книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость

формирующая нагрузка снимается. Здесь возникают остаточные напряжения, которые связаны с соответствующим выбором про­ извольных констант в общем решении.

Так как в физической задаче о температурных напряжениях, когда в теле изменяется только температура, нй одного из указан­ ных типов смещения не возникает, константы должны быть вы­ браны так, чтобы эти смещения равнялись нулю. Аналогия между

/

Рис. 1.8. Основные типы смещений в круговом кольце:

а — горизонтальное; 6 — вертикальное; в — поворот

температурными напряжениями и напряжениями, вызванными смещениями, впервые установлена Био [1.1], а простая форму­ лировка этой аналогии дана Миндлином и Сальвадори [1.26]. Уравнение для случая плоского напряженного состояния, когда объемные и поверхностные силы отсутствуют, а напряжения яв­ ляются результатом только температурных эффектов, но не сме­ щений, имеет вид

где § представляет собой интеграл по любой произвольной замкнутой траектории, содержащей внутреннюю границу. Урав­ нения (1.15)—(1.17) могут быть записаны для независимых тра­ екторий, заключающих каждое из 1] отверстий тела, и в резуль­ тате получается Зт] уравнений. Так как наиболее общее решение для ср содержит Зт| неизвестных констант, этих уравнений доста­ точно для определения неизвестных констант. Здесь обозначе­ ние ф относится к функции напряжений, рассмотренной в раз­ деле 1.3.5; йз и йп — элементы по касательной и по нормали к про­ извольной замкнутой траектории, а оператор V2 представляет

ными, их применение в практических случаях может быть про­ стым. Пример их решения приведен в разделе 1.15.5 и 1.15.6 применительно к решению задач методом конечных разностей.

1.3.ВЫВОД РАБОЧИХ УРАВНЕНИЙ

1.3.1.Использование условий равновесия, совместности и за­ висимости между непряжениями и деформациями. В наиболее

общем случае двумерной задачи необходимо определить шесть неизвестных напряжений и деформаций, для которых может быть записано достаточное число дифференциальных уравнений. Однако

[1.20]. Рассматривая равновесие элемента и имея в виду, что касательные напряжения вследствие симметрии отсутствуют, можно записать уравнение равновесия в виде [1.20]

Для составления уравнения совместности должно быть рас­ смотрено только радиальное перемещение элемента и. Как радиаль­ ная, так и тангенциальная деформации могут быть выражены в зна­ чениях и, т. е.

Подставляя соотношения между напряжениями и деформа­ циями (1.12) с учетом сгг = 0, получаем уравнение совместности

( 1.21)

Из системы уравнений (1.18) и (1.21) могут быть получены на­ пряжения аг и 0 О'.

1.3.2.Переход к решению задач для эквивалентных объемных

иповерхностных сил (аналогия Дюамеля). Этот метод в наиболее

Рис.-1.10. К решению задачи о температурных напряжениях на основе аналогии Дюамеля

простом виде может быть проиллюстрирован на примере ло­ патки симметричного профиля (рис. 1.10, а). Вдоль хорды профиля принято распределение температуры Т = Тх (я); температура отсчитывается от некоторого значения, при котором напряжения отсутствуют. Для данной координаты хорды по толщине и вдоль оси лопатки температура принимается постоянной.

Разделим лопатку на ряд элементов вдоль оси, как показано на рис. 1.10, б. Каждый такой элемент имеет постоянную темпе­ ратуру и при свободном расширении может удлиняться в осевом направлении на величину аТх. Представим теперь, что каждый элемент возвращен к первоначальному размеру приложением сжимающего напряжения о = —ЕаТх, . как показано на рис. 1.10, в. Так как лопатка приняла теперь первоначальные размеры (здесь рассматриваются только осевые размеры: изменение разме­ ров в других направлениях может быть учтено в более общем случае), то ее можно представить как бы соединенной снова по первоначальным разрезам. Полученная система отличается от первоначальной тем, что в ней действуют напряжения а = — ЕаТх.

Для того чтобы привести ее к первоначальной, у которой напряже­ ния на конце равны нулю, надо приложить на ее конце растяги­ вающие напряжения о = ЕаТх. В каждой точке такого вновь скрепленного тела возникает напряжение, вызванное внешней системой напряжений на контуре ст = ЕаТх. В этом теле элемен­ тарные сечения не могут деформироваться независимо; они должны деформироваться как непрерывная упругая система, и распределе­ ние напряжений от внешней системы сил должно быть получено на основе теории упругости. В окрестности приложенных краевых сил система локализованных напряжений может оказаться доста­ точно сложной и должна быть проанализирована строгими мето­ дами. Однако, если длина лопатки значительно больше ширины, напряжения, действующие на расстоянии от края (например, в центре лопатки), могут быть легко определены по принципу Сен-Венана и система приложенных поверхностных сил может быть заменена ее статическим эквивалентом, т. е. результирую­ щими силой и моментом. Тогда лопатка рассматривается как балка с приложенными на ее конце силой и моментом.

1.3.3. Общий метод использования, аналогии Дюамеля. Исполь­ зованный выше метод может быть распространен на более слож­ ные дву- и трехмерные случаи. В более общем трехмерном случае каждый элемент представляется разрезанным и отделенным от со­ седних. Такой элемент, свободно расширяясь, обычно удлиняется

что здесь температура I отсчитывается от некоторого значения, при котором отсутствуют напряжения.

