Каноническое уравнение эллипса

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и этой плоскости есть величина постоянная.

Точки и называются фокусами эллипса.

Пусть на плоскости заданы точки , расстояние между которыми равно , и постоянная . Если обозначить расстояние от точки до точки через , а от точки до точки через , то точка по определению принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда .

0

Рис. 44

Для вывода канонического уравнения эллипса начало 0 декартовой прямоугольной системы координат выберем в середине отрезка , а оси Ox и Oy направим так, как на рис. 44. В этом случае имеем (из следует ) и

, где - координаты точки . Уравнение, которому удовлетворяют координаты точки, принадлежащей эллипсу, будет иметь вид .

Полученное уравнение эллипса можно упростить, дважды возведя обе части уравнения в квадрат: или .

Последнее уравнение является не только следствием уравнения эллипса, но и эквивалентно ему. Действительно, если координаты точки , удовлетворяют последнему уравнению, то .

Подставим это значение и в выражения для и :

так как ( из последнего уравнения). Аналогично получаем, что , и окончательно имеем .

Таким образом, точка, координаты которой удовлетворяют уравнению , принадлежат эллипсу.

Если ввести обозначение , то окончательно получим каноническое уравнение эллипса:

.

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСА

Из канонического уравнения эллипса имеем

.

1. Допустимые значения ; множество значений .

2. Эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy, так как х входит в выражение в квадрате (функция - четная), каждому значению соответствуют два значения . В дальнейшем достаточно ограничиться исследованием функции в первой четверти (), где уравнение эллипса имеет вид

.

3. При имеем . При возрастании ордината убывает и при обращается в .

0

Рис. 45

Таким образом, рассматриваемая часть эллипса начинается в точке и заканчивается в точке (рис. 45).

0

Рис. 46

Для построения всего графика используем симметрию эллипса относительно осей Ox и Oy (рис. 46). Эллипс имеет две оси симметрии, которые называются главными осями (в нашем случае оси Ox и Oy), точка пересечения главных осей называется центром эллипса. Точки называются вершинами эллипса.

Замечания. 1. Длины отрезков между вершинами и равны соответственно и , а так как , то главные оси эллипса называются соответственно большой и малой (ось Ox - большая ось, Oy - малая). Величины и называются большой и малой полуосями эллипса.

2. Фокусы эллипса и располагаются на большой оси.

3. Если в каноническом уравнении эллипса , то большой осью будет ось Oy.

4. Если полуоси эллипса равны , то эллипс представляет собой окружность радиуса R с центром в начале координат.

КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости есть величина постоянная.

Точки и называются фокусами гиперболы.

Пусть на плоскости заданы точки и расстояние между которыми равно , и постоянная .

Если обозначить расстояние от точки до точки через , а от до через , то точка принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда

.

Это уравнение гиперболы будет иметь канонический вид, если начало декартовой прямоугольной системы координат поместить в середине отрезка , ось Ox провести через фокусы и (рис. 44). При таком выборе системы координат имеем: (из ) и, если , то

.

Если точка принадлежит гиперболе, то координаты и удовлетворяют уравнению

,

которое после упрощения примет вид

.

Последнее называется каноническим уравнением гиперболы, где .

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ

1. Так как для гиперболы

,

то допустимые значения, множество значений .

2. Гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy. В дальнейшем достаточно рассмотреть уравнение гиперболы в первой четверти :

.

3. При имеем . При возрастании от до ордината также возрастает от до . Следовательно, рассматриваемая часть гиперболы простирается до бесконечности.

4. Асимптоты гиперболы.

Определение. Прямая называется асимптотой графика функции , если при неограниченном увеличении разность стремится к нулю Легко показать, что в первой четверти прямая является асимптотой гиперболы:

при увеличении знаменатель дроби увеличивается, следовательно, стремится к нулю.

Таким образом, в первой четверти монотонно возрастает и кривая при увеличении значения неограниченно приближается к прямой (рис. 47).

Рис. 47

Рис. 48

График всей гиперболы получится при симметричном отображении построенного графика относительно оси Ox, затем - оси Oy (рис.48).

Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси), центр симметрии (пересечение главных осей). Одна главная ось пересекается с гиперболой в точках , которые называются вершинами гиперболы. Другая ось (в нашем случае - ось Oy) называется мнимой и делит всю плоскость на две полуплоскости, в каждой из которых содержится одна ветвь гиперболы. Величины и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Замечания. 1. Фокусы гиперболы и расположены на действительной оси гиперболы.