Глава 1 векторная алгебра

§ 1 .Основные определения и линейные операции

Понятие вектора

A B

Рис.1.

Вектором называется направленный отрезок, где точканазывается началом, точкаконцом вектора. Обозначается вектор символомили(рис.1). Длина отрезка называется модулем (длиной) вектора и обозначается символомили .

Векторы представляют математическую абстракцию физических векторных величин, которые характеризуются численным значением и направлением в пространстве. Таковы, например, перемещение, скорость, сила, напряженность магнитного поля, напряженность электрического поля. Векторы, как и физические векторные величины, делятся на три группы:

1) Свободные векторы, которые можно перемещать в пространстве параллельно самому себе; они характеризуются модулем и направлением; за начало свободного вектора можно принять любую точку пространства;

2) Скользящие векторы, которые можно перемещать по данной прямой, называемой линией действия вектора; они характеризуются модулем, направлением и линией действия; за начало скользящего вектора можно принять любую точку прямой, на которой он расположен;

3) Связанный (закрепленный) вектор, который характеризуется модулем, направлением и точкой, где расположено начало вектора.

Если особо не оговорено, то в дальнейшем под словом “вектор” подразумевается свободный вектор.

РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Векторы называются равными, если они имеют равные модули и одинаково направлены (рис. 2)

Равенство векторов записывается в виде .

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

A B

Рис. 2.

Векторы иназываются коллинеарными, если их направления совпадают или противоположны. Коллинеарность векторов и обозначается символом||. Символыиозначают, что векторыиколлинеарны и соответственно одного и противоположного направления.

Компланарные векторы

Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

НУЛЬ  ВЕКТОР

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым (нуль-вектором) и обозначается символом 0.Направление нуль-вектора не определено.

ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР (ОРТ)

Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным или ортом.

Угол между векторами

Рис. 3.

Углом между векторами и называется наименьший из двух углов между ними, проведенными из одной точки (приведенными к общему началу) (рис.3).

Из определения следует, что

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРОМ И ОСЬЮ

Осью называется прямая с выбранным положительным направлением. Направление оси может быть определено при помощи какого-нибудь ненулевого вектора (рис.4). Углом между осью и вектором называется угол

Рис. 4

Проекция вектора на ось

(НА НАПРАВЛЕНИЕ ДРУГОГО ВЕКТОРА)

Проекцией вектора на ось (на направление вектора ) называется число(рис.4) и обозначается символомили .

Замечание. Если вектор  единичный, то .

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называют операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на вещественное число.

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Рис. 5.

Пусть даны векторы . Из данных векторов строим ломаную, выбирая за начало вектора конец вектора(рис.5).

Определение. Суммой векторов называется вектор , который замыкает ломаную, построенную из данных векторов, причем начало вектора совпадает с началом первого слагаемого, конец с концом последнего слагаемого (правило многоугольника).

Рис. 6.

Обозначение суммы:

Из определения суммы следует правило параллелограмма для двух слагаемых (рис.6).

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ

1. (коммутативность суммы)

2. (ассоциативность суммы).

Доказательство свойств.

Первое свойство очевидно из рис.6. Для доказательства второго свойства строим ломаную из векторов (рис.7). Из построения видно, что.

Рис. 7.

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Разностью двух векторов называется третий вектортакой, что. Для построения векторавекторыи приводим к общему началу и по правилу многоугольника находим вектор так, чтобы (рис. 8) .Получаем, что векторнаправлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора.

Рис. 8.

Рис. 9.

Замечание. Векторы ислужат диагоналями параллелограмма, построенного на векторахи(рис.9)

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (СКАЛЯР)

Пусть даны векторискаляр . Тогда , где ипри ,при .