книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

(с противоположной полярностью) в точке 5|. Но при двух стенках появится также изображение S0 в стенке Wi\ обозна­ чим его S2. Этот источник также будет обладать своим изо­ бражением в №,; обозначим его S3. Дальше, сами Si и S3 изо­ бразятся в 1^2 точками S4 и S6 и т. д. И для нашей пары пло­ ских проводников с источником посредине поле между про­ водниками совпадает с полем, генерируемым бесконечной цепочкой источников на расстоянии а друг от друга. (Это на самом деле как раз то, что вы увидите, посмотрев на провод, расположенный посредине между двумя параллельными зер­ калами.) Чтобы поля обращались в нуль на стенках, поляр­ ности токов в изображениях должны меняться от одного изо­ бражения к следующему. Иначе говоря, их фаза меняется

нает статические поля. В гл. 7, § 5 (вып. 5) мы рассматри­ вали статическое поле сетки линейных источников и нашли, что оно похоже на поле заряженной пластины, если не счи­ тать членов ряда, убывающих по мере удаления от сетки экспоненциально. У нас средняя сила источников равна нулю, потому что у каждой пары соседних источников знаки проти­ воположны. Любые поля, существующие здесь, должны с рас­ стоянием убывать экспоненциально. Вплотную к источнику мы в основном воспринимаем поле этого ближайшего источ­ ника; на больших расстояниях уже воздействует несколько источников, и их суммарное влияние дает нуль. Мы теперь понимаем, отчего волновод ниже граничной частоты дает экспоненциально убывающее поле. При низких частотах го­ дится статическое приближение, и оно предсказывает быстрое ослабление полей с расстоянием.

Теперь зато возникает противоположный вопрос: отчего же в таком случае волны вообще распространяются? Теперь уже это выглядит таинственно! А причина-то в том, что при вы­ соких частотах запаздывание полей может внести в фазу до­ бавочные изменения, которые могут привести к тому, что поля источников с противоположной фазой будут усиливать, а не гасить друг друга. В гл. 29 (вып. 3) мы уже изучали как раз для этой задачи поля, создаваемые системой антенн или оп­ тической решеткой. Тогда мы обнаружили, что соответствую­ щее расположение нескольких радиоантенн может привести к такой интерференционной картине, что в одном направле­ нии сигнал будет очень сильный, а в других сигналов вообще не будет.

Вернемся к фиг. 24.15 и посмотрим на поля на большом расстоянии от линии изображений источников. Поля будут велики лишь в некоторых направлениях, зависящих от

241

\нсйных источников.

\

запаздываний от двух соседних источников до гребня волны отвечала полупериоду колебания. Иными словами, разность между г2 и го на рисунке равна половине длины волны в пу­ ском пространстве:

г _ , _*о

Гг—г0— Y '

Имеется, конечно, и другая совокупность волн, бегущих вниз под симметричным углом по отношению к линии источ­ ников. А полное поле в волноводе (не слишком близко к ис­ точнику) является суперпозицией этих двух совокупностей волн (фиг. 24.17). Конечно, в действительности картина истин­ ных полей совпадает с изображенной лишь в пространстве между стенками волновода.

В таких точках, как И и С, гребни двух волновых картин совпадут, и у поля будет максимум; в точках же наподобие В пики обеих волн направлены в отрицательную сторону, и поле обладает минимумом (наименьшим отрицательным зна­ чением). С течением времени поле в волноводе будет дви­ гаться вдоль него. Длина волны будет равна Хе— расстоянию от А до С. Она связана с 0 формулой

*8

242

Ф и г. 24.17. Поле в волноводе можно рассматривать как на- ложекие двух верениц плоских волн.

что в точности совпадает с (24.19).

Теперь нам становится понятно, почему волны распростра­ няются только выше граничной частоты сооЕсли длина волн в пустом пространстве больше 2а, то не существует угла, под которым может появиться волна, показанная на фиг. 24.16. Необходимая для этого конструктивная интерференция воз­

А если частота достаточно высока, то может появиться два или больше возможных направления распространения волн.

