Линейные операции над векторами при заданном базисе

В любом базисе при сложении векторов их одноименные координаты складываются, при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Действительно, пусть – векторы базиса и в этом базисе .

1) Рассмотрим вектор . Так как дано, что , то или.

2) Рассмотрим произведение , где скаляр,, т.е. векторимеет координаты .

УСЛОВИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ ПРИ ЗАДАННОМ БАЗИСЕ

В любом базисе необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их одноименных координат.

Действительно, пусть вектор и вектор, где– векторы базиса. Необходимым и достаточным условием коллинеарностивекторовиявляется равенство; это равенство равносильно трем равенствам:или условию

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение базиса трехмерного пространства.

2. Дайте определение координат вектора в заданном базисе.

3. Выведите условия коллинеарности двух векторов в заданном базисе.

14