Пример 1.4.4
Изменим постановку задачи примера 1.4.1, изменив ограничения (1) и (3).
В этом случае произойдёт перемещение области допустимых решений как это показано на рис.4.4.
x2
14
(2)
12
Чем
<x2
10
8
-
(3)
6
ОДР
4
Чем
>x2
2
Чем
>x2
1
2 3 4 5 6 7 8 9
х1
Целевая функция
Рис.4.4
Область допустимых решений (ОДР) ограничивается осью координат у1,
ограничением (1) и ограничением (2). Мысленно направим целевую функцию к ОДР, тогда первая точка их пересечения будет являться точкой минимума (0;1,5) а последняя – точкой максимума (6;4,5). В точке минимума z =3,в точке максимума z=16,5. Проверим выполнение всех ограничений в этих точках.
Для точки минимума Для точки максимума
0+2·1,5=3 выполняется как -6+2·4,5=3 выполняется как
равенство; равенство;
3·0+2·1,5<27 выполняется; 3·6+2·4,5=27 выполняется как равенство;
0-1,5<4 выполняется. 6-4,5<4 выполняется.
Таким образом, в точке минимума значение целевой функции меньше чем в точке максимума и все ограничения выполняются поэтому решение будем считать корректным.
Пример 1.4.5
Изменим постановку задачи примера 1.4.4, изменив ограничения (2).
В этом случае произойдёт перемещение области допустимых решений как это показано на рис.4.5.
x2
14
(2)
12
Чем
>x2
10
ОДР
8
-
(3)
6
4
Чем
>x2
2
Чем
>x2
1
2 3 4 5 6 7 8 9
х1
Целевая функция
Рис.4.5
Область допустимых решений в данном примере не ограничена. Пэтому можно определить только точку минимума. Мысленно направим целевую функцию к ОДР, тогда первая точка их пересечения будет являться точкой минимума (0;13,5). В точке минимума z =13.5. Проверим выполнение всех ограничений в точке минимума.
0+2·13,5>3 выполняется;
3·0+2·13,5=27 выполняется как равенство;
0-13,5<4 выполняется.
Таким образом, в точке минимума значение целевой функции меньше чем в точке максимума и все ограничения выполняются поэтому решение будем считать корректным.
Отметим, что решение четырёх примеров позволило найти минимумы и максимумы целевой функции в четырёх различных ОДР, определяемых задаваемыми ограничениями. В остальных областях координатного пространства также как в примере 1.4.5 могут быть найдены только точки минимумов или максимумов целевой функции, то есть решение будет неполным, ввиду того что области для поиска точек максимума являются расходящимися.
Задание 1.5
Пример 1.5.1
Евклидово расстояние. Наиболее близкий сосед
Требуется разделить шесть объектов на два кластера. Объекты –
информационные системы характеризуются двумя признаками:
Х1-среднее время решения одной задачи в минутах;
Х2-количество задач, в решении которых было отказано ввиду перегрузки информационной системы.
Значения признаков Х1 и Х2 для шести вариантов информационной системы представлены в таблице 5.1.1.
Таблица 5.1.1
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
X1 |
2 |
4 |
5 |
12 |
14 |
15 |
|
X2 |
8 |
10 |
7 |
6 |
6 |
4 |
По таблице 5.1.1 построен график, представленный на рис.5.1.1.
10
Х2
2
8 1
3
6
4
5
6
4
2
2 4 6 8 10 12 14 Х1
Рис. 5.1.1
По формуле Евклида вычислены расстояния между объектами. Приведём два примера вычисления расстояний между 1 и 5 объектами и 2 и 6 объектами.
Процесс вычисления расстояния между 1 и 5 объектами поясняется на рис. 5.1.2; между 2 и 6 объектами на рис. 5.1.3.