В нашем случае это произойдет при А0<-|-а. Но вообще-то это

может происходить и при Ао < а. Эти добавочные волны от­ вечают высшим типам волн, о которых мы говорили.

После нашего анализа становится также ясно, отчего фа­ зовая скорость волн, бегущих, по трубе, превышает с и зави­ сит от со. Когда о меняется, меняется и угол на фиг. 24.16, под которым в пустом пространстве распространяются волны, а вместе с этим меняется и скорость вдоль трубы.

Хотя мы описали волны в волноводе .в виде суперпозиции полей бесконечной совокупности линейных источников, но можно убедиться в том, что тот же результат можно было бы получить, представив себе две совокупности волн в пустом пространстве, многократно отражаемых от двух идеальных зеркал вперед и назад, и вспоминая, что подобное отражение означает перемену знака фазы. Эти совокупности отражае­ мых волн гасили бы друг друга под всеми углами, кроме угла 0 [см. (24.33)]. Одну и ту же вещь можно рассматривать многими способами.

243

244

ния этой инвариантности относительно вращения является запись уравнений в векторном виде.

Там мы обнаружили, что если, скажем, взять два вектора А = (>4Х, Ay, Az) и Ъ = {ВХ, By, Вг\

то комбинация

А • В = АХВХ4- АуВу + АгВг

при повороте системы координат не меняется. Таким образом, если с обеих сторон уравнения мы видим скалярное произве­ дение, подобное А-В, то уравнение будет иметь в точности ту же форму в любой повернутой системе координат. Кроме того, мы открыли оператор (см. гл. 2 )

д

ду •

который, будучи применен к скалярной функции, дает три ве­ личины, преобразующиеся в точности как вектор. С помощью этого оператора был определен градиент, а в комбинации с другими векторами —дивергенция и лапласиан. И, наконец, мы обнаружили, что, составляя суммы некоторых попарных произведений компонент двух векторов, можно получить три величины, которые ведут себя подобно новому вектору. Мы назвали это векторным произведением двух векторов. Исполь­ зуя затем векторное произведение с оператором V, мы опре­ делили ротор вектора. В дальнейшем нам часто придется ссы­ латься на то, что было нами сделано в векторном анализе, поэтому все важнейшие векторные операции в трехмерном пространстве, которые использовались в прошлом, мы со­ брали в табл. 25.1.

Таблица 25.1 • ВАЖНЕЙШИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ОПЕРАТОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Пользуясь ею, можно так записать любое уравнение фи­ зики, что обе его части преобразуются при вращениях одина­ ковым образом. Если одна его часть — вектор, то вектором должна быть и другая часть, и обе они при вращении системы координат изменяются в точности одинаково. Аналогично, если одна часть скаляр, то скаляром должна быть и другая

245

часть, так что ни та, ни другая не изменяется при вращении системы координат и т. д.

В теории относительности пространство и время неразде­ лимо связаны друг с другом, поэтому то же самое придется проделать и для четырех измерений. Мы хотим, чтобы наши уравнения оставались неизменными не только при враще­ ниях, но и при переходе в любую инерциальную систему. Это означает, что наши уравнения должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца (25.1). Цель настоя­ щей главы — показать, как этого можно добиться. Но прежде чем начать, примем соглашение, которое значительно облег­ чит нашу работу (и к тому же поможет избежать путаницы). Заключается оно в таком выборе единиц измерения длины и времени, чтобы скорость света с оказалась равной единице. Вы можете считать, например, что в качестве единицы вре­ мени взят интервал, за который свет проходит отрезок в один метр (это составляет около 3-10-9 сек). Можно даже так и назвать эту единицу времени: «один световой метр». Исполь­ зование этой единицы еще ярче оттеняет симметрию простран­ ства и времени. Кроме того, из наших релятивистских урав­ нений исчезнут все с. (Если это почему-либо вас смущает, то вы можете в любом уравнении восстановить их или заменить каждое t на cf, а еще лучше вставить с повсюду, где это не­ обходимо для правильной размерности уравнения.) Теперь, после такой подготовки, мы можем двинуться дальше.

