501

Численные методы (Методические указания и задания)

Составители С.И. Смуров

В.А. Таланова

С.П. Бобков

Иваново 2003

В методических указаниях рассматриваются методы приближенного вычисления определенного интеграла, численного решения алгебраических и трансцендентных уравнений, вопросы математической обработки экспериментальных данных.

Даны примеры решения задач и задания для самостоятельной работы.

Указания составлены в соответствии с программой и одобрены решением цикловой методической комиссией по физико-математическим дисциплинам.

1. Численное интегрирование

Вычислить определенный интеграл , где– непрерывная функцияx в интервале , можно с помощью аналитической формулы, если использовать прием формального интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница (I. I.)

, (I. I.)

где – первообразная функция для заданной функции.

Однако во многих случаях не удается найти никакой аналитической формулы в виду невозможности определения .

В таких случаях приходится применять методы численного интегрирования.

Основной принцип построения всех приближенных формул численного интегрирования состоит в том, что интервал интегрирования разбивается на множество меньших отрезков, внутри которых подынтегральная кривая заменяется с некоторой степенью точности более простыми функциями, интегралы от которых можно вычислить, используя ординаты на концах отрезков.

1. 1. Метод прямоугольников

Вычисление интеграла равносильно вычислению площади некоторой фигуры – криволинейной трапеции с параллельными «основаниями»x=a, x=b и «боковыми сторонами» y=0, y=f(x), рис. I. I.

y

y=f(x)

y₂

y₁

y₀

y_n-1

h

h

h

h

x

a

x₁

x₂

x₃

x_n-1

b

Рис. 1. 1.

Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной h=(b-a)/n.

Приближенное значение интеграла получается в виде сумм площадей n прямоугольников, высота которых равна значению f(x) на левом краю каждого подинтервала, т.е. формула численного интегрирования имеет вид (I. 2.):

или (I. 2.)

и называется формулой «левых» прямоугольников.

Если в качестве приближенного значения площади для каждого подинтервала принять площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) на правом краю подинтервала, то формула численного интегрирования будет иметь вид (I. 3.):

(I. 3.)

и называется формулой «правых» прямоугольников.

1. 2. Метод трапеций

В соответствии с полученными ранее формулами «левых» и «правых» прямоугольников истинное значение интеграла лежит между приближенными значениями, определяемыми по этим формулам (рис. I. 2), т.е. лучшую формулу численного интегрирования можно получить, взяв среднее арифметическое этих значений:

y

y=f(x)

y_i+1

y_i

h

x

xi

x_i+1

Рис. 1. 2

. (I. 4)

Эта формула (I. 4) описывает метод трапеций для численного интегрирования, т.е. приближенное значение интеграла получается в виде суммы площадей «n» трапеций.