книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

в соответствии с теорией относительности эквивалентна мас­ се Ulc2, поэтому (28.2) говорит, что поле электрона должно обладать массой

которая не совпадает с электромагнитной массой тт, опре­ деленной формулой (28.4). В самом деле, если бы мы просто скомбинировали выражения (28.2) и (28.4), то должны были бы написать

U3Jl = j t n iuc*.

Эта формула была получена еще до теории относительности, и когда Эйнштейн и другие физики начали понимать, что U всегда должно быть равно тс2, то замешательство было очень велико.

§ 4. С какой силой электрон действует сам на себя?

Разница между двумя формулами электромагнитной мас­ сы особенно обидна, потому что совсем недавно мы доказали согласованность электродинамики с принципами относитель­ ности. Кроме того, теория относительности неявно и неизбежно предполагает, что импульс должен быть равен произведению энергии на н/с2. Неприятная история! По-видимому, мы где-то допустили ошибку. Конечно, не алгебраическую ошибку в наших расчетах, а где-то проглядели что-то существенное.

При выводе наших уравнений для энергии и импульса мы предполагали справедливость законов сохранения. Мы счи­ тали, что учтены все силы, учтена любая работа и любой им­ пульс, порождаемый другими «неэлектрическими» механиз­ мами. Но если мы имеем дело с заряженной сферой, то, поскольку все электрические силы — это силы отталкивающие, электрон стремится разорваться. А раз в системе не учтены уравновешивающие силы, то в законах, связывающих импульс и энергию, возможны любые ошибки. Чтобы картина была самосогласованной, нужно предположить, что нечто удержи­ вает электрон от разрыва. Заряды должны удерживаться на сфере чем-то вроде «резинок», которые препятствуют их стремлению разлететься в стороны. Пуанкаре первый заме­ тил, что подобные «резинки» или нечто в этом роде, связы­ вающие электрон, необходимо учитывать при вычислении энергии и импульса. По этой причине дополнительные не­ электрические силы известны под именем «напряжений Пу­ анкаре». Если включить их в расчет, то это сразу изменит массы, полученные в обоих случаях (характер изменения зависит от детальных предположений), и результат будет

311

согласовываться с теорией относительности, т. е. масса, полу­ ченная из вычислений импульса, становится той же самой, что и масса, полученная из энергии. Однако теперь массы будут состоять из двух частей: электромагнитной и происходящей от «напряжений Пуанкаре». И только когда обе части скла­ дываются вместе, мы получаем согласованную теорию.

Итак, наши надежды не оправдались, мы не можем всю массу сделать чисто электромагнитной. Теория, содержащая только электродинамику, незаконна. К ней необходимо при­ бавить что-то еще. Как бы мы ни назвали это «что-то» — «ре­ зинками» или «напряжениями Пункаре» или как-то по-дру­ гому,— оно все равно должно порождать новые силы, обес­ печивающие согласованность теории такого рода.

Но совершенно ясно, что, как только мы вынуждены по­ садить внутрь электрона посторонние силы, красота всей картины тотчас исчезает. Все становится слишком сложным. Сразу же возникает вопрос: насколько сильны эти напряже­ ния? Что происходит с электроном? Осциллирует ли он или нет? Каковы все его внутренние свойства? И т. д. и т. п. Воз­ можно, что какие-то внутренние свойства электрона все-такн очень сложны. И если мы начнем строить электрон, следуя этому рецепту, то придем к каким-нибудь странным свойст­ вам наподобие собственных гармоник, которые, по-видимому, еще не наблюдались. Я сказал «по-видимому», ибо в природе мы наблюдаем множество странных вещей, которым еще не можем придать никакого смысла. Возможно, что когда-ни­ будь в один прекрасный день окажется, что какое-то явле­ ние, из тех, что непонятны нам сегодня (ц-мезон, например), можно на самом деле объяснить как осцилляции «напряжений Пуанкаре». Сейчас это не кажется правдоподобным, но кто может гарантировать? Ведь мы еще стольного не понимаем в мире элементарных частиц! Во всяком случае, сложная структура, предполагаемая этой теорией, весьма нежела­ тельна, и попытка объяснить все массы только через элек« тромагнетизм, по крайней мере описанным нами способом, завела в тупик.

