3.4. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Этот метод один из самых распространенных методов интегрирова­ния дифференциальных уравнений.

Для одиночного дифференциального уравнения расчетные формулы имеют следующий вид:

где

Для системы дифференциальных уравнений

Для системы дифференциальных уравнений

расчетные формулы запишутся следующим образам:

4. Моделироваие кинетики химической реакция

Пример.

Задано:

I. Схема механизма химической реакции

2. Константы скоростей отдельных стадий реакции

3. Начальные концентрации компонентов

4. Продолжительность реакции 15 сек.

5. Метод численного решения - Эйлера.

Выполнение работы

1. Система , дифференциальных уравнения, представлявшая кинетическую модель данной химической реакции:

2. Расчетные формулы метода Эйлера:

3. Результаты численного решения системы дифференциальных уравне­ний на калькуляторе. h= 0,2; 5 шагов по времени.

Таблица результатов расчета

№		СА	СВ	СС	СД
Q	0	0,7	0	0	0
I	0,2	0,5936	0,1064	0	0
2	0,4	0,5161	0,1541	0,0192	0,0106
3	0.6	0,4562	0,1726	0,0452	0,0260
4	0,8	0,4076	0,1770	0,0722	0,0433
5	I	0,3669	Q.I747	0,0976	0,0610

5. Программа методов:

1. Эйлера;

2. Эйлера-Коши;

3. Рунге-Кутта 2-го порядка;

4. Рунге-Кутта 4-го порядка.

1)

Program EULER;

const

eps = 1e-5;

x0 = 3;

y0 = 3;

type

TFunc = function(x,y:extened): extended;

function func(x,y: extended): extended; far;

begin

func := y*cos(x) - 2*sin(2*x);

end;

function Euler(f: TFunc; x0_,x_end,y0_: extended; n: word): extended;

{ где x0_ и y0_ - начальное условие

x_end - точка, в которой необходимо вычислить результат

n - количество шагов для вычисления результата }

var

i : word; { счетчик цикла }

x,h : extended; { текущая точка и длина шага }

res : extended; { переменная для накопления конечного результата функции}

begin

h:= (x_end - x0_)/n; { Находим длину шага }

res:= y0_; { устанавливаем начальные значения}

x:=x0_;

for i:=1 to n do

begin { вычисляем результат по методу Эйлера }

res:=res+h*f(x,res);

x:=x+h; { переходим к следующей точке }

end;

Euler:=res; { присваиваем конечный результат функции }

end;

begin

writeln('Численное решение дифференциальных уравнений:');

writeln(#10,' y'' = y*cos(x) - 2*sin(2*x); y(0)=3; x_end=',(5*x0+3.5):5:5);

writeln(#10,'Метод Эйлера:');

writeln('n=5 000, result: ',Euler(func,x0,5*x0+3.5,y0,5000):5:5);

writeln('n=10 000, result: ',Euler(func,x0,5*x0+3.5,y0,10000):5:5);

writeln('n=25 000, result: ',Euler(func,x0,5*x0+3.5,y0,25000):5:5);

write(#10,'Press Enter to continue.');

readln;

end.

2)

Program EULER-KOSHI;

const

eps = 1e-5;

x0 = 3;

y0 = 3;

type

TFunc = function(x,y:extened): extended;

function func(x,y: extended): extended; far;

begin

func := y*cos(x) - 2*sin(2*x);

end;

function Euler2(f: TFunc; x0_,x_end,y0_: extended; n: word): extended;

{ где x0_ и y0_ - начальное условие

x_end - точка, в которой необходимо вычислить результат

n - количество шагов для вычисления результата }

var

i : word; { счетчик цикла }

x,h : extended; { текущая точка и длина шага }

res : extended; { переменная для накопления конечного результата функции}

begin

h:= (x_end - x0_)/n; { Находим длину шага }

res:= y0_; { устанавливаем начальные значения}

x:=x0_;

for i:=1 to n do

begin { вычисляем результат по исправленному методу Эйлера }

res:=res+h*(f(x,res)+f(x+h,res+h*f(x,res)))/2;

x:=x+h; { переходим к следующей точке }

end;

