Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки , называемойфокусом параболы, и данной прямой , называемой еедиректрисой.

Если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы ось проходила через фокуси была перпендикулярна к директрисе, а осьпроходила между фокусом и директрисой (рис. 2.33), то уравнение параболы примет канонический вид

,

где расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение директрисы, фокус.

Рис. 2.33

Рис. 2.34

Начало координат является вершиной параболы, а ось абсцисс – ее осью симметрии. Эксцентриситет параболы .

Если осью симметрии параболы служит ось ординат (рис. 2.34), то уравнение параболы имеет вид

.

Уравнение директрисы в этом случае , фокус.

Уравнение параболы с осью симметрии, параллельной одной из координатных осей, имеет вид

или ,

где ,координаты вершины параболы.

Исследование общего уравнения линии второго порядка.

Уравнение одной и той же линии может иметь различный вид в зависимости от того, как будет расположена система координат, к которой отнесена кривая. С помощью преобразования координат можно привести это уравнение к простейшему (каноническому) виду.

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид

,

либо

. (6.1)

Определитель

,

называют дискриминантом старших членов уравнения (6.1).

Если , то линия, задаваемая уравнением (6.1), имеет единственный центр симметрии и называетсяцентральной линией, а ее центр симметрии – просто центром. Остальные линии носят название нецентральных. Примеры центральной линии – эллипс, гипербола, а нецентральной – парабола.

Если уравнение (6.1) задает центральную линию, то можно осуществить параллельный перенос осей координат по формулам

где ,координаты нового начала, являющегося центром линии. Они определяются из системы

В новой системе уравнение (6.1) приводится к виду

(6.2)

Из уравнения (6.2) заключаем, что коэффициенты при старших членах в результате параллельного переноса не изменяются, а свободный член

,

т.е. свободный член при параллельном переносе равен результату подстановки в левую часть уравнения (6.1) вместо текущих координат ,координат нового начала,.

Для дальнейшего упрощения уравнения (6.2) применим правило приведения квадратичной формы к каноническому виду, т.е. если повернем оси координат так, чтобы направления осей исовпадали с главными направлениями квадратичной формы, то уравнение приведется к каноническому виду:

(6.3)

где ,корни характеристического уравнения

(6.4)

Если , то согласно теореме Виета, из уравнения (6.4) следует, что, т.е. характеристические числаиотличны от нуля.

Возможны два случая.

1. Числа иодного знака, следовательно,Если свободный члени его знак противоположен знаку чисел,, уравнение (6.3) определяет эллипс. Если же знак членасовпадает со знаком чисел,, уравнение (6.3) не имеет смысла (мнимый эллипс). Приуравнение (6.3) определяет одну вещественную точкуи.

2. Числа иразных знаков, следовательно,В этом случае, если, уравнение (6.3) определяет гиперболу, если же, – пару пересекающихся прямых.

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение (6.1) определяет нецентральную линию, т.е. когда

. (6.5)

Так как , то в силу условия (6.5) хотя бы одно из чисел,равно нулю. Для определенности возьмем,. Выполним поворот системы координаттак, чтобы направления новых осейисовпали с главными направлениями квадратичной формы старших членов уравнения (6.1) (в новой системе координат осьсовпадает с главным направлением, соответствующим характеристическому числу). Тогда уравнение (6.1) в системепримет вид

(6.6)

где

; . (6.7)

При исследовании геометрического смысла уравнения (6.6) возможны следующие случаи:

1) коэффициент тогда уравнение (6.6) определяет параболу, ось симметрии которой параллельна оси;

2) коэффициент тогда уравнение (6.6) определяет пару параллельных прямых (действительных, если дискриминант; совпадающих, если, и мнимых, если).

Таким образом, уравнение (6.1) при определяет действительный или мнимый эллипс либо точку, припараболу либо пару параллельных прямых, пригиперболу или пару пересекающихся прямых.