Мне еще хотелось бы порассуждать немного о том, по­ чему при пропорциональности импульса поля скорости мы говорили о массе. Очень просто! Ведь масса — это и есть коэффициент между импульсом и скоростью. Однако воз­ можна и другая точка зрения. Можно говорить, что частица имеет массу, если для ускорения ее мы вынуждены прилагать какую-то силу. Посмотрим повнимательней на то, откуда берутся силы; это может помочь нашему пониманию. Откуда мы узнаем, что здесь должно проявиться действие сил? Да просто потому, что мы доказали закон сохранения импульса для полей. Если у нас есть заряженная частица и мы некото-

312

Ф и г . 28.3. Силадействия ускоряющегося электрона благодаря запазш дыеанию не равна нулю.

Под dF мы подразумеваем силу, действующую на элемент поверхности da, а под й*Р—силу, действующую на элемент поверхности daa со стороны заряди. располо*

жсмного на элементе поверхности dag.

рое время «нажимаем» на нее, то у электромагнитного поля появится импульс. Каким-то образом он был передан электро­ магнитному полю. Следовательно, чтобы разогнать электрон, к нему нужно приложить силу, дополнительную к той, кото­ рая требуется механической инерцией, связанную с его элек­ тромагнитным взаимодействием. При этом должна возникнуть соответствующая обратная реакция со стороны «толкаемого* нами электрона. Но откуда берется эта сила? Картина при­ мерно такова. Можно считать электрон заряженной сферой. Когда он покоится, то каждый его заряженный участок отталкивает любой другой, но все силы уравновешены по­ парно, так что результирующая равна нулю (фиг. 28.3,о). Однако при ускорении электрона силы больше не уравнове­ шиваются, так как, чтобы электромагнитное влияние дошло от одного места до другого, нужно некоторое время. На­ пример, сила, действующая на участок о (фиг. 28.3, б) со сто­ роны участка р, расположенного на противоположной сто­ роне, зависит от положения 0 в запаздывающий момент. И ве­ личина и направление силы определяются движением заряда. Если он ускоряется, то силы, действующие на разные части электрона, могут быть такими, как это показано на фиг. 28.3, в. Теперь при сложении всех этих сил они не сокра­ щаются. Для постоянной скорости эти силы уравновешива­ лись бы, хотя на первый взгляд кажется, что даже при равно­ мерном движении запаздывание приведет к неуравновешен­ ным силам. Тем не менее оказывается, что в тех случаях, когда электрон не ускоряется, равнодействующая сила равна нулю. Если же мы рассмотрим силы между различными час­ тями ускоряющегося электрона, то действие и противодей­ ствие не компенсируют в точности друг друга и электрон действует сам на себя, стараясь уменьшить ускорение. Он тянет сам себя «за шиворот» назад.

313

Можно, хотя н не легко, вычислить эту силу самодействия, однако здесь мы не будем заниматься такими трудоемкими расчетами. Я просто скажу вам, что получается в специаль­ ном сравнительно простом случае движения в одном измере­ нии, скажем вдоль оси х. Самодействие в этом случае можно записать в виде ряда. Первый член этого ряда зависит от

где а и у — числовые коэффициенты порядка единицы. Коэф­ фициент а при слагаемом х зависит от предположенного рас­ пределения зарядов; если заряды равномерно распределены по сфере, то а = 2/з- Таким образом, слагаемое, пропорцио­ нальное ускорению, изменяется обратно пропорционально ра­ диусу электрона а, что в точности согласуется с величиной, полученной для т эм в (28.4). Если взять другое распределе­ ние, то а изменится, но в точности так же изменится и вели­ чина 2/ 3 в (28.4). Слагаемое с х не зависит ни от радиуса а, ни от предположенного распределения заряда; коэффициент при нем всегда равен 2/з. Следующее слагаемое пропорцио­ нально радиусу а и коэффициент у при нем определяется распределением заряда. Обратите внимание, что если устре­ мить радиус электрона к нулю, то последнее слагаемое (равно как и все высшие члены) обратится в нуль, второе остается постоянным, но первое — электромагнитная масса — стано­ вится бесконечным. Видно, что бесконечность возникает из-за действия одной части электрона на другую; по-видимому, мы допустили глупость —возможность «точечного» электрона действовать на самого себя.

$ 5. Попытки изменения теории Максвелла

Теперь мне бы хотелось обсудить, как можно изменить электродинамику Максвелла, но изменить так, чтобы сохра­ нить понятие простого точечного заряда. В этом направлении было сделано немало попыток, а некоторые теории сумели даже так представить дело, что вся масса электрона оказа­ лась полностью электромагнитной. Однако ни одной из этих теорий не суждено было выжить. И все же интересно обсу­ дить некоторые из предложенных возможностей хотя бы для того, чтобы оценить борьбу человеческого разума.