Наша программа состоит в том, чтобы повторить в четы- рехмернбм.пространстве-времени все то, что мы делали с век­ торами в трех измерениях. Дело это нехитрое — мы просто будем действовать аналогично. Единственноезатруднение встретится только при обозначениях (символ вектора у нас уже занят трехмерными векторами), и несколько изменятся знаки в скалярном произведении.

Прежде всего, по аналогии с векторами в трехмерном про­ странстве, введем четырехвектор как набор четырех величин й[, а х, а у и а г, которые при переходе в движущуюся систему координат преобразуются подобно (, х, у и г. Для обозначе­ ния четырехвектора используется несколько различных спо­ собов. Мы же будем писать просто йд, понимая под этим группу четырех величин (at,.ax, ау, а2); другими словами, зна­ чок |х принимает какое-либо из четырех «значений»: t, х, у и 2 . Иногда нам будет удобно обозначать три пространствен­ ные компоненты в виде трехмерного вектора, т. е. писать

246

т. е. четырехвектор ри состоит из энергии Е и трех компонент трехмерного импульса частицы р.

Похоже, что игра действительно оказывается нехитрой: единственное, что мы должны сделать,— это найти для каж­ дого трехмерного вектора недостающую компоненту и полу­ чить четырехвектор. Однако все же эта задача потруднее, чем кажется на первый взгляд. Возьмем, например, вектор скорости с компонентами

Что будет его временной компонентой? Инстинкт подсказы­ вает нам, что поскольку четырехвектор подобен t, х, у, 2 , то временной компонентой как будто должно быть

Но это неверно. Дело в том, что время t в каждом знамена­ теле не инвариантно при преобразованиях Лоренца. Числи­ тель имеет правильное поведение, a dt в знаменателе портит все дело: оно не одинаково в двух различных системах.

Оказывается, что четыре компоненты «скорости», которые нам нужно выписать, превратятся в компоненты четырехвек-

тора, если мы попросту поделим их на V 1— гЛ В правиль­ ности этого можно убедиться, взяв четырехвектор импульса

и поделив его на массу покоя, которая в четырехмерном про- странстве является скаляром. Мы получим при этом

что по-прежнему должно быть четырехвектором. (Деление на скаляр не изменяет трансформационных свойств.) Так что

четырехвектор скорости нц можно определить так:

_ 1 _ fу

Это очень полезная величина; мы можем теперь написать, например,

Р„=т0и11. (25.6)

Таков типичный вид, который должен иметь правильное реля» тивистское уравнение: каждая сторона его должна быть че*

247

тырехвектором. (В правой части стоит произведение инва­ рианта на четырехвектор, которое по-прежнему есть четырехвектор.)

§ 2. Скалярное произведение

То, что расстояние от некоторой точки до начала коорди­ нат не изменяется при повороте, если хотите, — счастливая случайность. Математически это означает, что г2= х2+ у2+ -f г2 является инвариантом. Другими словами, после пово­ рота г'2 = г2 или

х'2+ у'2-f z'2 = х2 -f- # 2 -f г2.

Возникает вопрос: существует ли подобная величина, которая инвариантна при преобразованиях Лоренца? Да, существует. Из (25.1) вы видете, что

t'2- x ' 2= i2- x 2.

Она была бы всем хороша, если бы только не зависела от на­ шего выбора оси х. Но этот недостаток легко исправить вы­ читанием у2и г2. Тогда преобразование Лоренца плюс враще­ ние оставляют ее неизменной. Таким образом, роль вели­ чины, аналогичной трехмерному г2 в четырехмерном прост­ ранстве, играет комбинация

/2 — х2— у2 —г2.

Она является инвариантом так называемой «полной группы Лоренца», которая включает как перемещения с постоянной скоростью, так и повороты.

