книги / Функциональный анализ

Техн. редактор И. Ш. Аксельрод

Корректор Л . Я. Боровина

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора ко второму изданию .................................................

10

Г л а в а I. Основные понятия функционального анализа..........................

13

§ 1. Линейные систем ы .......................................................................................

13

1. Понятие линейной системы (13). 2. Линейная зависимость и не­

зависимость (14). 3. Линейные многообразия и фактор-системы

(15).

пространства ..................................................................................................

пространство

19

1. Линейное топологическое

(19). 2. Локально выпу­

клое пространство (21). 3. Линейное метрическое пространство (22).

4. Линейное нормированное

пространство (24). 5. Примеры линей­

ных нормированных пространств (26). 6. Полнота метрических про­

странств,

банахово

пространство

(30).

7.

Компактные множе­

ства (31). 8. Сепарабельные

пространства (34). 9. Изометрия, изо­

§ 3.

морфизм,

гомеоморфизм (34).

36

Линейные

функционалы...............................................................................

1. Понятие линейного

функционала. Гиперплоскость (36).

2. Непре­

рывные линейные функционалы (36). 3. Продолжение линейных не­

прерывных функционалов (37). 4. Примеры линейных функциона­

лов (38).

39

§ 4. Сопряженные пространства

.......................................................................

1. Двойственность линейных систем (39). 2. Сопряженное простран­

ство к линейному нормированному пространству (40). 3. Слабая схо­

димость,

слабые топологии

(43).

4. Выпуклые множества, крайние

точки

(46). 5. Фактор-пространство и ортогональные дополнения (47).

6. Произведения нормированных пространств (47). 7. Рефлексивные

банаховы

пространства (49).

8. Геометрия сферы банахова

простран­

ства (51). 9. Универсальные

пространства (52). 10. Вложения про­

странств (52). 11. Нормированные

пространства,

связанные с ло­

§ 5.

кально выпуклым пространством. Ядерное пространство (53).

Линейные

операторы

. ............................................................................... 55

1. Линейные ограниченные операторы (55). 2. Примеры линейных

ограниченных операторов (57). 3.

Сходимость

последовательностей

операторов (58). 4. Обратный оператор (59). 5. Пространство опера­

торов.

Алгебра операторов

(60).

6. Сопряженный оператор (61).

7. Вполне

непрерывные операторы

(61). 8. Операторы в произведе­

нии пространств (63). 9.

Замечание

о

комплексных

простран­

§ 6

ствах

(65).

65

Пространства с базисом...............................................................................

элементов

(65). 2.

1. Полнота и минимальность системы

Понятие

базиса

(66). 3.

Признаки базисов (68).

4. Безусловные базисы (69).

5. Устойчивость

базиса

(70). 6. Базисы

суммирования (71).

4

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а

II. Функциональные пространства.................................................

72

§ 1. Пространства дифференцируемых функций..............................................

72

1. Обозначения (72). 2. Пространства бесконечно

дифференцируемых

функций, (72).

3.

Обобщенные

функции

(74). 4. Преобразование

Фурье (76).

5.

Банаховы

пространства

обобщенных дифференцируе­

мых функций. Теоремы вложения (79).

83

§ 2. Пространства аналитических функций.....................................................

1. Пространства функций, аналитических в области (83). 2. Про­

странства

локально

аналитических

функций

(84).

3.

Простран­

ства Нр (85).

88

§ 3. Банаховы пространства измеримых функций..........................................

1. Пространство измеримых функций (88). 2. Примеры банаховых

пространств

измеримых

функций

(89). 3. Идеальные простран­

ства (91). 4. Двойственные пространства (93). 5. Симметричные и

однородные пространства (94).

96

§ 4. Векторнозначные функции...........................................................................

1.

Непрерывность,

дифференцируемость (96). 2. Интеграл

Ри­

мана (97). 3. Аналитические функции (98). 4. Интеграл Брхнера.

Суммируемые функции (99).

Г л а в а

III. Линейные

операторы в банаховом пространстве...............

103

§ 1. Теория линейных уравнений ....................................................................