* Мы пользуемся такими обозначениями х = dxldtl х = dlx /d t\ х = d3xldt* и т. д.

314

Hama теория электромагнетизма началась с разговоров о взаимодействии одного заряда с другим. Затем мы построи­ ли теорию этих взаимодействующих зарядов и закончили наше изучение теорией поля. Мы настолько уверовали в нее, что пытались с ее помощью определить, как одна часть элек­ трона действует иа другую. Все трудности, возможно, проис­ ходят из-за того, что электрон не действует сам на себя; эк­ страполяция закона взаимодействия между отдельными электронами на взаимодействие электрона самого с собой, возможно, ничем не оправдана. Поэтому некоторые из пред­ ложенных теорий совсем исключают возможность самодействия электрона. Из-за этого в них уже не возникает беско­ нечностей. И никакой электромагнитной массы при этом нет, а ее масса снова полностью механическая. Однако в такой теории возникают новые трудности.

Нужно сразу же вам сказать, что такие теории требуют изменения и понятий электромагнитного поля. Как вы по­ мните, мы говорили, что сила, действующая на частицу в лю­ бой точке, определяется просто двумя величинами: Е и В. Если мы отказываемся от идеи самодействия, то это утверждение становится уже несправедливым, ибо силы, дей­ ствующие на электрон в некотором месте, больше не опреде­ ляются полными Е и В, а только теми их частями, которые создаются другими зарядами. Так что мы всегда должны помнить о том, какие поля Е и В создает тот заряд, для кото­ рого вычисляется действующая сила, а какие —все остальные заряды. Это делает теорию гораздо более запутанной, хотя и позволяет избежать трудностей с бесконечностями.

Итак, если нам очень хочется, мы можем выбросить весь набор сил в уравнении (28.9), приговаривая при этом, что такое явление, как действие электрона на себя, отсутствует. Но вместе с водой мы выплескиваем и ребенка! Ведь вто­

рое-то слагаемое в (28.9), слагаемое с х, совершенно необ­ ходимо. Эта сила приводит к вполне определенному эффекту. Если вы ее выбросите — беды не миновать. Когда вы разго­ няете заряд, он излучает электромагнитные волны, т. е. те­ ряет энергию. Поэтому ускорение заряда требует большей силы, чем ускорение нейтрального объекта той же массы;

впротивном случае энергия не будет сохраняться. Скорость,

скоторой мы затрачиваем работу на ускорение заряда, должна быть равна скорости потерн энергии на излучение. Мы уже говорили об этом эффекте; он был назван радиа­ ционным сопротивлением. Снова перед нами вопрос: откуда берутся те дополнительные силы, на преодоление которых затрачивается эта работа? Когда излучает большая антенна, то эти силы возникают под влиянием токов одной ее части иа токи в другой. Но у отдельного ускоряющегося электрона, из­

31S

лучающего з. пустое пространство, возможен только, один ис­ точник таких сил — действие одной части электрона на другую.

В гл. 32 (вып. 3) мы обнаружили, что осциллирующий заряд излучает энергию со скоростью

Давайте посмотрим, какая мощность необходима для преодо­ ления силы самодействия (28.9). Мощность, как известно, равна силе, умноженной на скорость, т. е. Fx:

Первый член пропорционален dx2ldt и поэтому соответствует скорости изменения кинетической энергии xkmv2, связанной с электромагнитной массой. А второй соответствует излуче­ нию мощности (28.10). Однако он отличается от (28.10). Раз­ ница состоит в том, что (28.11) справедливо в общем случае, тогда как (28.10) верно для осциллирующего заряда. Мы можем доказать, что эти два выражения для периодического движения заряда эквивалентны. Перепишем для этого второй член выражения (28.11) в виде

что будет просто алгебраическим преобразованием. Если движение электрона периодическое, то величина хх периоди­ чески возвращается к одному и тому же значению. Так что если мы возьмем среднее значение ее производной по вре­ мени, то получим нуль. Однако второй член всегда положи­ телен (как квадрат величины), так что его производная тоже положительна. Соответствующая ему мощность как раз равна выражению (28.10).