Euler2:=res; { присваиваем конечный результат функции }

end;

begin

writeln(#10,'Эйлера-Коши:');

writeln('n=50, result: ',Euler2(func,x0,5*x0+3.5,y0,50):5:5);

writeln('n=100, result: ',Euler2(func,x0,5*x0+3.5,y0,100):5:5);

writeln('n=250, result: ',Euler2(func,x0,5*x0+3.5,y0,250):5:5);

write(#10,'Press Enter to continue.');

readln;

end.

3)

Program RK2;

const

eps = 1e-5;

x0 = 3;

y0 = 3;

type

TFunc = function(x,y:extened): extended;

function func(x,y: extended): extended; far;

begin

func := y*cos(x) - 2*sin(2*x);

end;

function Euler3(f: TFunc; x0_,x_end,y0_: extended; n: word): extended;

{ где x0_ и y0_ - начальное условие

x_end - точка, в которой необходимо вычислить результат

n - количество шагов для вычисления результата }

var

i : word; { счетчик цикла }

x,h : extended; { текущая точка и длина шага }

res : extended; { переменная для накопления конечного результата функции}

begin

h:= (x_end - x0_)/n; { Находим длину шага }

res:= y0_; { устанавливаем начальные значения}

x:=x0_;

for i:=1 to n do

begin { вычисляем результат по модифицированному методу Эйлера }

res:=res+h*f(x+h/2,res+(h/2)*f(x,res));

x:=x+h; { переходим к следующей точке }

end;

Euler3:=res; { присваиваем конечный результат функции }

end;

begin

writeln(#10,'Метод Рунге-Кутта 2:');

writeln('n=50, result: ',Euler3(func,x0,5*x0+3.5,y0,50):5:5);

writeln('n=100, result: ',Euler3(func,x0,5*x0+3.5,y0,100):5:5);

writeln('n=250, result: ',Euler3(func,x0,5*x0+3.5,y0,250):5:5);

write(#10,'Press Enter to continue.');

readln;

end.

4)

Program RK4;

const

eps = 1e-5;

x0 = 3;

y0 = 3;

type

TFunc = function(x,y:extened): extended;

function func(x,y: extended): extended; far;

begin

func := y*cos(x) - 2*sin(2*x);

end;

function RungeKutt(f: TFunc; x0_,x_end,y0_: extended; n: word): extended;

{ где x0_ и y0_ - начальное условие

x_end - точка, в которой необходимо вычислить результат

n - количество шагов для вычисления результата }

var

i : word; { счетчик цикла }

x,h : extended; { текущая точка и длина шага }

res : extended; { переменная для накопления конечного результата функции }

k1,k2,k3,k4: extended; { вспомогательные переменные вычисления результата }

begin

h:= (x_end - x0_)/n; { Находим длину шага }

res:= y0_; { устанавливаем начальные значения}

x:=x0_;

for i:=1 to n do

begin { вычисляем результат по методу Рунге-Кутта 4го порядка }

k1:=f(x,res);

k2:=f(x+h/2,res+h*k1/2);

k3:=f(x+h/2,res+h*k2/2);

k4:=f(x+h,res+h*k3);

res:=res+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

x:=x+h; { переходим к следующей точке }

end;

RungeKutt:=res; { присваиваем конечный результат функции }

end;

begin

writeln(#10,'Метод Рунге-Кутта 4:');

writeln('n=50, result: ',RungeKutt(func,x0,5*x0+3.5,y0,50):5:5);

writeln('n=100, result: ',RungeKutt(func,x0,5*x0+3.5,y0,100):5:5);

writeln('n=250, result: ',RungeKutt(func,x0,5*x0+3.5,y0,250):5:5);

write(#10,'Press Enter to continue.');

readln;

end.