книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость

Таким образом, хотя основным является рассмотрение обла­ стей малоцикловой и промежуточной долговечности, представ­ ляющих интерес в задачах, связанных с температурными напря­ жениями, обсуждаемые соотношения могут быть применены к области больших долговечностей и проблемам механического нагружения. Однако их следует рассматривать как предваритель­ ные до подтверждения экспериментом.

0.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ

Желанием автора было извлечь как можно больше материала из авторитетных источников, для того чтобы сделать книгу полной и заслуживающей доверия, но из-за относительно малой изучен­ ности многих рассматриваемых вопросов снижается убедитель­ ность конечных результатов. В значительной части книги при­ шлось ограничиться анализом и рассмотрением данных лабора­ торных экспериментов, выполненных автором и его коллегами. Некоторые выводы следует считать умозрительными ввиду крайне ограниченного числа экспериментов, на которых они были осно­ ваны. Следует надеяться, что некоторые разделы книги будут рас­ сматриваться читателем не как содержащие окончательные ре­ зультаты, а лишь как начальный этап исследований, который будет дополнен в дальнейшем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.СЫзчгкк Н. Н. ТНе Р1аз11с ОеГогтаНоп о! 11гапш1п оп ТЬегта! СусПпбТгапз. Аш. Зое. Ме1а1з, уо1., 49, р. 622—654, 1957.

2.Со(Пп Ь. Р. 1г. А 51и<1у о! СусИс ТЬегта! Зкгезз т а ОисШе Ме1а1. Тгапз.

Стей также ограничено. Напряжения в плоскостях, перпенди­ кулярных оси цилиндра, могут быть проанализированы исходя из равенства е2 = 0. Применим закон Гука:

где ег — нормальные деформации; Е — модуль упругости; о — нормальные напряжения; р. — коэффициент Пуассона; а — коэф-

Рнс. 1.1. Плоское напряженное состояние (а) и плоская деформация (б)

фициент линейного расширения; Т — изменение температуры. Тогда

Касательные напряжения т в смежном поперечном сечении

к определению напряжений только в плоскости ху, так как на­ пряжения в направлении г определяются из равенства (1.2).

1.1.2. Обобщенная плоская деформация имеет место в стержне, концы которого не закреплены. В этом случае можно показать, что сечения, отдаленные от краев, остаются плоскими, и вслед­ ствие симметрии нагрузки любое перемещение такой плоскости осуществляется лишь в осевом направлении. Тогда осевая дефор­

в данном случае, условия равенства нулю интегральной суммы всех компонентов напряжения в направлении 2, так как отсут­ ствует нагрузка нд концах.

1.1.3. Поверхностные и объемные силы. Если сила действует на поверхности тела, говорят, что это поверхностная сила (на-

зано с переходом от задач с граничными условиями в виде по­ верхностных сил к задачам с граничными условиями, заданными в перемещениях.

Таким образом, любая задача может быть рассмотрена как задача, в которой напряжения на поверхности равны нулю (наи­ более удобная форма для задач с температурным напряжением). После решения задачи перемещения на границе сравниваются с заданными перемещениями, и если они не равны, то для обеспе­ чения их равенства необходимо приложить дополнительные по­ верхностные силы. Таким образом, задача о температурных на­ пряжениях сводится к обычной задаче теории упругости или со­ противления материалов, с которой расчетчик хорошо знаком.

Рис. 1.2. Влияние граничных условий на напряжения, вызываемые линейным распределением температур:

а — начальное положение балки при линейном распределении температур; б — окон­ чательная форма балки от действия линейного температурного перепада и при отсутствии поверхностных сил (ст = 0 ) ; в — распределение напряжений в балке лрн отсутствии смещений концов

Сказанное выше легко иллюстрируется на простом примере закрепленного бруса с линейным распределением температур (рис. 1.2, в). Если наложенные на концы бруса связи временно удалены, так что все поверхностные напряжения равны нулю, то задача сводится к схеме, показанной на рис. 1.2, б. Температур­ ные напряжения в этом случае всюду равны нулю, но возникают смещения, вследствие которых брус принимает форму дуги окруж­ ности. Для получения решения, соответствующего фактическому закреплению концов бруса, необходимо приложить систему внеш­ них сил, обеспечивающих отсутствие поворота на концах, при этом брус из криволинейного становится прямолинейным. Из эле­ ментарной теории балок следует, что такой нагрузкой является изгибающий момент, уравновешенный системой напряжений, по­ казанной на рис. 1.2, в.