Итак, слагаемое с х в выражении для силы самодействия необходимо для сохранения энергии излучающей системы и не может быть выброшено. Это было одним из триумфов тео­ рии Лоренца, доказавшего возникновение такого слагаемого в результате воздействия электрона самого на себя. Мы вы­ нуждены поверить в идею самодействия и необходимость

слагаемого с х. Проблема в том, как сохранить его, изба­ вившись при этом от первого слагаемого в выражении (28.9), которое портит все дело. Этого мы не знаем. Как видите, классическая теория электрона сама себя завела в тупик.

Были предприняты и другие попытки выправить положе­ ние. Один путь был предложен Борном и Инфельдом. Состоит он в очень сложном изменении уравнений Максвелла, так что они перестают быть линейными. При этом можно сделать так,

316

чтобы энергия и импульс оказались конечными. Но предло­ женные ими законы предсказывают явления, которые никогда не наблюдались. Их теория страдает еще и другим недостат­ ком, к которому мы придем позднее и который присущ всем попыткам избежать описанную трудность.

Следующая интересная возможность была предложена Дираком. Он рассуждал так: давайте допустим, что действие электрона на себя описывается не первым слагаемым выра­ жения (28.9), а вторым. И тогда ему пришла заманчивая идея избавиться от первого слагаемого, сохранив при этом второе. Смотрите —сказал он, — когда мы брали только за­ паздывающие решения уравнений Максвелла, это условие вы­ ступало как дополнительное предположение; если бы вместо запаздывающих мы взяли опережающие волны, то ответ по­ лучился бы несколько другим. Выражение для силы самодействия приобрело бы вид

Это выражение в точности такое же, как и (28.9), за исклю­ чением знака перед вторым и некоторыми высшими членами ряда. [Замена запаздывающих волн опережающими означает просто смену знака запаздывания, что, как нетрудно видеть, эквивалентно изменению знака t. В выражении (28.9) это приводит только к изменению знака всех нечетных производ­ ных.] Итак, Дирак предложил: давайте примем новое пра­ вило, что электрон действует на себя полуразностью созда­ ваемых им запаздывающих и опережающих полей. Полуразность выражений (28.9) и (28.12) дает

2 ег

F= — -g —г х + Высшие члены.

Во всех высших членах радиус а входит в числитель в поло­ жительной степени. Поэтому, когда мы переходим к пределу точечного заряда, остается только один член — как раз тот, который нам нужен. Таким путем Дирак сохранил радиа­ ционное сопротивление и избавился от силы инерции. Элек­ тромагнитная масса исчезла, классическая теория спасена, но благополучие это достигнуто ценой насилия над самодействием электрона.

Произвол дополнительных предположений Дирака был устранен, по крайней мере до некоторой степени, Уилером и Фейнманом, которые предложили еще более странную тео­ рию. Они предположили, что точечный заряд взаимодей­ ствует только с другими зарядами, но взаимодействие идет наполовину через запаздывающие, наполовину через опере­ жающие волны. Самое удивительное, как оказалось, что

817

в большинстве случаев вы не видите эффекта опережающих волн, но они дают как раз нужную силу радиационного со­ противления. Однако радиационное сопротивление возникает не как самодействие электрона, а в результате следующего интересного эффекта. Когда электрон ускоряется в момент t, то он влияет на все другие заряды в мире в поздний момент t' = t-\-г!с (где г— расстояние до других зарядов) из-за за­ паздывающих волн. Но затем эти другие заряды действуют снова на первоначальный электрон с помощью опережающих волн, которые приходят к нему в момент равный /' минус г/с, что как раз равно t. (Они, конечно, воздействуют и с по­ мощью запаздывающих волн, но это просто соответствует обычным «отраженным» волнам.) Комбинация опережаю­ щих и запаздывающих волн означает, что в тот момент, когда электрон ускоряется, осциллирующий заряд испытывает воз­ действие силы со стороны всех зарядов, которые «пригото­ вились» поглотить излученные им волны. Вот в какой петле запутались физики, пытаясь спасти теорию электрона!

Я расскажу вам еще об одной теории, чтобы показать, до каких вещей додумываются люди, когда они увлечены. Это несколько другая модификация законов электродинамики, ко­ торую предложил Бопп.

