Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Расчет электрических фильтров для аппаратуры связи

..pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
13.11.2023
Размер:
22.68 Mб
Скачать

Диаграмма рассеивания.

Вышеприведенные результаты просуммированы в диаграмме рассеяния.

Предположим, что мы рассматриваем входное сопротивление Z фильтра. Представим, что изготовлено большое количество филь­ тров при заданных допусках на элементы. Измеренные величины входного сопротивления отмечаются в виде точек на комплексной плоскости сопротивлений. Точки будут концентрироваться вблизи среднего значения полного сопротивления. Плотность точек пред­ ставляет собой вероятность нахождения точки в любой заданной небольшой области. Если эта область представлена поверхностью, высота которой пропорциональна вероятности, то контуры этой поверхности образуют семейство эллипсов с одним и тем же цен­ тром, осями и эксцентриситетом. Эти оси обычно наклонены к осям:

активное

сопротивление — реактивное сопротивление под углом

<!>. Если

общий объем между поверхностью и горизонтальной

плоскостью принимается равным единице,

тогда вероятность от­

клонения

от среднего значения больше по

величине, чем г, состав­

ляет общий объем между поверхностью и горизонтальной плоско­ стью за пределами вертикального цилиндра радиуса г, ось кото­ рого проходит через точку, представляющую среднее значение.

Расчет параметров распределения

Требуется найти:

а) среднее значение результирующей, б) стандартное отклонение S,

в) эксцентриситет (В, д) направление осей Т.

Среднее значение найти не трудно. Обычно отклонения эле­ ментов симметричны, а именно: имеется одинаковая вероятность отклонения положительных и отрицательных отклонений, так что их среднее значение равно нулю. Согласно линейному закону сложения (на котором основана данная теория), среднее значение

результата будет тогда такое же, как и номинальное

значение,

т. е. соответствующее

случаю, когда все отклонения

элементов

равны нулю.

даны зависимостями:

 

Величины S, (3,

 

5 3= |Z |3,

Т = 4 L l \

(Z равно отклонению результирующей от его среднего значения), поэтому мы должны найти | Z |а и Z3.

У нас имеется Z == t\ -f- z2-f-... -f- z„, где zu z2 ... отклонения элементов.

В том случае, если эти элементы не зависят друг от друга,

то

Г2]2 = 21^Г|2

(Это тот же закон, что и закон, дающий среднеквадратичное значение сложной волны в значениях величин ее составляющих)

и

Z*= £7f.

Применение к фильтрам

Величины ... представляют собой условия, накладывае­ мые на коэффициент отражения отдельных отклонений от вели­ чин элементов, а именно:

 

 

 

 

X, е

 

 

(—|—у— для продольного плеча,

и — / — для

поперечного

плеча),

где

Х3 — значение элемента №3,

 

 

 

w'x3— весовая функция реактивного

сопротивления этого

 

элемента;

 

 

постоянная передачи

от вход­

 

gc3— характеристическая

 

ных зажимов до этого элемента.

 

Резонансные пары дают два независимых условия:

 

 

2* =

± / П

4

7

 

 

 

z, =

± j W Xi

 

 

 

Предположим вначале, что характеристическое затухание равно

нулю,

так что e~ÎSc* представляет

собой только изменение фазы.

 

 

и, следовательно,

*

Модуль 23 будет тогда w'X3= ^

 

Г^Гг2= К ) 2оз,

где а3 — среднеквадратичное отклонение величины элемента Х3, выраженное как часть номинального значения

S = 1

С испытательным пределом равным ^~ = ± c s и „квадратичным*

распределением

Следовательно,

4 = (wx‘—J / (4аСз ± те) = —(ш;^ j' Z 4а,

Угол не зависит от dXz. Поэтому

4 = — (w'xy a! Z4aC3,

и

4 = — S К , ^ ) 2 Z 4аи . 5=1

Теперь 4ам изменяется от нуля для плеча, смежного с вход­ ными зажимами, до Аас для плеча, смежного с выходными зажи­ мами, гдеас — общая характеристическая фазовая постоянная фильт­ ра. Наиболее важным является расчет на краях полосы пропускания, где изменение фазы порядка 130° на звено. Так, даже в простых фильтрах 4acs изменяется в пределах нескольких оборотов. Сле­ довательно, влияния от нескольких плеч имеют тенденцию вза­ имно уничтожаться и

12*1 < 2 К 0 3< 5 2.