10
Х2
8 1
6
5
4
2
2 4 6 8 10 12 14 Х1
Рис. 5.1.2
10
Х2
2
8
6
4
6
2
2 4 6 8 10 12 14 Х1
Рис.5.1.3
Аналогично по формуле Евклида вычислены расстояния между всеми остальными объектами по двум признакам. Результаты вычислений представлены в виде таблицы 5.1.2
Таблица 5.1.2
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
2,83 |
3,16 |
10,19 |
12,17 |
13,60 |
|
2 |
|
0 |
3,16 |
8,94 |
10,77 |
12,53 |
|
3 |
|
|
0 |
7,07 |
9,06 |
10,44 |
|
4 |
|
|
|
0 |
2,00 |
3,61 |
|
5 |
|
|
|
|
0 |
2,24 |
|
6 |
|
|
|
|
|
0 |
Жирным шрифтом в таблице 5.1.2 выделено наименьшее расстояние между четвёртым и пятым объектами. Их объединяем в один объект 4,5. Расстояния между этим укрупнённым и исходными объектами определены
по принципу «ближайшего соседа». На рис. 5.1.4 поясним этот принцип для определения расстояния между 1 объектом и формируемой совокупностью,
состоящей из 4 и 5 объектов.
4
10,19
1
2,00
12,17
5
Рис. 5.1.4
Аналогично предыдущему определены расстояния других объектов с
формируемой совокупностью, состоящей из 4 и 5 объектов, и составлена таблица расстояний, представленная в таблице 5.1.3.
Таблица 5.1.3
|
|
1 |
2 |
3 |
4,5 |
6 |
|
1 |
0 |
2,83 |
3,16 |
10,19 |
13,60 |
|
2 |
|
0 |
3,16 |
8,94 |
12,53 |
|
3 |
|
|
0 |
7,07 |
10,44 |
|
4,5 |
|
|
|
0 |
2,24 |
|
6 |
|
|
|
|
0 |
Жирным шрифтом в таблице 5.1.3 выделено наименьшее расстояние между объектом 4,5 и шестым объектом. Их объединяем в один объект 4,5,6. Расстояния между этим укрупнённым и исходными объектами определены по правилу «ближайшего соседа» и представлены в таблице 5.1.4.
Таблица 5.1.4
|
|
1 |
2 |
3 |
4,5,6 |
|
1 |
0 |
2,83 |
3,16 |
10,19 |
|
2 |
|
0 |
3,16 |
8,94 |
|
3 |
|
|
0 |
7,07 |
|
4,5,6 |
|
|
|
0 |
Жирным шрифтом в таблице 5.1.4 выделено наименьшее расстояние
между первым и вторым объектами. Их объединяем в один объект 1,2. Расстояния между этим укрупнённым и другими объектами определены по правилу «ближайшего соседа» и представлены в таблице 5.1.5
Таблица 5.1.5
|
|
1,2 |
3 |
4,5,6 |
|
1,2 |
0 |
3,16 |
8,94 |
|
3 |
|
0 |
7,07 |
|
4,5,6 |
|
|
0 |
Жирным шрифтом в таблице 5.1.5 выделено наименьшее расстояние между объединённым объектом 1,2 и третьим объектами. Их объединяем
в один объект 1,2,3. Расстояния между укрупнёнными объектами опреде-лены по правилу «ближайшего соседа» и представлены в таблице 5.1.6.
Таблица 5.1.6
|
|
1,2,3 |
4,5,6 |
|
1,2,3 |
0 |
7,07 |
|
4,5,6 |
|
0 |
Таким образом процесс кластерного анализа закончен . Выделено два
кластера. Расстояние между кластерами равно 7,07. Дендрограмма
результатов кластерного анализа представлена на рис. 5.1.5.
Расстояние
8
7,07
6
4
2
1 2 3 4 5 6
Номера объектов
Рис.5.1.5
Представим результаты кластерного анализа в виде совокуп-ности двух матриц: расстояний между объектами (таблица 5.1.7) и символов Кронекера (таблица 5.1.8).
Таблица 5.1.7
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
2,83 |
3,16 |
10,19 |
12,17 |
13,60 |
|
2 |
|
0 |
3,16 |
8,94 |
10,77 |
12,53 |
|
3 |
|
|
0 |
7,07 |
9,06 |
10,44 |
|
4 |
|
|
|
0 |
2,00 |
3,61 |
|
5 |
|
|
|
|
0 |
2,24 |
|
6 |
|
|
|
|
|
0 |
Таблица 5.1.8
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
1,00 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
2 |
|
0 |
1,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
3 |
|
|
0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
4 |
|
|
|
0 |
1,00 |
1,00 |
|
5 |
|
|
|
|
0 |
1,00 |
|
6 |
|
|
|
|
|
0 |
Подсчитаем сумму расстояний между объектами:
0+2,83+3,16+10,19+12,17+13,60+
0+ 0+ 3,16+ 8,94+10,77+12,53+
0+ 0+ 0+ 7,07+ 9,06+10,44+
0+ 0+ 0+ 0+ 2+ 3,61+
0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 2,24 =111,77.
