиперболы, то для нахожденияиполучим систему уравнений

Рис. 2.38

решив которую, будем иметь ,. Следовательно, каноническое уравнение гиперболы (рис. 2.38)

Ответ.

Задача 6.7. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружностии симметрична относительно оси.

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив совместно их уравнения:

В результате получим два решения и. Точки пересеченияи. Так как парабола проходит через точкуи симметрична относительно оси, то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому уравнение параболы имеет вид. Так как парабола проходит через точку, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы:,,

Итак, уравнением параболы будет , уравнение директрисыили, откуда

Ответ. ;

Задача 6.8. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен, а высота

Решение. выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина параболы (мостовой арки) находилась в начале координат, а ось симметрии совпадала с отрицательным направлением оси . В таком случае каноническое уравнение параболы имеет вид, а концы хорды аркии. Подставив координаты одного из концов хорды (например,) в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно, получим

Ответ.

Задача 6.9. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить эту кривую.

Решение. В уравнении ,,,,,Вычислим дискриминант старших членов:

.

Так как , данная линия является кривой эллиптического типа.

Найдем центр кривой из системы

Решив ее, получим ,.

С помощью параллельного переноса осей координат в центр уравнение кривой в новой системеприводится к виду:

,

подставив в исходное уравнение кривой, получим

(6.9)

Для дальнейшего упрощения уравнения (6.9) применим правило приведения квадратичной формы к каноническому виду. Составим характеристическое уравнение

или .

Отсюда .

Повернув теперь оси координат так, чтобы направления осей исовпадали с главными направлениями квадратичной формы, уравнение (6.5) приведем к каноническому виду

или .

Из уравнения видно, что это эллипс с полуосями ,. Чтобы построить этот эллипс найдем главное направление, соответствующее характеристическому числу(его мы приняли за осьв каноническом уравнении). Подставив коэффициенты нашего уравнения в систему

получим

Полагая , находим, что. Единичный вектор оси имеет в системекоординатыи. Следовательно,, а.

Повернув систему на уголпо часовой стрелке, получим прямоугольную систему координат, в которой легко построить эллипс (рис. 3.39). Задача 6.10. Преобразовать к каноническому виду уравнение (6.10) и построить линию, задаваемую этим уравнением.

Рис. 3.39

Решение. В исходном уравнении ,,,,,Дискриминант старших членов

Следовательно, уравнение определяет нецентральную линию второго порядка, т.е. линию параболического типа.

Составим характеристическое уравнение квадратичной формы старших членов:

или

Отсюда ,

Найдем главное направление, соответствующее характеристическому числу . Для этого подставим в систему

коэффициенты нашего уравнения. Получим

Полагая , имеем. Следовательно, главное направление, соответствующее характеристическому числу, определяется вектором. Нормируя его, находим единичный вектор:. Это значит, что, а, т.е. поворачиваем системуна угол.

Используя теперь равенства (6.10), имеем:

Следовательно, уравнение (10.17) в системе координат принимает вид

(6.11)

Уравнение (6.11) определяет параболу. Для приведения его к каноническому виду найдем координаты нового начала. Сгруппируем члены с одинаковыми переменными и выделим полный квадрат:

Рис. 2.40

После параллельного переноса осей координат в новое начало уравнение параболы (6.11) в системе координатпримет канонический вид. Расположение параболы показано на рис. 2.40.