Поэтому р оказывается небольшим, распределение почти кру­ говое и, следовательно, угол <1) не имеет значения.

Если делается такое приближение, расчет значительно упро­ щается и отпадает необходимость в расчете фазы влияния каж­ дого элемента. Если характеристическое затухание не равно нулю, вышеприведенный метод можно легко изменить так, чтобы полу­ чить эффективное отражение на входных зажимах. При этом, однако, имеют место потери энергии в фильтре и затухание изза рассогласования на входных зажимах становится меньше, чем полное рабочее затухание. Больше того, потери энергии в фильтре возрастают в результате наличия отраженных волн. При таких обстоятельствах трудно получить точное выражение для затуха­ ния, обусловленного изменением элементов. Оказывается, однако, что описанный выше метод при предположении, что характеристи­ ческое затухание равно нулю, обеспечивает довольно хорошую оценку и фактически даже лучшую оценку, чем если бы в вычи­ сление рабочего затухания было включено характеристическое затухание.

Определив параметры распределения для внутренних отраже­ ний, как указано выше, добавляем отражения от концов (на зажимах) и результаты вычерчиваем в виде наложенных друг на друга окружностей, представляющих затухание в результате рассогласования.

Приведенный ниже пример иллюстрирует это и показывает также значение кривых, приведенных на рис. 118.

Пример 37. Рассмотрим снова пример 35.

Рассчитаем распределения параметров для случая, когда стандартное отклонение емкости или индуктивности составляет а %, а стандартное откло­

нение резонансной частоты

Для расчета примем, что

1| у» = 0,92. Из табл. 45 находим:

S2 = 24,7

0_ У 0,22+0,012

Р — ------- ÔT7------

то, что все члены сократились при суммировании случайно. Выбор частоты несколько меньшей или несколько большей увеличивал бы р примерно до 0,1

или 0,2. Поскольку распределение по существу круглое, угол 4P* не пред­ ставляет интереса за исключением разве иллюстрации самого процесса рас­ чета.

Имеем

Б (w s Gs)2 —^acs — 0,2 -f- j 0,01.

Теперь

Z2= — S ( а д ) 5 Z 4 c„ = — 0,2 + y 0,01 = 0,2 Z 177°.

Таким образом, направление главной оси имеет наклон

Расчет параметров распределения (коэффициент возвратного тока) для фильтра, рассмотренного в примерах 35 и 37, приведен в табл. 45.

Таблица 45

Расчет параметров распределения (коэффициента возвратного тока) фильтра, примеров 35 и 37

Переменные

W

Wf

W2

CS

cos 4а т

Sin 4acs

w* cos 4ane.

 

sin 4л

или 0,1

в градусах

CS

 

cs

 

cs

Ci

0,67

 

0,45

0

1,0

0

0,45

 

0

foi

0,31

 

0,10

0

1,0

0

0,10

 

0

с2

1,8

 

3,25

215

— 0,82

— 0,57

— 2,67

 

— 1,86

и

2,3

 

5,30'

483

— 0,54

+ 0,84

— 2,86

 

4,45

С а

1,6

 

2,56

751

0,86

0.52

2,20

 

1,33

Сз

1,0

 

1,00

932

— 0,85

— 0,53

 

 

— U,(0

/оа

0,64

 

0,41

932

— 0,85

— 0,53

— 1,30

 

 

 

— 1,38

Се

1,6

 

2,56

1113

0,84

— 0,54

2,15

 

и

2,3

 

5,30

1381

0,52

— 0,86

 

— 4,55

Ci

1,8

 

3,25

1549

— 0,33

0,95

2,75

 

3,08

Сь

0,67

 

0,45

1764

0,81

— 0,59

— 1,07

 

— U,oO

foi

0,31

 

0,10

1764

0,81

— 0,59

0,45

 

 

Сумма

|

 

|24,73 |

|

|

I

0,20

|

— 0,01

Если а соответствует 2 % испытательного предела с „квадратной" ошиб­ кой распределения, то

5 — /2 4 Д • 0,02 • 0,578 = 0,0575.

