книги / Строительные конструкции
..pdfЕсли анкеровка продольной арматуры на свободной опоре выполнена в соответствии с указаниями § III.3, т.е. обеспечивает полное сопротивление продольной ар матуры в пролете, то прочность элемента на изгиб га рантируется во всех наклонных сечениях, начинающихся
уграни опоры.
Впрактике чаще всего балки армируют без отгибов. Если при этом всю продольную растянутую арматуру
доводят до опор и надлежащим образом ее анкеруют, то условие прочности по изгибающему моменту удов летворяется в любом наклонном сечении даже без учета поперечной арматуры лишь благодаря одной продоль ной, количество которой определено по нормальному сечению при изгибающем моменте не меньшего значе ния. В этих условиях необходимость расчета наклонных сечений по изгибающему моменту отпадает.
С целью экономии металла часть продольной арма туры (не более 50% расчетной площади) можно не до водить до опор, обрывая ее в пролете там, где она уже не требуется по расчету прочности элемента по нор мальным сечениям.
Обрываемые стержни должны быть заведены за место своего теоретического обрыва согласно эпюре из гибающих моментов (сечение / —/ на рис. VI. 19) на ве личину до, на протяжении которой для гарантии условия прочности по изгибающим моментам в наклонных сече ниях (сечение III—III на рис. VI. 19, а) отсутствие об рываемых стержней компенсируется поперечной арма турой. На основании этих соображений и условий анке ровки обрываемых стержней в бетоне величину до принимают равной большему из двух значений:
(VI.51)
где Q — расчетная поперечная сила в точке теоретического обрыва стержня (сечение 1—1 на рис. VI.19), соответствующая загруженню, при котором эта точка определена; Q0 — поперечная сила, восприни маемая отгибами в месте теоретического обрыва, если элемент арми рован отгибами помимо поперечной арматуры; gz.v —погонное уси лие, воспринимаемое поперечными стержнями, определяемое по ус ловию сопротивления их изгибающему моменту в наклонном сечении (сечение III—III на рис. VI.19,a); d — диаметр обрываемого стержня.
Величины Q0 и qx.v> определяют по выражениям:
Qo = |
Яа Яо sin а; |
(VI .52) |
Чх,п> |
= Яа Fx!u. |
(VI .53) |
101
Рис. VI.19. Опреде ление места обрыва стержней в пролете балки
а —схема |
армирования |
|||
балки; |
б —эпюра |
мо |
||
ментов; |
в —эпюра попе |
|||
речных сил; 1—1 —место |
||||
теоретического |
обрыва |
|||
стержней 2016; |
II—И — |
|||
место их |
фактического |
|||
обрыва; |
1 —эпюра |
мо |
||
ментов от нагрузки; 2 — |
||||
эпюра моментов, |
воспри |
|||
нимаемых |
нормальными |
|||
сечениями |
элемента |
(эпюра материалов)
При отсутствии отгибов в зоне обрыва стержней в первой формуле (VI. 51) принимается Q o=0.
На примере рис. VI. 19 поясняется определение ме ста обрыва стержней в пролете. На эпюру моментов от внешних расчетных нагрузок наносят ординату момен та, воспринимаемого нормальным сечением железобе тонного элемента с тем количеством арматуры, которую доводят до опоры, не обрывая (на рис. VI. 19 —Р°а
для 2020, Моп=М202о ). Значение этой ординаты вы числяют по формуле
Моп = Да К п *б- |
(VI .54) |