103

1. Уравнения в конечномерных пространствах (103). 2. Основные

понятия (104). 3. Уравнение с замкнутым оператором (105). 4. Сопря­

женное уравнение (106). 5. /г-нормальные

и ^-нормальные уравне­

ния (107). 6. Априорные оценки (1С8). 7. Нетеровы уравнения (109).

8.

Фредгольмовы уравнения (110).

9. Линейные преобразования урав­

нений (111).

10. Линейная замена

переменного (112).

И.

Устойчи­

вость свойств уравнения (ИЗ).

114

§ 2. Линейные уравнения с параметром, спектральная теория...................

1. Спектр и резольвента оператора (114). 2. Спектральное разложе­

ние замкнутого оператора (118). 3. Классификация точек спектра (120).

4.

Вполне

непрерывные

операторы

(122).

123

§ 3. Функции от операторов, операторное исчисление..................................

1.

Функции

от ограниченного оператора (123). 2. Функции от неогра­

ниченного

оператора

(125). 3. Дробные степени

операторов

(127).

4.

Экспоненциальная

функция, группы операторов

(131). 5. Экспо­

ненциальная функция,

полугруппы операторов (133). 6. Эргодическая

теория (137).

141

§ 4. Интерполяция линейных операторов........................................................

1. Интерполяционные

пространства

(141). 2. Вещественные методы

конструирования интерполяционных пространств

(142). 3. Комплекс­

ные методы (145). 4.

Интерполяционные

семейства

и

шкалы

про­

странств (147). 5. Интерполяция

в

пространствах

суммируемых

функций (149). 6. Интерполяция в

пространствах дифференцируе­

мых функций

(153).

154

§ 5. Линейные интегральные операторы ........................................................

1. Общие свойства линейных интегральных операторов (154). 2. Ли­

нейные ^/-ограниченные и //-неограниченные операторы (156). 3. Ре­

зольвента

(Фредгольма)

линейного

интегрального оператора

(158).

4. Интегральные операторы с симметричным ядром

(160). 5. Инте­

гральные

операторы

в

пространстве

непрерывных

функций

(161).

6.

Важные

примеры

линейных

интегральных

операторов

(162).

7. Сингулярный интегральный оператор (164).

165

§ 6. Операторы, порожденные краевыми задачами......................................

1. Эллиптическое дифференциальное выражение (165). 2. Граничные

дифференциальные

выражения. Регулярная эллиптическая краевая

ОГЛАВЛЕНИЕ

5

задача (166).

3. Формула

Грина

и формально сопряженная

за­

дача (167). 4. Неравенства

коэрцитивности. Нетеровость эллиптиче­

ских

задач (169). 5. Полный набор

гомеоморфизмов, осуществляе­

мых эллиптическим оператором (170). 6. Спектр и резольвента

эллиптического

оператора

(172). 7. Эллиптические системы (175).

8. Индекс эллиптического

оператора (176).

Г л а в а

IV. Линейные операторы в гильбертовом пространстве . .

. .179

§ 1. Абстрактное гильбертово пространство .................................................

179

операторы (191). 6. Вполне непрерывные операторы (193).

7.

Ядер-

ные операторы и операторы

Гильберта — Шмидта

(198).

8.

Проек­

ционные операторы (201). 9.

Алгебры операторов

(203).

10. Опера- '

торы во внешнем произведении гильбертовых пространств

(203).

§ 3. Спектральное разложение самосопряженных операторов

...................

204

непрерывная

и сингулярная

части оператора (214). 8. Обобщенные

собственные элементы (215).

217

§ 4. Симметрические операторы........................................................................

1. Понятие

симметрического

оператора, индексы дефекта (217).

§ 5.

операторов. Обобщенные резольвенты (222).

224

Теория возмущений

...................................................................................

1. Общие свойства (224). 2. Конечномерные,, вполне непрерывные

и

ограниченные возмущения (226). 3: Возмущения полуограниченных

операторов (228). 4. Абсолютно непрерывный спектр. Волновые опе­

раторы (229). 5. Абсолютно непрерывный спектр. Гладкие возмуще­

§ 6.

ния (230).

232

Диссипативные операторы............................................................................

1. Максимальный диссипативный оператор (232). 2. Полуторалиней­

ные формы и неограниченные операторы (233). 3. Диссипативные

§ 7.