Далее, поскольку эта инвариантность представляет собой алгебраическое свойство, зависящее только от правил преоб­ разования (25.1) плюс вращение, то она справедлива для лю­ бого четырехвектора. (Все они, по определению, преобра­ зуются одинаковым образом.) Так что для любого четырех­ вектора ад

а'2— а'2— а'2 — а' 2 = а2, — а2 — а2— а2.

t х у г t **х у г ш

Эту величину мы будем называть квадратом «длины» четы­ рехвектора Оц. (Будьте внимательны! Иногда берут обратные знаки у всех слагаемых и квадратом длины называют число

<$ + < $+<$-< $.)

Если теперь у нас есть два вектора awи 6 Й, то их одно­ именные компоненты преобразуются одинаково, поэтому комбинация

Ofbf — axbx — ауЬу агЬг

также будет инвариантной (скалярной) величиной. (Факти­ чески мы доказали это уже в гл. 17, вып. 2.) Получилась ве­ личина, совершенно аналогичная скалярному произведению векторов. Мы так и будем называть ее скалярным произведем

248

н и ем двух четырехвекторов. Логично, казалось бы, и записы­ вать его ац*6 ц, чтобы оно даже вы гл я д ел о похож им на ска­ лярное произведение. Но обычно, к сожалению, так не де­ лают и пишут его без точки. И мы тоже будем придержи­ ваться этого порядка и записывать скалярное произведение

просто а цЬц. Итак, по о п редел ен и ю

Помните, что повсюду, где вы видите два одинаковых значка (вместо р, мы иногда будем пользоваться v или другими бук­ вами), необходимо взять четыре произведения и сложить их,

не з а б ы в а я п ри этом о зн а к е м и нус перед произведениями

пространственных компонент. С учетом такого соглашения инвариантность скалярного произведения при преобразова­ ниях Лоренца можно записать так

Поскольку последние три слагаемых в формуле (25.7) представляют просто трехмерное скалярное произведение, то часто удобнее принять такую запись:

а цЬц — cLfbf — а • Ь.

Очевидно, что введенную выше четырехмерную длину можно записать как а^а^:

Но иногда удобно эту величину записать как а

°iis <W

Продемонстрируем теперь плодотворность четырехмерного скалярного произведения. Антипротоны (р) получаются на больших ускорителях из реакции

Р + р-*/> + /? + Р + р.

Иначе говоря, высокоэнергетический протон сталкивается с покоящимся протоном (например, с помещенной в пучок во­ дородной мишенью), и если падающий протон обладает до­ статочной энергией, то вдобавок к двум первоначальным про­ тонам может родиться пара протон — антипротон*.

* Вас может удивить, почему же мы не пользуемся реакцией

р + р -* р + р,

для которой, несомненно, требуется меньшая энергия? Все дело в прин­ ципе, называемом сохранением барионного заряда, согласно которому ве­ личина, равная числу протонов минус число антипротонов, не может из­ мениться. В левой стороне нашей реакции эта величина равна 2. Следо­ вательно, если мы хотим справа иметь антипротон, то ему должны со­ путствовать еще три протона (илЛ других барнона).

249

точна д л я протекания реакции . Протоны обозначены черны м и к р у ­ ж очкам и, а антипротоны— белы м и .

Какой энергией должен обладать падающий протон, чтобы эта реакция стала энергетически возможной?

Ответ легче всего получить, рассмотрев эту реакцию в си­ стеме центра масс (ц. м.) (фиг. 25.1), Назовем падающий протон протоном а, а его четырехимпульс обозначим через р“, Аналогично, протон мишени назовем Ь, а его четырехим­

пульс обозначим через р Если энергии падающего протона

как раз достаточно для реакции, то в конечном состоянии (т. е. в состоянии после соударения) образуется система, со­ держащая три протона и антипротон, покоящиеся в системе ц. м. Если энергия падающего протона будет несколько выше, то частицы в конечном состоянии вылетят с некоторой кине­ тической энергией и будут разлетаться в стороны; если же она немного ниже, то ее будет недостаточно для образования четырех частиц.

Пусть — полный четырехимпульс всей системы в ко­

нечном состоянии, тогда, согласно закону сохранения энергии и импульса,

Рв + Р6“ Рв

и

Еа + Еь = Ее,

а комбинируя эти два выражения, можно написать

250