Точки пересечения ординаты Моп с эцюрой расчет ных моментов определяют места теоретического обрыва стержней I—I. Место действительного обрыва стержней II—II должно отстоять от теоретического на расстоя ние до. На эпюре поперечных сил отмечена ордината Q, вводимая в формулу (VI.51) при определении величи ны ДО,
§VI.5. РАСЧЕТ ОБРАЗОВАНИЯ ТРЕЩИН
ВПРЕДВАРИТЕЛЬНО-НАПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ
Предельное состояние изгибаемого предварительнонапряженного элемента при расчете по образованию нормальных трещин принимают в соответствии с .конеч
на
ным напряженным состоянием стадии / (см. рис. VI. 10, в). На рис. VI.20, б изображена расчетная схема усилий и напряжений при расчете по образованию трещин в эле менте прямоугольного сечения. В этой схеме криволинейная эпюра напряжений в бетоне для упрощения аппрок симирована прямоугольной по форме а растянутой зоне, треугольной — в сжатой (при аб^0,7/?„рн.)-
Непосредственно перед образованием трещин напря-
жения в |
бетоне |
считают равными |
ЯРи |
— расчетному |
|||||
сопротивлению |
бетона на |
растяжение, |
принимаемому |
||||||
при расчете по предельным |
состояниям |
второй |
группы |
||||||
(см. прил. IV). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Элемент |
находится под |
воздействием изгибающего |
|||||||
момента |
М, |
вычисляемого |
при действии |
расчетных на |
|||||
грузок |
с |
коэффициентом |
перегрузки, |
принимаемым |
|||||
п > 1 или я = 1 |
в зависимости от |
категории |
требований |
||||||
к трещиностойкости конструкций |
(§ |
III. 1), |
а также под |
||||||
воздействием |
равнодействующей |
N0 усилий |
обжатия, |
передаваемой на элемент вследствие предварительного натяжения арматуры FH и F * . При вычислении усилия
обжатия No учитывают коэффициент точности |
предва |
|
рительного напряжения арматуры mT (см. § III.2). |
||
Принимают, что деформациименяются по высоте се |
||
чения по линейному закону (см. рис. VI. 20, в), |
поэтому! |
|
хт |
ft —хт — а ' |
|
еб == вб.р ft —хт |
ен — еб-р ft —хх |
|
8a |
|
(VI. 55) |
Рис. VI.20. К расчету образования трещин в изгибаемых предвари тельно-напряженных элементах
а —поперечное сечение элемента; б—эпюра напряжений в бетоне и расчет ные усилия; в—эпюра относительных деформаций
103
Исследования показали, что при максимальном рас тягивающем напряжении бетона его модуль деформаций приблизительно вдвое меньше начального модуля упру гости Еб. Поэтому краевая деформация бетона растяну той зоны может быть выражена как
_ *Рц |
Мри |
(VI.56) |
|
|
8б р - 0,5£в ~
Учитывая сказанное, напряжения в бетоне по сжато му краю сечения, а также в арматуре от момента М и усилия обжатия N0 перед образованием трещины выра жают соотношениями:
|
|
|
°б ~ Еб еб - |
2*Рп |
А_ * т |
; |
||
_ |
|
„ |
|
h — хт — а |
|
h — xT — а |
||
Gh = -^а бн = Eq бб.р |
1 |
Xtf |
— 2nR} |
h — хт |
||||
|
|
|
|
/X |
|
рП |
||
Г |
_ |
/ |
|
|
Лхт |
|
Л _ |
Лтх —**а/ |
ан = |
Ея ен = |
Еа efi _ ------------- ; = |
2nR и —-------- ? |
|||||
н |
а |
н |
a |
о.р |
|
|
Р11 |
h — xT |
|
|
|
|
где |
п = Eq/Eq. |
т |
||
|
|
|
|
|
(VI. 57)
(VI. 58)
(VI. 59)
Полученные напряжения в арматуре FH и F 'H скла дываются с напряжениями от предварительного натя
жения (То и оо.
