Задание для самостоятельной работы

1. В полярной системе координат постройте точки ,,,,,.

2. В полярной системе координат даны точки ,,,.Найдите их декартовы координаты, совместив декартову прямоугольную систему координат с полярной, поместив начало координат в точки полюса и направив полярную ось в положительном направлении осиОх.

Ответ. ,,,.

3. Запишите в полярных координатах уравнения кривых и постройте эти кривые: а) ; б); в).

Ответ: а) ; б); в).

4. Составьте параметрические уравнения окружности, радиус которой , а центр находится в начале координат.

Ответ.

5. Приведите к виду илиуравнения кривых, заданных параметрически:

а) б)в)г)

Ответ: а) , б), в), г).

6. Определите траекторию точки , которая при своем движении все время остается вдвое ближе к точке, чем к точке.

Ответ: .

7. Определите траекторию точки, которая при своем движении остается в двое дальше от точки , чем от прямой.

Ответ: .

§ 6. Кривые второго порядка Эллипс

Основные теоретические сведения

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек и, называемыхфокусами эллипса, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

,

где . В этом случае фокусы эллипса,(рис.2.31).

Рис. 2.31

Начало координат являетсяцентром симметрии эллипса, а оси координат – осями симметрии эллипса. Точки ,,,называютсявершинами эллипса, а длины отрезков исоответственнобольшой и малой полуосями.

Таким образом, эллипс есть замкнутая выпуклая линия с двумя осями симметрии и центром симметрии (рис. 2.31).

Величина называетсяэксцентриситетом эллипса.

Окружность можно считать частным случаем эллипса, у которого , т.е..

Уравнение эллипса с осями симметрии, параллельными координатным осям, имеет вид

,

где ,координаты центра симметрии эллипса.

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и, называемыхфокусами гиперболы, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Если обозначить постоянную величину через , а расстояние между фокусами черези выбрать систему координат так же, как и для эллипса (рис. 2.32), то уравнение гиперболы примет канонический вид, где .

Рис. 2.32

В этом случае фокусы гиперболы и. Оси координат являютсяосями симметрии гиперболы, а точка ее центром симметрии. Гипербола пересекает ось абсцисс в точках и, которые называютсядействительными вершинами, а величина действительной полуосью гиперболы. Точки иназываютсямнимыми вершинами гиперболы, а величина мнимой полуосью.

Прямоугольник с центром в начале координат и сторонами, параллельными координатным осям и проходящими через вершины гиперболы, называется основным прямоугольником гиперболы.

Гиперболы имеют две асимптоты, т.е. прямые, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы. Уравнения асимптот:

Отсюда следует, что они являются диагоналями основного прямоугольника. Для построения гиперболы всегда лучше сначала построить ее асимптоты, а затем уже саму кривую.

Эксцентриситет гиперболы . Выражая эксцентриситет через полуоси гиперболы:

,

видим, что он характеризует вытянутость основного прямоугольника гиперболы.

Уравнение гиперболы с осями симметрии, параллельными координатным осям, имеет вид

,

где ,- координаты центра гиперболы.

Если оси гиперболы равны, т.е. , гипербола называетсяравносторонней. Ее уравнение имеет вид

.

Для равносторонней гиперболы основной прямоугольник превращается в квадрат, а эксцентриситет равен .