§5. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению . Обозначается скалярное произведение векторов и символом или , следовательно, .

Из определения скалярного произведения следует, что , так как и /

Если один из сомножителей скалярного произведения, например, вектор есть единичный вектор, то .

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. , (коммутативность);

2. , (ассоциативность относительно числового множителя);

3. , (дистрибутивность).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Свойство первое следует из определения скалярного произведения: .

Второе и третье свойства следуют из линейных свойств проекции вектора на ось (направление): (эти свойства проекции доказываются при рассмотрении вектора в ортонормированном базисе). Используя линейные свойства проекции, получим:

СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ

Скалярным квадратом называется скалярное произведение и обозначается символом ; по определению .

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

Из определения следует .

УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Теорема. Векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда .

Доказательство необходимости. Пусть , тогда .

Доказательство достаточности. Пусть или , тогда, либо хотя бы один из множителей есть нулевой вектор и , так как направление нулевого вектора неопределенно, либо тогда .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Теорема. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат множителей.

Доказательство. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис и векторы и имеют в этом базисе координаты соответственно и , т.е. . Тогда, используя свойства скалярного произведения, будем иметь

Так как , то окончательно получим:

МОДУЛЬ ВЕКТОРА В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Из формулы для скалярного произведения при получим

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

.

УСЛОВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ В

ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Если , то необходимое и достаточное условие ортогональности запишется в виде

НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА

Определение. Направляющими косинусами вектора в заданном базисе называются косинусы углов между вектором и базисными векторами.

Пусть – базисные векторы ортонормированного базиса и – углы между вектором и векторами соответственно.

Направляющими косинусами вектора будут . Если , то из , так как . Аналогично имеем

.

Замечание. Для любого вектора имеем

ЛИНЕЙНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ

В ортонормированном базисе координаты вектора равны проекциям этого вектора на направления соответствующих базисных векторов.

Действительно, если ,то, но , следовательно, . Аналогично .

Если , то из суммы векторов и произведения вектора на число следует, что проекция вектора обладает свойствами линейности.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение скалярного произведения векторов.

2. Выведите условие ортогональности двух векторов.

3. Докажите формулу скалярного произведения векторов в ортогональном базисе.

4. Напишите формулу модуля вектора в ортонормированном базисе.

5. Выведите условие ортогональности двух векторов в ортогональном базисе.

§6. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторным произведением вектора на вектор называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

1. ;

2. и ;

3. Упорядоченная тройка векторов образует правую тройку (с конца вектора поворот на наименьший угол от первого сомножителя ко второму виден совершающимся против часовой стрелки (рис. 14)).

Векторное произведение на обозначается символом или .

D C A B Рис. 15.

Рис. 14.

Замечания. 1. Модуль численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 15). Действительно, площадь параллелограмма ABCD равна

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда . Необходимость и достаточность этого условия следует из определения векторного произведения.

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. (антикоммутативность);

2. (ассоциативность относительно числового множителя);

3. (дистрибутивность относительно суммы векторов).

Это свойство примем без доказательства.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. Пусть , тогда из . Векторы и ортогональны плоскости, в которой лежат векторы и , следовательно, .

По определению с конца вектора поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки, а с конца вектора поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки, а это возможно при .

Следовательно, имеем, что и , т. е. или .

Рис. 16.

2. Пусть . По определению векторного произведения имеем ; при (рис.16), при имеем , откуда , т.е. . Наконец, , где ,. Так как или , то в любом случае , следовательно, . Итак, получим, что и , т. е. или .

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ

ОРТОНОРМИРОВАННОГО БАЗИСА

Рис. 17.

Рассмотрим векторы , которые образуют правую тройку ортонормированного базиса (рис.17). Рассмотрим вектор . Этот вектор ортогонален к вектору и вектору , следовательно, , векторы и образуют правые тройки, следовательно, наконец, . Итак , откуда следует . Аналогично получим .

Из свойства векторного произведения следует , а из определения - .

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ В

ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Пусть . Рассмотрим вектор . Используя свойства векторного произведения, получим

Следовательно, .

Замечание. Для вычисления векторного произведения удобно использовать символ определителя:

.

Если этот определитель разложить по элементам первой строки, то получим разложение вектора по направлениям базисных векторов:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение векторного произведения.

2. Выведите формулу векторного произведения в ортонорми-рованном базисе.

§7. ВЕКТОРНО-СКАЛЯРНОЕ (СМЕШАННОЕ) ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ТРЕХ ВЕКТОРОВ

Пусть даны три вектора . Если вектор умножается векторно на вектор , а затем вектор скалярно умножается на вектор , то полученное число называется смешанным произведением векторов .

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Рассмотрим смешанное произведение . Векторы приведем к общему началу и построим на этих векторах параллелепипед (рис.18).

Вектор перпен-дикулярен основанию параллелепипеда и чис-ленно равен площади этого основания. По определению скалярное произведение , но равна высоте

Рис. 18

параллелепипеда (, если и , если ), следовательно, произведение равно объему параллелепипеда со знаком «+» или «–». Из рис.18 видно, что , если упорядоченная тройка векторов – правая, если векторы образуют левую тройку, то . Таким образом, смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенному на этих векторах, со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если эта тройка – левая.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ В

ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

Пусть , тогда вектор .Смешанное произведение есть скалярное произведение векторов и , поэтому .

Если использовать символы определителей второго и третьего порядков, то последнее выражение можно представить в виде:

.

Следовательно, смешанное произведение в ортонормированном базисе равно определителю третьего порядка, где первые две строки состоят из координат сомножителей вектора , а третья - из координат вектора .

СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. . Это свойство позволяет записывать смешанное произведение векторов в виде , не указывая, какие два вектора (первые или последние) перемножаются векторно.

2. . Значение смешанного произведения не меняется при циклической (круговой) перестановке множителей.

3. . Значение смешанного произведения меняет знак, если поменять местами два сомножителя.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. Пусть ; из переместительного свойства скалярного произведения следует, что

(следует дважды поменять местами строки, чтобы из первого определителя получить второй).

2.

3. , но , следовательно, или .

УСЛОВИЕ КОМПЛАНАРНОСТИ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

Теорема. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда .

Доказательство необходимости условия.

24