расширения консервативных операторов (234).

235

Обыкновенные дифференциальные

операторы...................................

1. Самосопряженные

дифференциальные выражения (235).

2. Регу­

лярный случай (236). 3. Сингулярный случай (237). 4. Критерии

самосопряженности

оператора Л0 на

(— оо, оо) (239). 5.

Характер

спектра самосопряженных расширений (240). 6. Разложение по

собственным функциям (241). 7. Примеры (243). 8. Обратная задача

Штурма — Лиувилля (245).

246

§ 8. Эллиптический дифференциальный оператор второго порядка . . . .

1. Самосопряженное

эллиптическое

дифференциальное

выраже­

6

ОГЛАВЛЕНИЕ

ческие функции (247). 3. Самосопряженные расширения, отвечающие

основным краевым задачам (248).

250

§ 9. Гильбертова шкала пространств

................................................................

1.

Гильбертова шкала

и ее свойства (250). 2.

Пример гильбертовой

шкалы.

Пространства

(252). 3. Операторы в

гильбертовой

шкале (253). 4. Теоремы о следах (254).

метрикой . . 255

§ 10. Линейные операторы в пространствах с индефинитной

1/ /-пространства (255). 2. Линейные операторы в /-простран­

ствах (257). 3. Примеры (262).

Г л а в а

V. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом про­

странстве ..........................................................................................................

265

§ 1. Линейные уравнения с ограниченным оператором ..............................

265

1. Линейные уравнения 1-го порядка. Задача

Коши (265). 2. Одно­

родное

уравнение с постоянным

оператором

(265).

3.

Случай гиль­

бертова

пространства

(267). 4.

Уравнение второго

порядка (267).

§ 2. Уравнения с постоянным неограниченным оператором.......................

273

1. Задача Коши (273). 2. Равномерно корректная задача Коши (276).

3.

Ослабленная

задача Коши (278). 4. Абстрактное

параболическое

уравнение

(280).

5. Обратная задача Коши (281).

6.

Уравнения

в гильбертовом

пространстве (282). 7. Неоднородное

уравнение

с постоянным

оператором

(284).

8. Возмущенное

уравнение (286).

§ 3. Корректные задачи для дифференциальных

уравнений.......................

286

1. Задача Коши для уравнений в частных

производных

с постоян­

ными коэффициентами (286). 2. Краевые задачи для параболических

систем (289). 3.

Симметрические

гиперболические

системы

(290).

4.

Уравнение

Шредингера (291). 5. Уравнение

с

запаздываю­

щим

аргументом

(291).

292

§ 4. Уравнение с переменным оператором.....................................................

1. Равномерно корректная задача Коши. Эволюционный

опера­

тор

(292).

2.

Устойчивая

аппроксимация

эволюционного

опера­

тора (293). 3. Ослабленная

задача Коши, корректная на D(A)

(294).

4.

Абстрактное

параболическое уравнение

с оператором, имеющим

уравнение в семействе подпространств (298).

300

§ 5. Уравнения второго порядка....................................................

2. Уравнение

..................

-1. Уравнение гиперболического типа (300).

эллиптиче­

ского типа (301). 3. Полное

уравнение

второго

порядка,

параболи­

ческий случай (304).

Г л а в а

VI. Нелинейные операторные уравнения.........................................

306

§ 1. Нелинейные операторы и функционалы.................................................

307

1. Непрерывность и ограниченность оператора

(307). 2. Дифферен­

цируемость

нелинейного

оператора

(308). 3.

Оператор Урысона

в пространствах С и Lp (310). 4. Оператор f

(312).

5. Оператор

Гаммерштейна (313). 6. Производные

высших

порядков

(313).

7. Потенциальные операторы (315).

317

§ 2. Существование решений ...........................................................................

1. Метод последовательных приближений (317). 2. Принцип сжатых

отображений (318). 3. Единственность решения

(319).

4. Уравнения

с

вполне

непрерывными

операторами.

Принцип

Шаудера

(320).

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

§ 3. Качественные методы в теории

ветвления

решений

...........................332

1. Продолжение решений, теорема о неявной функции (332). 2. Точки

ветвления (333). 3. Точки бифуркации,

принцип линеаризации (334).