Вы понимаете, что, решившись изменить уравнения элек­ тромагнетизма, можно делать это в любом месте. Вы мо­ жете изменить закон сил, действующих на электрон, или мо­ жете изменить уравнения Максвелла (как это будет сделано в теории, которую я собираюсь описать) или еще что-нибудь. Одна из возможностей — изменить формулы, определяющие потенциал через заряды и токи. Возьмем формулу, которая выражает потенциалы в некоторой точке через плотности то­ ков (или зарядов) в любой другой точке в ранний момент времени. С помощью четырехвекторных обозначений для по­ тенциалов мы можем записать ее в виде

<2 < ш >

Удивительно простая идея Боппа заключается в следующем. Может быть, все зло происходит от множителя 1/г под инте­ гралом. Предположим с самого начала, что потенциал в од­ ной точке зависит от плотности зарядов в любой точке как некоторая функция расстояния между точками, скажем как f(r 12). Тогда полный потенциал в точке 1 будет определяться интегралом по всему пространству от произведения /ц на эту функцию:

AAl) = [k(2)f(r^dV2.

318

Ф и г. 28.4. Функция F ($*), ис• пользуемая в нелокальной теории Боппа.

Вот и все. Никаких диффе­ ренциальных уравнений, ни­ чего больше. Есть только еще одно условие. Мы долж­ ны потребовать, чтобы ре­ зультат был релятивистски инвариантным. Так что в ка­ честве «расстояния» мы дол­ жны взять инвариантное «расстояние» между двумя точками в пространстве-вре­

мени. Квадрат этого расстояния (с точностью до знака, кото­ рый несуществен) равен

S12 = с2 (* I “ Q 2 “ Г%= С2 ( /, - /2) 2 - (* , - * 2) 2 -

- { t J i - y t f - i z x - Z i ) - . (28.14)

Так что для релятивистской инвариантности теории функция должна зависеть от s12 или, что то же самое, от sj2. Таким

образом, в теории Боппа

(Интеграл, разумеется, должен браться по четырехмерному объему dt2dx2dy2dz2.)

Теперь остается только выбрать подходящую функцию F. Относительно нее мы предполагаем только одно, что она повсюду мала, за исключением области аргумента вблизи нуля, т. е. что график F ведет себя подобно кривой, изобра­ женной на фиг. 28.4. Это узкий пик в окрестности s2 = 0, ши­ риной которого грубо можно считать величину а2. Если вы­ числяется потенциал в точке /, то приближенно можно утвер­ ждать, что заметный вклад дают только те точки 2, для ко­ торых Si2 — с2 (t2— / 2) 2— rj2 отличается от нуля на ± а 2. Это

можно выразить, сказав, что F важно только для

Если понадобится, можно проделать все математически бо­ лее строго, но идея вам уже ясна.

319

Предположим теперь, что а очень мало по сравнению с размерами обычных объектов типа электромоторов, генера­

дают вклад только те токи, для которых t\ — t2 очень мало:

С ( / , - g « V r ! 2 ± ° 2 = Г1 2 д / 1 ± - ^ •

Но поскольку a2/ri2 ^ 1> то квадратный корень приближенно равен 1 ± a2/2r2v так что

В чем здесь суть? Полученный результат говорит, что для i4(i в момент ti важны только те времена t2, которые отли­ чаются от него на запаздывание г^/с с пренебрежимо малой поправкой, ибо г\2 а. Другими словами, теория Боппа пе­ реходит в теорию Максвелла при удалении от зарядов в том смысле, что она приводит к эффекту запаздывания.

Мы можем приближенно увидеть, к чему нас приведет интеграл (28.15). Если, зафиксировав г\2, провести интегри­ рование по t2 в пределах от —оо до -foo, то &,22 тоже будет

изменяться от —с» до +°°- Но основной вклад даст участок по t2 шириной Л<2 = 2 -а2/2 г12с с центром в момент f j— Г|2М Пусть функция F(s2) при s2 = О принимает значение К, тогда интегрирование по t2 дает приблизительно /С/»* А/д, или

Ка2 /у

сг „ *

Разумеется, величину /ц следует взять в момент t2 = t\ — г12/с, так что (28.15) принимает вид

- v ( i . o =

Если выбрать К = q2cl4neoa2, то мы придем прямо к запазды­ вающему решению уравнений Максвелла для потенциалов, причем автоматически возникает зависимость \/г\ И все это получилось из простого предположения, что потенциал в од­ ной точке пространства-времени зависит от плотности токов во всех других точках пространства-времени с весовым мно­ жителем, в качестве которого взята некая функция четырех­ мерного расстояния между двумя точками. Эта теория дает конечную электромагнитную массу электрона, а соотношение между энергией и массой как раз такое, какое требуется в теории относительности. Ничего другого не могло и быть, ибо теория релятивистски инвариантна с самого начала.

320