Усилия, действующие в арматуре и бетоне сечения от момента М, и усилия обжатия No могут быть вычис лены по выражениям:
N = F |
or; |
AL = |
Fn |
н |
] |
(VI.60) |
Н |
Н Н |
Н |
|
1 |
||
V6 = (l/2)a6^T6; |
* б.р = ( * - * т)« р ц . |
I |
|
Высоту сжатой части сечения определяют из усло вия равновесия суммы проекций всех нормальных сил элемента на его продольную ось:
+ |
* б.р - |
*б - |
1°; |
|
<VI *61) |
после преобразований |
|
|
N |
|
|
bh2 + 2nF4 (Л — а) + 2nF’H а |
Н |
|
|||
^ |
— Л |
|
|||
*т-------------------------------------------- |
|
j r ~ |
^ ------- |
. (VI.62) |
|
2bh + 2n {Fa + |
F'H) + |
- ^ |
- |
|
|
104
В элементе трещин не образуется, если изгиба ющий момент М от дей ствующих нагрузок не превышает момента вну тренних сил в нормальном сечении элемента, нахо дящемся в состоянии на границе трещиностойко-
сти бетона. При момент- |
|
|
|||
ной |
точке, |
взятой (для |
|
|
|
упрбщения) |
на направле |
|
|
||
нии усилия No, это усло |
|
|
|||
вие |
выражается |
форму |
|
|
|
лой |
|
|
|
Рис. VI.21. К |
расчету образова |
|
M <N He + N'Hе' + ЛГбХ |
ния трещин по |
ядровым момен |
||
|
там |
||||
X (h — е + а —*т/3) |
+ N6 р X |
1 —сжатая зона; 2 —растянутая зона; |
|||
|
|
|
|
3 —ядро сечения |
Х [ е + а - 0,5 (Л —*т)]. (VI.63)
Для элементов более сложного профиля [таврового, двутаврового (рис. VI.21)] расчет образования трещин можно вести, как рекомендует СНиП П-21-75, по при
ближенному способу (по ядровым |
моментам) |
К < М „ |
(VI.64) |
где М * — момент внешних сил, расположенных по одну сторону от
рассматриваемого сечения, относительно оси, нормальной к плоско сти изгиба и проходящей через ядровую точку, более удаленную от зоны сечения, .для которой проверяется трещинообразование (точ ка С на рис. VI.21); Мт — момент внутренних сил непосредственно перед образованием трещин в бетоне относительно той же оси.
Положение ядровой точки и момент Мт определяют по выражениям:
|
|
ry= 0,8W0IFn, |
(VI.65) |
(для |
изгибаемых |
элементов без предварительного на |
|
пряжения вместо 0,8 принимают 1); |
|
||
|
|
MT = RvilW9 ±M*6, |
(VI.66) |
где |
—момент от |
усилия обжатия N0 (после |
проявления всех/ |
потерь) относительно той же ядровой точки с учетом знака враще ния; Wo— момент сопротивления сечения относительно его растяну того края, определяемый по правилам сопротивления упругих мате риалов; WT— момент сопротивления приведенного сечения относи тельно его растянутого края, определяемый с учетом неупругих де
105
формаций бетона растянутой зоны [при эпюре прямоугольной фор мы (см. рис. VI.20, б)]; без существенной ошибки в значении величи ны Мт этот момент сопротивления может быть определен по при ближенной формуле
WT*yW0t |
(VI.67) |
здесь у — коэффициент, равный 1,75 для прямоугольного и таврово го (со сжатой полкой) сечений, а для двутавровых сечений (см. рис. VI.21) определяемый по табл. VI.2.
ТАБЛИЦА |
VI.2. КОЭФФИЦИЕНТ v ДЛЯ ДВУТАВРОВЫХ |
|||||
НЕСИММЕТРИЧНЫХ СЕЧЕНИЙ (СМ. РИС. VI.21) |
|
|||||
Характеристика сечения |
|
|
Т |
|||
ьа/ь |
1 |
ьп/ь |
| |
hn/ft |
||
|
||||||
<3 |
|
<2 |
|
Любое |
1,75 |
|
|
|
От 2 до 6 |
|
» |
1.5 |
|
|
|
>6 |
|
>0,1 |
1.5 |
|
От 3 до 8 |
|
<4 |
|
Любое |
1.5 |
|
|
>4 |
|
>0,2 |
1,5 |
||
|
|
>4 |
|
<0,2 |
1,25 |
|
>8 |
|
Любое |
|
>0,3 |
1.5 |
|
|
|
» |
|
<0,3 |
1,25 |
|
При значительных напряжениях |
бетона Об в сжатой |
зоне, когда наибольшие крайние ординаты его эпюры на пряжений превышают значение /?при, следует учитывать неупругие деформации сжатого бетона; в этом случае треугольная эпюра напряжений заменяется трапецие видной. Этот ^случай встречается редко и здесь не рас
сматривается.