Радиус, за пределами которого может быть один из тысячи результа­ тов, составляет 2,62 5 = 0,15.

Характеристическое сопротивление оконечных звеньев при у = 0,92 составляет 0,9 fi. Следовательно, отражение на передающем конце будет 0,052, а отражение на зажимах приема будет иметь следующее значение:

L 882е = 0,042 L 162е,

где делитель 1,25 представляет двойную величину полного характеристиче­ ского затухания фильтра.

Рис. 117. Затухание в полосе пропускания (* = 0,92) фильтра, схема которого приведена на рис. 111. Местоположение вектора рабочего коэффициента отражения (effective return current coef­ ficient) на входе

Z — fis

Z + f i s

Полная вероятность результата вне пунктирного круга равна Ф. Диаграмма построена для допусков на элемент ±г2°/0 и для допуска на резонансную частоту 0,2%. Вт — затухание рассогла­ сования на входе фильтра.

Полный коэффициент отражения будет

 

ф=

és +

ф£ - f S Д ф= — 0,052 + 0,042Z 162е + Е Д ф,

где ЕДф

есть

сумма

отражений от внутренних неоднородностей и является

комплексной случайной переменной, рассчитанной выше.

Сумма

ф представлена графически на рис. 117, на который наложены

окружности затухания, обусловленного рассогласованием для 0,1; 0,2; 0,3 дб. Вследствие того, что две системы окружностей имеют разные' центры, вероятность того, что потери возрастают, скажем, на 0,2 дб, можно только определить интегрированием. Однако, очевидно, что эта вероятность должна

быть значительно

меньше чем 0,01. Окружность 0,2 дб лежит между окруж­

ностями Ф = 0,01

и 0,001 только в одном квадранте. За пределами этой "об­

ласти вероятность

очень мала.

Поэтому оказывается, что вероятность затуханий, превышающих 0,2 дб, имеет порядок 0,002, так что 0,2 дб будет подходящим испытательным пре­ делом. К этому необходимо еще добавить изменения характеристического затухания, рассмотренные выше на стр. 207. В этом случае заметное значе­

ние имеет только изменение коэффициента

потерь. Кроме того,

основные

изменения коэффициента Q являются

вероятно систематическими,

т. е. бу­

дут иметь место па

B C Ç X

катушках

индуктивности

фильтра одновременно,

например, потому,

что их сердечники выполнены

из

плохого

материала.

Если допустить, что коэффициент Q уменьшится на 10%, тогда максималь­

ное затухание в фильтре, которое следует ожидать

на

частоте

л* = 0,9, бу­

дет равно:

 

 

 

 

 

 

 

 

+

0,93 дб — нормальное характеристическое

затухание;

 

 

0,2 дб — максимальное затухание

из-за рассогласования;

 

-|-0,09 дб— влияние

уменьшения коэффициента

Q на 10% .

 

Всего

1,22 дб.

 

 

 

 

 

 

 

 

Из рис. 117 видно, что отражения от внешних зажимов 'F , \Г+ оказы­

вают значительное влияние на окончательный результат. Если бы их можно было сделать менее чем 0,02, то вероятность того, что потери на рассогла­ сование превысят 0,1 дб будет 0,001. Допуски будут наиболее существен­ ными на тех частотах, на которых WL и I - складываются по фазе, а именно

на частотах максимального рабочего затухания идеального фильтра.

Вероятность получения результата за пределами сдвинутого круга

Эффект отражений от внешних зажимов сводится к смещению центра распределения случайных изменений от точки начала координат. Этот эффект должен быть ясен из предыдущего при­ мера. В любом частном случае ориентировочное вычисление ве­ роятности можно выполнить, если рассмотреть диаграмму кри­ вых распределения, аналогичную приведенной на рис. 117.

Графики, изображенные на рис. 118, были получены с по­ мощью численного интегрирования, и они позволяют получить результаты непосредственно, без необходимости построения диа­ граммы кривых распределения.

