§3. Разложение вектора на составляющие

Теорема 1. Если векторы илинейно независимы (неколлинеарны), то любой вектор , лежащий в плоскости векторов и , единственным образом представляется в виде .

Выражение называется разложением вектора на составляющие по направлениям векторови .

Доказательство. Дано: векторы и независимы, векторы компланарны. Так как векторыкомпланарны, то существуют числа такие, что и . Коэффициент , так как в противном случае получим, что векторы линейно зависимы, поэтому из последнего равенства имеем:или , где .

Докажем единственность такого разложения. Предположим, что существует два разных разложения вектора по направлениям векторови : и . Вычитая из одного равенства другое, получим . Так как векторы илинейно независимы, то последнее равенство возможно только прии , т.е. разложение вектора по направлениям векторовиединственно.

Теорема 2. Если три вектора линейно независимы (некомпланарны), то любой четвертый вектор единственным образом представляется в виде(разложение вектора на составляющие по направлениям векторов ).

D

C

A B

Рис. 12.

Доказательство. Дано: Некомпланарные векторы и вектор. Все векторы приводим к общему началу и строим параллелепипед со сторонами, параллельными векторам , и с диагональю, совпадающей с вектором (рис.12). Имеем .

Так как , то существует число

, такое, что , аналогично, , откуда.

Единственность разложения доказывается аналогично плоскому случаю.

Следствие. В пространстве любые четыре вектора линейно зависимы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Докажите теоремы о разложении вектора на две, на три составляющие.

§4. Векторный базис, координаты вектора

Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис трехмерного пространства; упорядоченная пара неколлинеарных векторов образует базис на плоскости.

Пусть в пространстве выбран базис: ; тогда любой векторединственным образом можно разложить на составляющие по базисным векторам:Таким образом, базис устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами пространства и упорядоченными тройками чисел , которые называются координатами вектора в заданном базисе. Вместо записи используется так же символическая запись или.

Если базисные векторы – единичные (орты) и попарно ортогональны, то базис называется ортонормированным, а базисные векторы обозначаются . Пусть некоторый вектор имеет в этом базисе координаты , тогда или используется символическая запись .

Базисные векторы в пространстве образуют правую тройку, если поворот на наименьший угол от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора (рис. 13). В противном случае тройка векторов называется левой.

Рис. 13.

В дальнейшем используются только правые тройки.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными операциями над числами (координатами этих векторов).

РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ ПРИ ЗАДАННОМ БАЗИСЕ

Два вектора в любом базисе равны тогда и только тогда, когда равны их одноименные координаты. Это следует из взаимно однозначного соответствия между вектором и его координатами.