Пример VI.6. Требуется рассчитать по образованию нормальных трещин плиту сплошного сечения при следующих данных: Ь = 100 см,
Л=12 см, |
2,545 см2 |
[5 семипроволочных канатов из проволоки |
||||||
0 3 мм (см. прил. VIII)], а=2,2 см, FH=0; |
бетон тяжелый |
марки |
||||||
М-400; усилие обжатия (после всех потерь) |
N0= 21 тс |
(210 |
кН), |
|||||
М=1,8 тс-м (18 кН-м). |
Ill, |
V, VII |
находим: /?Рн = |
18 кгс/см2 |
||||
Решение. |
Из |
прил. |
||||||
(1,8 МПа); |
/?Рн=225 |
кгс/см2 |
(22,5 |
МПа); £б=33-104 кгс/см2 |
||||
(33• 103 МПа); £а = 18-105 кгс/см2 (18-104 МПа). |
|
|
||||||
|
п = Еа/Еб = 18 • 10Б/33 -104 = |
5,45. |
|
|
||||
Согласно формуле (VI.62), |
|
|
|
|
|
|||
100-12? + |
2-5,45-2,545 (12 — 2,2) + (21 000/18) 12 |
|
|
|||||
|
2-100-12+ 2-5,45-2,545+ (21 000/18) |
~ |
СМ' |
106.
Вычисляем по выражению (VI.57) наибольшую ординату сжи мающих напряжений в бетоне
*6 = 2ЯрП - 2-18 J ^ = 7 2 кгс/см? (7,2 МЛа)<0,7ЯпрП =
= 0,7-225 = 157 кгс/см? (15,7 МПа). Усилия в бетоне определяем по формулам (VI.60):
N6 = (1/2) обхт 6 = (1/2) 72-8-100 = 28800 кгс (288 кН);
N6 |
—{h— хт) bRpll = (12 —8) 100-18 = 7200 кгс (72 кН). |
||||||||
Элемент рассчитываем .на образование трещин по условию |
|||||||||
(VI.63), имея в виду, что е=0 и Ми =0. |
|
|
|||||||
|
M < N b ( h - a - - * f j + |
N6.v [ а - “ (А — *т)] . т. е. |
|
||||||
|
180000 кгс»см (18 кН*см) < 28 800 (1 2 - 2 ,2 — 1-) + |
|
|||||||
+ |
7200 |г ,2 - - J |
(12 - 8 ) J |
206 900 кгс*см (20,69 кН«см). |
||||||
Следовательно, |
плита |
гаран |
ТАБЛИЦА |
V1.3. ЗНАЧЕНИЯ |
|||||
тирована от образования нор |
КОЭФФИЦИЕНТОВ Ш) И т» |
||||||||
мальных трещин. |
|
|
Марка бетона |
|
т % |
||||
В |
изгибаемых элемен |
|
|||||||
(тяжелого) |
|
|
|||||||
тах |
на |
участках |
дейст |
|
|
|
|||
вия М и Q возможно об |
М 400 иниже |
0,5 |
2 |
||||||
разование наклонных тре |
|
|
|
||||||
щин на уровне центра тя |
М 500 |
0,375 |
i,6 |
||||||
жести |
сечения |
элемента |
|||||||
|
|
|
|||||||
или |
в |
ребрах |
тавровогр |
М600 |
0,25 |
1,33 |
|||
сечения вблизи |
примыка |
|
|
|
|||||
ния к ним сжатых полок. |
М 700 |
0,125 |
1,14 |
||||||
Причиной возникновения |
|
|
|
||||||
трещин являются главные |
|
|
|
||||||
растягивающие и главные сжимающие напряжения: |
|||||||||
|
|
^г.с |
\ |
Ох+ Оу |
|
|
(VI.68) |
||
|
|
аг.р / |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
где а* и Оу — нормальные напряжения в направлении соответствен но оси элемента и его высоты; т*у— касательные напряжения, воз никающие от внешних нагрузок и предварительного обжатия.
Наклонные трещины не образуются, если соблюдают
ся условия: |
|
°г.о < т Л р П » °Г.Р < *РП |
(VI.69) |
107
или CTr.c > т ЛрИ* СТГ.Р < т а ЛР» ( 1 - т ^ ) » (VI .70)
в которых значения коэффициентов mi и т% принимают по табл. VI.3.
VI.6. РАСЧЕТ ПРОГИБОВ
Определение прогибов
Уравнение прогибов изгибаемого элемента в общем случае имеет вид
у(х) = |
(х\ dx? + Схх + С** |
(VI .71) |
где М(х)—уравнение изгибающих моментов; — (х)—уравнение
кривизны.
В железобетонных элементах кривизна является функцией не только осевой переменной х, но и напря женно-деформированного состояния элементов. Прогибы элементов с однозначной эпюрой М можно вычислить по формулам сопротивления материалов* имея в виду зависимость
y = - j^ M ( x ) d x i + C1x + Cti |
(VI.72) |
в которой неизменную в процессе загружения жесткость EI заменяют величиной В — характеристикой жесткости элемента на изгиб, соответствующей рассматриваемому состоянию.