Особенно полезным оказалось это правило при анализе тем­ пературных напряжений трубопроводов. На рис. 1.3, а показан криволинейный трубопровод, закрепленный в точках О и Л. Сначала напряжения в нем равны нулю, .но если температура равномерно увеличивается до значения Т, то за счет постоянства расстояния ОА в нем возникают напряжения. Задача сводится к нахождению реакций РхРу и Ма, по которым можно определить напряжения в любом сечении трубопровода из теории балок. Если эти реакции и заделку концов мысленно удалить, то точка О переместится в точку О' с координатами, показанными на

разрез может быть сделан от границы к границе без разделения тела на отдельные части. На рис. 1.4 показаны некоторые допол­ нительные свойства многосвязных областей. В случае односвяз­ ных областей (рис. 1.4, а) для определения напряжений достаточно знать граничные поверхностные силы, условия равновесия и совместности и закон Гука. Для многосвязных тел недостаточно знать условия равновесия. Использование только этих условий обычно приводит к решениям, допускающим по существу наличие остаточных напряжений, не зависящих от внешних нагрузок. Как остаточные напряжения возникают в многосвязной области (рис. 1.4, б), показано на рис. 1.4, в. Разрез по А'В' делает тело

I

Рис. 1.4. Свойства односвязных н многосвязных областей

односвязным. Силы Р затем смещают две смежные плоскости, приводя к системе внутренних напряжений. Сварка по ли­ ниям А’В' с приложенной системой сил и затем освобождение от сил приводят к системе остаточных напряжений, которая обычно накладывается на напряжения от внешней нагрузки. Для того чтобы выбрать из общего решения одно частное, не содержащее остаточных напряжений, необходимо ввести дополнительные ус­ ловия, которые делают решение единственным. Обычно эти усло­ вия приводят к определению некоторых значений криволинейных интегралов по контурам, ограничивающим области, делающие тело многосвязным. Более детально этот вопрос рассмотрен ниже в связи с определением граничных условий.

1.2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ

В дальнейшем будут рассмотрены лишь двумерные задачи в прямоугольных координатах. Соответствующие уравнения для трехмерных случаев и для других систем координат могут быть найдены в книгах по теории упругости. Прежде всего будут рас­ смотрены задачи для плоского напряженного состояния; метод приведения задач плоской деформации к этим задачам дан в раз­ деле 1.3.6.

1.2.1. Уравнения равновесия, содержащие только напряжения. Эти уравнения вытекают из констатации того факта, что каждый элемент тела должен быть в равновесии под дрйефвием приложен-

Изменение угла между первоначально перпендикулярными отрезками йх и йу будет

здесь три величины ех, гу и уху выражены только через два пара­ метра и и V, следовательно, из этих соотношений может быть полу­ чена связь между деформациями.

Дифференцируя уравнение (1.7) дважды по у, уравнение (1.8) дважды по х, а уравнение (1.9) один раз по х и один раз по у и заметив, что

взадаче о температурных напряжениях несколько отличаются от обычных соотношений в общей упругой задаче. В то время как

впоследней имеют место только деформации, возникающие от действия напряжений, в температурную задачу должны входить деформации от тепловых расширений. Тогда полная деформация становится равной

где а АТ — тепловое расширение, соответствующее свободному расширению элемента, при изменении температуры на АТ относи­ тельно исходного состояния (при равномерной температуре).

1.2.4. Граничные условия, включающие напряжения или пере­ мещения. Существенные различия, характерные для упругих задач, связаны с особенностями поверхностных сил или связей на границах. Поверхностные силы не входят непосредственно в уравнения равновесия или совместности, но они существенны при интегрировании уравнений и опр<еделении постоянных ин­ тегрирования. Поверхностные силы (или их эквивалент в виде определенных связей) затем вводятся как продолжение распреде­ ления напряжений или распределения перемещений внутри тела. Так как направления приложенных сил могут быть произвола ными, все поверхностные силы удобно разложить на компоненты

Ь направлениях осей координат й определить эти компоненты через поверхностные напряжения с применением уравнений равновесия к элементам поверхности.

Из рис. 1.7 очевидно, что

ляют результирующую систему внутренних напряжений. Наибо­ лее общее решение, удовлетворяющее распределению температур и граничным условиям, содержит три произвольные константы для каждой единицы степени связности, т. е. тело с 1] отдельными границами в дополнение к наружной границе содержит Зт] произ­ вольных констант. Эти константы соответствуют типам смещений, показанным на рис. 1.8 для частного случая — кругового кольца.

На рис. 1.8, а представлено кольцо, разрезанное вдоль оси ОХ, края разреза смещены на расстояние и1 и заварены в смещенном состоянии. Вдоль оси ОХ в пределах площади сечения кольца имеется смещение и-и между верхней и нижней его частями. Остаточные напряжения, связанные с этой формой, могут быть включены в решение задачи правильным выбором произвольных постоянных, содержащихся в наиболее общем решении. Анало­

Кольцо может быть разрезано, как показано на рис. 1.8, в, когда две поверхности образуют угол а,., зазор заполняется мате­ риалом, кольцо заваривается в новом положении, после чего де­