Пример 38. В примере 37 мы имели, что:

Для ± 2 % испытательного предела значения элемента S = 0,0575. Полное отражение от внешних зажимов равно г0 = 0,093.

Радиус граничной окружности при Вт — 0,2 дб, равен г2 = 0,215.

Из рис. 118 находим, что при ^- = 1,6 и Q?-= 3,73 Ф = 0,002 или не-

ОО

сколько меньше.

Предположим, наоборот, что нам необходимо найти допуск на элемент для вероятности 0,01 затухания, превышающего 0,1 дб. Величина Вт= 0,1 дб соответствует г2 = 0,155.

На рис. 118 проводят через начало координат прямую линию с накло-

Pue. 118. Случай комплексной переменной с круговой симметрией ((3=0). Кривые дают вероятность Ф резуль­ тата вне эксцентричного круга радиуса г°, когда вероят­ ность результата в области dB равна

1 d d<P=p dB = — — ess dB.

S — среднеквадратичное отклонение модуля переменной. Чтобы определить S для заданной вероятности Ф, когда г0 и га фиксированы, необходимо провести прямую линию

с наклоном — через центр. Пересечение с кривой дан-

г о

лого Ф, даст величину S.

#

Эта линия'пересекает кривую Ф = 0,01 в точке ^- = 4,3, следовательно,

мы должны иметь

S = ^4,3 = 0,036.

Испытательный предел элемента должен быть, следовательно, уменьшен

„ 0,036

1 0

/°*

до — 2 *о,058

~ I*2

§4. В Ы В О Д Ы

1.Влияние изменения реактивного сопротивления элемента заключается в следующем:

а) изменяется характеристическое затухание и б) появляются отражения от точки неоднородности.

2.В полосе непропускания необходимо рассматривать только случай (а).

3.В полосе пропускания случай (б) является основным со­

вместно с:

в) изменением характеристического затухания, обусловлен­ ного изменением добротности Q элемента.

4. Для отдельных элементов изменения (а), (б), (в) вычисляются

 

 

d l,

умножением частичного изменения элемента, величины у (или ре­

зонансной частоты) на соответствующую „весовую" функцию.

5. Изменения характеристического затухания,

вызванные из­

менениями нескольких

элементов, складываются

алгебраически

и, следовательно, для

статистического сложения

по среднеквад­

ратичному закону.

6. Изменения, вносимые коэффициентом отражения, опреде­ ляются векторным сложением. Их статистическое сложение дает примерно круговое распределение результирующего вектора. Ра­ диус этого распределения определяется величиной S , которая представляет собой стандартное отклонение переменной величины.

7. Полный эффективный коэффициент отражения на входе фильтра определяет затухание из-за рассогласования и получается при векторном сложении отражений на входных и выходных за­ жимах и кривой распределения и представляет внутренние отра­ жения, обусловленные изменениями значений элементов.

8. При хаотических изменениях в элементах добавки к пол­ ному рабочему затуханию, вносимые изменениями характеристи­ ческого затухания, вызванными изменениями реактивного сопро­ тивления, а также коэффициента потерь и затухания из-за со­ гласования почти не связаны между собой. Два первых случая

(а) и (в) должны складываться по среднеквадратичному закону. Закон сложения случая (б) является более сложным. Обычно оказывается достаточным непосредственно сложить затухания, обусловленные причиной (б).

Предположим, например, что имеет место 0,005 вероятность затухания 0,1 дб, обусловленного каждым из трех перечисленных случаев. Тогда будет та же вероятность для всего затухания, превышающего указанную величину даже меньше, чем на вели­ чину 0,24 56 = 0 , 1 -f-0,1 у~2 .

9.Вычисления следует проводить:

1)на частоте первого минимума затухания, смежного с по­ лосой пропускания;

2)на краях частотной полосы, которую желательно передать;

3)на частоте, смежной с 2), на которой затухание из-за рас­ согласования проходит через максимум.

10.Для полосовых фильтров вначале следует применить соот­ ветствующую формулу, для весовых коэффициентов.