Рассмотрим внешние нагрузки, приложенные к каждому эле­ менту для возвращения его к первоначальному размеру. Такие нагрузки должны быть гидростатическими, равными во всех на­ правлениях величине ах = ау = ог — — [ЕаТ/(\—2р)]. Выра­ жение (1—2р) учитывает влияние коэффициента Пуассона при трехосном напряженном состоянии. Касательные напряжения здесь не возникают. Все элементы теперь имеют свой первоначаль­ ный размер и поэтому совмещены друг с другом, но только как раздельные элементы, без касательных напряжений между ними.

Прежде чем перейти к решению этой задачи, рассмотрим, какая система внешних сил вызывает систему напряжений ох =

= оу = оа = — [ЕссТ/(1—2|х) ], уху = ууг = уХ2 = 0. Для уста­ новления системы сил можно использовать уравнения равнове­ сия, поскольку они не зависят от того, является ли тело сплошным или разделено на элементы; в последнем случае в связи с отсут­ ствием касательных напряжений они существенно упрощаются.

Уравнение (1.5) фактически относится к двумерному случаю, тогда как здесь рассматривается общий трехмерный случай. Однако анализ уравнения равновесия для общего случая даст тот же результат. Из уравнения (1.5) видно, что объемная сила

X —— соответственно определяются объемные силы

в направлениях у и г. Они вызывают соответствующие напряже­ ния в каждом элементе и равны

если Е и ц постоянны. Аналогичные выражения получаются

ДЛЯ V И 2 :

На поверхности напряжения должны совпадать с требуемым гидростатическим давлением — [ЕаТ/(1—2р.) 1, так что на поверх­ ности каждого элемента должно быть приложено нормальное

к его первоначальному размеру, когда эти элементы не соединены

Тело, разделенное на элементы и приведенное к первоначаль­ ной форме, отличается от истинного тела, так как: 1) касательные напряжения между соседними элементами не возникают, хотя эти элементы подогнаны и придают телу первоначальную форму; 2) имеется система внешних сил (1.22) и 3) каждый элемент под­ вержен гидростатическому напряженшо — [5а77(1—2ц) I.

Для того чтобы привести оба тела в тождественное состояние, необходимо удалить воображаемую систему внешних сил и скре­ пить элементы. Следует подчеркнуть, что действие воображаемой системы внешних сил, удаляемой со сплошного тела, отличается от действия ее на разделенное тело. Задача сводится к новой за­ даче для упругого тела, подверженного системе сил (1.22) с про­ тивоположным знаком. В сплошном теле эта система сил вызывает касательные напряжения, которые в разделенном на элементы теле не могли возникнуть.

Из предыдущего обсуждения очевидно, что любая задача о температурных напряжениях может быть сформулирована в тер­ минах задачи с объемными и поверхностными силами следующим образом: пусть в равномерно нагретом теле первоначально на­ пряжения равны нулю. Если температура в каждой точке (л;, у, г) увеличивается на величину Т (.х, у, г), то результирующие температурные напряжения равны напряжениям в том же теле, полученным следующим образом:

показывает, что все формулы для случая плоских напряжений могут быть_применены к случаю плоских деформаций заменой Е, р и а на .Е, р и а, где

Следовательно, для случая плоской деформации бигармоническое уравнение (1.20) записывают аналогично, но Еа заменяют

Для выполнения условий однозначности сохраняются урав­ нения (1.15)—(1.17), но для случая плоской деформации соотно­ шения Еа заменяются на Еа/(1 — р).

Решение точными методами. Большинство представляющих интерес инженерных задач решают приближенными методами, однако в некоторых случаях удается использовать точное реше­ ние. Два класса точных решений рассмотрены ниже: 1) задачи, для которых точные-выражения для напряжений могут быть по­ лучены в замкнутом виде, и 2) задачи, для которых решение может быть выражено в виде бесконечных рядов, обеспечивающих тре­ буемую точность при использовании достаточного числа членов. Главная цель — указать не окончательные формулы, а методы, которые могут быть применены конструктором для решения прак­ тических задач. Специальные методы решений описаны в некото­ рых работах [1.11, 1.12, 1.38] и могут оказаться очень полезными.

1.4.ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ, ВЕДУЩИЕ

КРЕШЕНИЯМ В ЗАМКНУТОМ ВИДЕ

1.4.1. Плоская круглая плита. В некоторых простых случаях уравнения можно проинтегрировать элементарными средствами. Например, случай вращающегося диска с температурным гра­ диентом описывается уравнениями (1.18) и (1.21). По принципу наложения, рассмотренному в разделе 1.15, могут быть определены температурные напряжения в неподвижном диске (о = 0), а затем наложены на центробежные напряжения от вращения равномерно нагретого диска. Если к тому же Е, р, а и толщина диска постоян­ ные, то дифференциальные уравнения могут быть точно решены элементарными средствами [1.9]. В сплошном диске с наружным радиусом Ь и температурой Т„ являющейся функцией радиуса г, существует плоское напряженное состояние и напряжения

(1.37)