4. Примеры из механики (338). 5. Уравнения с потенциальными опе­

раторами (341). 6. Рождение больших

решений (341). 7. Уравнение

разветвления (342). 8. Построение решений в виде рядов (343).

Г л а в а VII. Коммутативные банаховы

алгебры ...................

,.....................346

§ 1. Основные п о н я т и я .......................................................................................

2. Группа

346

1. Определения и примеры (346).

обратимых элементов,

теорема о непустоте спектра (349).

3. Максимальные идеалы и муль­

типликативные функционалы (350).

4.

Пространство

максимальных

идеалов, гельфандов гомоморфизм (352).

353

§ 2. Общие свойства...............................................................................................

элементами

алгебры

1. Аналитические операции над

(353). 2. Алге­

странства максимальных идеалов (355). 4. Алгебры

с

инволю­

цией (357). 5. Регулярные алгебры (359).

361

§ 3. Алгебры с равномерной сходимостью..............................

свойства

(362).... 2...................

1. Симметрия,

антисимметрия

и близкие

Некото­

рые характеристические

свойства

алгебры

С (А)

(364).

3. Эквива­

лентность Глисона (365). 4. Компактные

расширения (337).

5.

Алге­

браические уравнения

в С (А)

(368).

370

§ 4. Максимальные подалгебры ........................................................................

(370).

2. Максимальные

1. Постановка задачи,

примеры

подалгебры

алгебры С (X) (371). 3. Максимальные подалгебры в алгебрах с ин­

волюцией (372).

а н а л и з

374

§ 5. Групповые алгебры. Гармонический

1. Групповая алгебра (374). 2. Характеры дискретной группы и мак­

симальные идеалы групповой алгебры (376). 3. Компактные группы.

Принцип двойственности (378). 4. Локально компактные группы (378).

5. Преобразование Фурье (379).

6.

Спектральный

синтез. Эндомор­

физмы групповых алгебр (380). 7. Гиперкомплексные системы (381).

§ 6. Несколько замечаний о неполупростых алгебрах..................................

382

1. Идеалы в алгебрах степенных

рядов (382).

2.

Структурные тео­

ремы (383).

Г л а в а

VIII. Операторы

в пространствах

с к о н у с о м ..............................

385

§ 1. Конусы в линейных пространствах.........................................................

2.

Полуупорядоченные

385

1. Конус в линейной

системе

(385).

про­

странства (386). 3. /С-линеалы,

миниэдральные

конусы

(387). 4. /(-

пространства

(387).

5.

Конусы

в

банаховом

пространстве

(389).

6. Правильные конусы (391).

7.

Теоремы

о реализации

полуупоря-

доченных пространств

(392).

393

§ 2. Линейные положительные функционалы.................................................

2.

1. Положительные функционалы

(393).

Продолжение линейных

положительных функционалов

(394). 3. Равномерно положительные

функционалы (395). 4. Ограниченные

функционалы на конусе

(395).

5.

Сходимость

последовательности

положительных

функциона­

лов (396).

397

§ 3, Линейные положительные операторы .....................................................

8

ОГЛАВЛЕНИЕ

8.

Сравнение

спектральных радиусов и собственных значений поло­

жительных операторов (410). 9.

Неоднородное

линейное

уравне­

ние

(411).

10.

Существование

положительного

обратного'

опера­

тора (413).

11.

Инвариантные функционалы и собственные векторы

сопряженных

операторов

(414). 12. Сходимость последовательности

положительных операторов (415).

418

§ 4. Нелинейные операторы ...............................................................................

1. Основные понятия (418). 2. Существование положительных реше­

ний (418). 3. Существование

ненулевого

положительного

реше­

ния

(419).

4.

Непрерывная ветвь положительных

собственных век­

торов (420).

5. Вогнутые

операторы

(421).

6.

Сходимость последо­

вательных

приближений

(422).

Г л а в а

IX. Операторы квантовой

м ехан и ки ..............................................

423

§ 1. Общие положения квантовой м еханики.................................................

2.

423

1. Состояния

и наблюдаемые

величины (423).

Совместно наблю­

даемые величины (424).