Среднее расстояние = 111,77/15=7,45.
Сумма расстояний между объектами, вошедшими в кластеры:
1∙2,83+1∙3,16+1∙3,16+1∙2,00+1∙3,61+1∙2,24=17,00.
Среднее расстояние между объектами в кластерах = 17,00/6=2,83.
Сумма расстояний между объектами, находящимися в разных кластерах:
(1-0)∙10,19+(1-0)∙12,17+(1-0)∙13,60+
+(1-0)∙8,94+(1-0)∙10,77+(1-0)∙12,53+
+(1-0)∙7,07+(1-0)∙9,06+ (1-0)∙10,44= 94,77.
Среднее расстояние между объектами, находящимися в разных кластерах
=94,77/9=10,53.
Таким образом, мы убедились, что условия постановки задачи выполнены, т.е. среднее расстояние между элементами в кластерах более, чем в два с половиной раза меньше чем среднее расстояние между объектами: 7,45/2,83=2,63; а расстояние между объектами, находящимися в различных кластерах почти в полтора раза превышает среднее расстояние между объектами 10,53/7,45=1,41.
Пример 5.2
Евклидово расстояние. Наиболее удалённый сосед
Требуется разделить шесть объектов на два кластера. Объекты –
информационные системы характеризуются двумя признаками:
Х1-среднее время решения одной задачи в минутах;
Х2-количество задач, в решении которых было отказано ввиду перегрузки информационной системы.
Значения признаков Х1 и Х2 для объектов представлены в таблице 5.2.1.
Таблица 5.2.1
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
X1 |
2 |
4 |
5 |
12 |
14 |
15 |
|
X2 |
8 |
10 |
7 |
6 |
6 |
4 |
Вычислены расстояния между объектами по формуле Евклида по всем признакам, которые представлены в таблице 5.2.2.
Таблица 5.2.2
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
2,83 |
3,16 |
10,19 |
12,17 |
13,60 |
|
2 |
|
0 |
3,16 |
8,94 |
10,77 |
12,53 |
|
3 |
|
|
0 |
7,07 |
9,06 |
10,44 |
|
4 |
|
|
|
0 |
2,00 |
3,61 |
|
5 |
|
|
|
|
0 |
2,24 |
|
6 |
|
|
|
|
|
0 |
Жирным шрифтом в таблице 5.2.2 выделено наименьшее расстояние
между четвёртым и пятым объектами. Их объединяем в один объект 4,5. Расстояния между этим укрупнённым и исходными объектами определены по принципу «наиболее удалённого соседа», применение которого для вычисления расстояния между 1 объектом и формируемым объектом, который состоит из 4 и 5 объектов поясняет рис.5.2.1 .
4
10,19
1
2,00
12,17
5
Рис. 5.2.1
Аналогично определены расстояния между другими объектами и
объектом, состоящим из 4 и 5 объектов, и составлена таблица расстояний 5.2.3
Таблица 5.2.3
|
|
1 |
2 |
3 |
4,5 |
6 |
|
1 |
0 |
2,83 |
3,16 |
12,17 |
13,60 |
|
2 |
|
0 |
3,16 |
10,77 |
12,53 |
|
3 |
|
|
0 |
9,06 |
10,44 |
|
4,5 |
|
|
|
0 |
3,61 |
|
6 |
|
|
|
|
0 |
Жирным шрифтом в таблице 5.2.3 выделено наименьшее расстояние
между первым и вторым объектами. Их объединяем в один объект 1,2. Расстояния между этим укрупнённым и остальными объектами определены по правилу « наиболее удалённого соседа» и представлены в таблице 5.2.4.
Таблица 5.2.4
|
|
1,2 |
3 |
4,5 |
6 |
|
1,2 |
0 |
3,16 |
12,17 |
13,60 |
|
3 |
|
0 |
9,06 |
10,44 |
|
4,5 |
|
|
0 |
3,61 |
|
6 |
|
|
|
0 |
Жирным шрифтом в таблице 5.2.4 выделено наименьшее расстояние между объектом 1.2 и третьим объектами. Их объединяем в один объект