11.При хорошем согласовании на внешних зажимах затуха­ ние за счет рассогласования, обусловленное изменениями эле­ ментов, пропорционально квадрату допусков на элементы.

12.Вследствие необходимости векторного сложения отражений от элементов и зависимости между затуханием и отражением, подчиняющейся среднеквадратичному закону, измерение измене­ ний рабочего затухания, обусловленных изменениями отдельных

элементов, даст ошибочные результаты в полосе пропускания.

13.Стандартное отклонение величины элемента имеет большее значение, чем пределы допусков.

14.В хорошо спроектированной схеме одни элементы обычно имеют более жесткие допуски, чем другие, так что влияние их изменений примерно уравнивается. Таким образом, допуски должны быть обратно пропорциональны величинам весовых функ­ ций.

15.Изменения затухания в полосе пропускания значительно уменьшаются в результате точного согласования полных сопро­ тивлений на обоих концах фильтра.

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ

ТАБЛИЦЫ ПОЛЕЗНЫХ ФУНКЦИЙ

Ниже приводятся таблицы функций, используемых при ра­ счете фильтров (табл. 48—50), причем подобные таблицы имеются только в данной книге.1 Все таблицы, за исключением таблиц гиперболических функций, рассчитаны специально. Погрешности при вычислениях были обнаружены и скорректированы, исходя из нерегулярности первых и вторых разностей. В результате

1 Это неточно. См., например, книги:

А. В. Л е б е д е в , P.

М.

Ф е д о р о в а . Справочник по математическим

таблицам. Изд. АН СССР,

1956. H. М. Б у р у н о в а . Справочник по мате­

матическим таблицам

(дополнение № 1). Изд. АН СССР, 1959. (Прим, ред.)

этого были устранены все ошибки, кроме случайных погрешно­ стей, равных единице последнего знака.

Для большинства случаев оказывается достаточной линейная интерполяция. Поправка, которая учитывает вторые разности, имеет максимальное значение (в середине интервала) порядка од­ ной шестнадцатой вторичной разности.

Большое преимущество приводимых ниже таблиц состоит в том, что они позволяют повысить скорость расчета. Это преиму­ щество исчезает, если используется какая-либо другая, кроме линейной, интерполяция. Приведенные здесь интервалы между цифрами представляют собой компромисс между трудностью расчета и удобством пользования таблицами. Используемое число знаков обеспечивает наибольшую точность, которая может потребоваться

для расчета. Обычно вполне достаточно

знать

величины без по­

следних одной или двух

цифр, и тогда

интерполяция

не будет

представлять трудности.

таблица (табл.

46)

предназначена для

Приведенная краткая

упрощения расчетов величин реактивных

сопротивлений

и реак­

тивных проводимостей или индуктивностей и емкостей. Особенно

удобной эта таблица может оказаться

при

расчете

характери­

стики фильтра.

более

высокой точности

или более жестких

Для получения

частотных интервалов необходимо пользоваться табл. 47.

Из

табл. 48

можно

определить

значения величин еь, е~ъ,

shb,

chb и thb

в значениях 5 = 8,6859 b\ таким

образом b

и В представляют соответственно затухание в

неперах

и в деци-

беллах, тогда как еь и е~ь дают соответственно отношения величин напряжений или токов.

Для затуханий

больших,

чем

50 дб, следует пользоваться

таблицами при В ' = В — 20л.

 

 

Тогда

 

 

 

где Ь' соответствует

еь =

еь' Л 0п,

В’,

 

 

 

shô я^сЬб

у еь,

Пример 39.

th & ^ l — 2е-2&.

 

 

 

Для 5 = 61,3 дб.

еь= 1161,

й-6 = 0,000861,

 

shb= ch& = 580,5,

1 — thô = 0,00000148.

Таблица 48 составлена по материалам, опубликованным Bell Telephone Laboratories (1947 г.). Эта таблица более подробна и имеет интервал для аргумента меньше 1 дб. Некоторое количество ошибок, определяющихся одной единицей в последних знаках цифр для th&, выше 30 дб, были откорректированы. Однако

Соседние файлы в папке книги