3. Примеры пространств

состояний

(425).

4. Развитие системы со

временем

(427).

5. Квантование классиче­

ской механики (428). 6. Основные задачи квантовой механики (429).

§ 2. Конкретные квантовомеханические системы ..........................................

430

1. Оператор Шредингера модельных задач (430).

2. Простейшие

свойства

спектра оператора Шредингера

(431). 3.

Многоэлектрон-

ный

атом

(433).

§ 3. Спектр оператора Шредингера и некоторых родственных диффе­

435

ренциальных операторов...............................................................................

§ 4. Непрерывный спектр оператора энергии и задача рассеяния

. . . . 443

1. Частица

во

внешнем

поле (443). 2. Система нескольких ча­

стиц (444).

3.

Волновые

операторы

(446).

4.

Стационарная

поста­

новка (447). 5. Интегральное уравнение

теории

рассеяния

(449).

6. Случай

сферической

симметрии (450). 7. Общий случай

(452).

8. Обратная задача теории рассеяния (452).

Г л а в а Х . Обобщенные ф ункции....................................................................

455

§ 1. Обобщенные функции и действия

над н и м и ..........................................

455

1. Вводные замечания (455). 2. Обобщенные функции (456). 3. Дру­

гие теории

обобщенных

функций

(458). А. Действия над обобщен­

ными функциями (458). 5. Дифференцирование и интегрирование

обобщенных функций (459). 6. Предел последовательности обобщен­

ных функций (461). 7.

Локальные

свойства

обобщенных

функ­

ций (463).

8. Прямое произведение обобщенных функций

(464).

9. Свертка

обобщенных функций

(465). 10. Общий

вид обобщенных

функций (466). И.

Теорема о ядре

(467). 12.

Аналитические

пред­

ставления обобщенных функций одного переменного (467).

13. Обоб­

щенные

функции

как граничные

значения

голоморфных

функ­

ций (468).

470

§ 2. Обобщенные функции и расходящиеся интегралы ...............................

1. Регуляризация расходящихся интегралов (470), 2. Регуляризация

функций

x i , х ~ п и их линейных комбинаций (472).

3. Регуля­

ОГЛАВЛЕНИЕ

9

функции л;^, х \

и им аналогичные как функции от параметра X (482).

8. Однородные обобщенные функции (485). 9. Таблица производных

некоторых

обобщенных

функций

(486).

10. Дифференцирование и

интегрирование

произвольного порядка (486).

11.

Выражение

неко­

торых специальных функций в виде производных дробного по­

рядка (488).

............... 489

§ 3. Некоторые обобщенные функции нескольких переменных

1. Обобщенная функция гк (489).

2. Обобщенные

функции,

связан­

ные

с квадратичными

формами

(491).

3.

Обобщенные

функции

(Р +

Я))*'

и (Р —- /0)^

(493).

4.

-Обобщенные

функции

вида

(&, Я) (494).

5. Обобщенные

функции

на

гладких

поверхно­

стях

(496).

Фурье

обобщенных ф ун кц и й ...................................... 499

§ 4. Преобразование

I. Мультипликаторы и

свертыватели (499).

2.

Пространств

типов

S и & (500). 3.

Предельные

случаи пространств

типа 5

и <§?

(503).

4. Таблица преобразований Фурье обобщенных

функций одного пе­

ременного (505). 5. Положительно определенные обобщенные функ­

ции (509). 6. Условно положительно определенные

функции (510).

7. Теорема Пэли — Винера — Шварца (511).

8.

Спектральные

функ­

ции для голоморфных функций (511). 9. Теорема об острие клина (512).

10.

Преобразование Радона

основных функций и его свойства

(515).

II. Преобразование Радона обобщенных функций (514).

................... 515

§ 5. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения

1. Фундаментальные решения (515). 2. Фундаментальные

решения

для

некоторых

дифференциальных уравнений

(518).

3.

Построение

фундаментальных решений

для

эллиптических

уравнений

(519).

§ 6. Обобщенные функции в комплексном пространстве...........................

525

1.

Обобщенные функции одного комплексного переменного

(525).

2.

Обобщенные функции т комплексных переменных (528).

Библиография..........................................................................................................

532