№ 211

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Методические указания

Иваново

1992

Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации

Ивановский ордена трудового Красного Знамени

Химико-технологический институт

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

Методические указания

Составители: С. И. Смуров

В. А. Таланова

Иваново 1992

1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ И ПРОГРАМИРОВАНИЮ.

Наименование: Моделирование сложных изотермических реакций, описываемых линейными дифференциальными уравнениями.

1.1. Содержание работы и порядок выполнения

Задача, предлагаемая в курсовой работе – задача прямого моделирования – получение однозначного решения при условии, что математическая модель определена полностью, т. е. известны все параметры модели, начальные условия, задается:

1. Схема механизма химической реакции.

2. Константы скоростей отдельных стадий реакций.

3. Начальные концентрации компонентов.

4. Продолжительность реакции.

5. Метод численного решения дифференциальных уравнений кинетики.

Требуется:

1. Составить кинетическую модель данной химической реакции.

2. Выполнить на калькуляторе численное решение дифференциальных уравнений кинетики с целью получения кинетических зависимостей компонентов реакции в виде таблиц и графиков функций С_i (t) для пяти равноотстоящих значение t.

3. Выполнить программирование задачи для ЦВМ на алгоритмическом языке Паскаль.

4. Решить задачу на ЦВМ для 20 равноотстоящих значений t.

2. Содержание и оформления отчета.

Отчет по лабораторной работе должен включать формулировку задания, а также подробное описание порядка выполнения работы в соответствии с предыдущим разделом « Содержание и порядок выполнения ».

В отчете должны быть представлены:

система дифференциальных уравнений, представляющая кинетическую модель данной химической реакции;

описание метода численного решения системы дифференциальных уравнений;

результаты численного решения задачи на калькуляторе в виде таблиц, графиков;

Паскаль-программа решения задачи;

результаты решения задачи на ЦВМ в виде таблиц и графиков решений, построенных на миллиметровой бумаге.

Отчет оформляется лабораторной тетради.

2. Постановка задачи.

Маршрут химической реакции принято отражать с помощью стехиометрического уравнения, которое показывает, в каких соотношениях вещества вступают во взаимодействие.

Компоненты реакции обозначают буквами A,B,C,…

Например, А + В С – стехиометрическое уравнение.

Если стехиометрическое уравнение отражает механизм химической реакции, то оно служит основанием для составления кинетических уравнений.

Кинетические уравнения определяют связь между скоростью химической реакции концентрациями реагирующих веществ.

Кинетические уравнения записываются на основании закон действующих масс, в соответствии с которым, скорость химической реакции пропорциональна концентрациям взаимодействующих веществ и не зависит от концентрации продуктов.

Так, для приведенного выше стехиометрического уравнения имеем:

Здесь К – константа скорости химической реакции.

Решая систему дифференциальных уравнений с некоторыми заданными начальными условиями С_А(О) = С_А^О , С_В(О) = С_В^О , С_С(О) = С_С^О , получим кривые зависимости С_А(t) , С_В(t) , С_С(t) – кинетические кривые, таким образом, можем рассчитать концентрации компонентов в определенный момент времени.

3. Некоторые методы численного решения систем дифференциальных уравнений.

Математическое моделирование кинетики сложных химических реакций сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

с начальными условиями y_i(x₀) = y_i^o , где i = 1,…,К.

Как правило, система уравнений, описывающих кинетику изучаемой реакции, является нелинейной и поэтому не может быть решена аналитически. Возникает необходимость использования метод приближенного численного интегрирования.

Эти методы позволяют приближенно отыскать решения дифференциальных уравнений только на некотором конечном интервале [a; b].

Пусть имеем некоторое дифференциальное уравнение первого порядка y=f(x;y)

с начальными условиями y(x₀)=y₀. Будем искать решение этого уравнения на отрезке [x₀;b].

Разобьем этот отрезок на n равных частей. Тогда получим систему равноотстоящих узлов

x₀ , x₁=x₀+h, x₂=x₁+h, …, x_n=b.

Здесь h=(b-x₀)/n – шаг интегрирования.

Численные методы дают возможность найти в некотором числе точек x₁, x₂, …, x_n приближения y₁, y₂, …, y_n для значений точного решения y(x₁), y(x₂), …, y(x₀) .

Наиболее простым методом решения дифференциальных и их систем является