Кривизны элементов без нормальных трещин в растянутой зоне
Определение кривизны изгибаемых элементов без нормальных трещин в растянутой зоне имеет отношение к предварительно-напряженным элементам, к которым предъявляются требования 1-й и 2-й категории по трещиностойкости.
Кривизну элемента 1/р определяют как сумму
1 _ |
1 |
+ _1______1______ 1_ |
||
Р |
Рк |
Рд |
Рв |
(VI.73) |
Рв.П |
108
Здесь 1/рк и 1/рд— кривизны, вычисляемые соответственно при кратковременных расчетных нагрузках и постоянных плюс длитель
ных по формуле |
_ |
|
рГ = |
0,85 £б / п ’ |
(VI .74) |
в которой М — изгибающий момент от соответствующей |
нагрузки; |
коэффициент с отражает влияние длительной ползучести бетона: для тяжелого бетона с—1 при кратковременных нагрузках и 2 при постоянных и длительных нагрузках (в условиях влажности окружа ющего воздуха выше 40%). Коэффициент 0,85 учитывает влияние кратковременной ползучести .бетона.
Кривизна |
выгиба 1/рв элемента при кратковремен |
||
ном действии усилия |
предварительного обжатия |
N0 |
|
|
_J______ ^QgO.H |
(VI.75) |
|
|
Рв |
0,85£о Jп |
|
|
|
||
Кривизна |
выгиба элемента, обусловленная |
усадкой |
и ползучестью бетона, напряженного при предваритель ном обжатии,
1 |
1 |
(VI.76) |
|
Рв.п |
Е&hQ |
||
|
где <Jn и <хп — напряжения, численно равные сумме потерь предвари
тельного напряжения арматуры от ползучести и усадки бетона, т. е.
06+08+09 (см- § Ш.2) , вычисляемых соответственно на уровне цент ра тяжести растянутой продольной арматуры и крайнего сжатого
волокна бетона.
При вычислении кривизн |
1/рк, 1/рв, |
1/рд элементов |
с закрытыми трещинами их |
значения |
увеличивают на |
20%. |
|
|
Кривизны элементов с нормальными трещинами |
||
в растянутой зоне |
|
Определение кривизн изгибаемых элементов с нор мальными трещинами в растянутой зоне имеет отноше ние к элементам без предварительного напряжения, а также к предварительно-напряженным, к которым предъявляются требования третьей категории по их трещнностойкости. Напряженно-деформированное состоя ние такого элемента показано на рис. VI.22. Из него сле дует, что средние относительные деформации растяну
той арматуры и крайних фибр |
сжатого |
бетона |
могут |
быть представлены в виде: |
|
|
|
еа.с — Фа еа = Фа "7Г- |
= Фа Р D |
- • |
(VI .77) |
.са |
£ а ^ а г1 |
|
|
|
|
|
109 |
Рис. VI.22. Напряженно-дефор мированное состояние изгибае мого элемента с нормальными трещинами в растянутой зоне
1 —краевые деформации бетона сжатой зоны; 2 —деформации рас тянутой арматуры
|
|
Рис. VI.23. Деформации изо |
||
|
|
гнутого |
элемента |
в состоянии |
|
|
после образования трещин |
||
Ч.с = |
Фб еб = Фб |
<7б |
М |
(VI.78) |
|
||||
здесь коэффициент |
фа — отношение среднего |
значения |
деформаций |
|
в арматуре к наибольшему (в |
месте трещины). Он характеризует |
работу растянутого бетона между трещинами. Коэффициент фб ха рактеризует неравномерность распределения деформаций крайнего сжатого слоя бетона на длине участка между трещинами. Для тя желого бетона фб=0,9. Коэффициент v оценивает упругопластиче ское состояние бетона сжатой зоны: для тяжелого бетона при крат ковременном действии нагрузки v=0,45, при длительном ее действии v=0,15.
Кривизна элемента (рис. VI.23) может быть опреде лена из подобия треугольников ОАВ и СДЕ:
J____ еа.с Ч~ еб.с |
(VI.79) |
||
Р ~ |
Ло |
||
|
НО