книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы
..pdf§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
131 |
|
|
Способ построения мер п+ и п~ состоит в следующем. В главе IV, |
|
пример 8.4, мы убедимся, что для каждого Т > 0 существует веро ятностная мера Ртна Ж+ П(а (ш) = 2’} такая, что
l>TUv, w (ti)^dxu w(t2 ^ d x2, . .., ■w(tn)^dxn) =
Л-(0, 0, 1, |
Xi)h(tu Xi, t2, Xz} ... Л- (£„—i, xn-i, |
.Tn)dx^dx2... dxn, |
|||||
•'До |
|
|
|
|
|
|
|
|
t,b) P°(t — s, a, b) |
0 < |
s < |
f , |
a , |
b 0,> |
|
/< (s, a; f , b) = |
л ' (7 — s, a) |
|
|
|
|
|
|
|
] / Y T*K +(i,b)K+ (T —t,b),s = |
0, f > 0 , |
a = |
0, b > 0, |
|||
и 0 < tt < t 2 < |
... < tn < T. a-конечная |
мера |
тг+ |
на |
{Жг’+, |
^(Ж’ 4')}, |
|
определенная равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
ос |
|
|
|
|
|
|
п + (В) = | Р Т (В П {а (и;) = Т }) - ¥ = = , |
В <= ® |
( Г +), |
|||||
удовлетворяет (4.12); п~ может быть построена аналогичным обра-
(юм. |
Пусть |
Г |
- У |
U 7Г-, |
a(W°) |
rtl(7r+)V @(Ж~), |
а п - а-ко- |
||
1I04IHUI |
мори |
нм |
(Ж ’, |
№(W')) |
тикая, |
что/< |у 1 ■•=н 1. Согласно теоре |
|||
ма I 0,1 |
мы |
можем |
построить стационарный |
пуассоповскии точеч |
|||||
ный |
процесс. |
/I |
па Ж' с характеристической |
мерой п. |
Мы назовем |
||||
его пуассоновским точечным процессом броуновских экскурсий.
Предположим, что нам задан пуассоновский точечный процесс бро
уновских экскурсий р |
на вероятностном |
пространстве (Q, |
Р). |
|||
Проуневское движение |
X (t) |
строится |
из |
р следующим |
образом. |
|
Положим |
|
|
i+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A (t) = |
2 |
а (Р(s)) = f |
f a (w) Np (dsdiv), |
|
||
|
,S€~\ p |
Q |
|
|
|
|
где Dp — область определения p, NP(dsdw)— считающая мера про цесса р, определенная посредством (9.1) в главе I, § 9. G вероят
ностью единица t<-*A{t) строго возрастает и П тЛ (£)= оо. t Т00
Поэтому обратная функция cp(t) = A~l(t) непрерывна. Для каждо
го t ^ |
0 положим s = cp(£). Если A (s~)< A (s), то |
s e D f, и мы по |
|||
лагаем |
X(t)=p(s) (t — A(s~)). Если A (s- ) = .4(s), |
полагаем Х(£) = |
|||
= 0. Ясно, что X (0) = 0 и отображение t -*X(t) |
непрерывно п. н. |
||||
Мы можем отождествить X (£) |
с одномерным |
броуновским движе |
|||
нием, начинающимся в 0, |
a <р(£) с локальным временем в 0: |
||||
|
|
|
< |
|
|
|
cp (£) = |
lim X |
f J(_e,e) (X (s)) |
ds. |
|
|
|
ej о4e |
J |
|
|
9*
132 ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ и с ч и с л е н и е
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы можем предположить, что р задан как (&~t) -пуассоновский точечный процесс относительно некоторого
|
|
|
|
|
|
|
*+ |
|
|
|
|
потока (9~t) ■ Тогда |
|
Л(t) — J |
j*a (w) Np (dsdw) {SFt)-согласован, |
||||||||
и |
поэтому |
|
|
|
|
о Ж |
|
для |
каждого t. |
||
ф(г) = Л-1(<) — (^"()-момент остановки |
|||||||||||
Пусть |
= |
и |
|
|
|
— обычные |
о-поля; в |
частности, |
|||
F v(l)- — о-поле, |
порожденное |
множествами |
вида |
^4 П(s < ф(^)}, |
|||||||
А ^ SF„ |
« е [0 , оо). |
Для |
каждого фиксированного |
t > |
0 положим |
||||||
Ft(s, w, |
<о) — w(t — A (s — |
|
Этот процесс (^"^-предска |
||||||||
зуем и принадлежит Fp П Fp. Действительно, |
|
|
|
||||||||
U |
|
A (s)) 1 {1> А М ) 1f t p (dsdw) = |
|
|
|
||||||
5 |
J 1w ( t |
— |
|
|
|
||||||
о |
5г |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
j ds |
j |
[u> (t — A (s)) / {(>а(,)>] n+ (dw) + |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ j |
ds |
j |
[ ~w (t — A (s)) /{(>A(S)>] n~ idw) = |
|
||||
|
|
|
о |
ж |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
= |
2 J dsl(<>A(s)) |
j |
(t |
A (s), x) xdx = 2 j" I{t^A(s)} ds, |
||||||
|
|
|
о |
|
(O.o°) |
|
|
о |
|
|
|
где Np(dsdw)— компенсатор точечного процесса p. Кроме того,
и
j $ \ w ( t - A (s)) I (t>A(f)) \2Np (dsdw) =
о ж
U |
|
= 2 j ds /{!>A(s» |
f K + (t — A (s), x) xHx = |
0 |
(0,0°) |
Положим NP(ds dw) = Np(ds dw) — деленный выше процесс X(t) для записать в виде
= Т/^л IU ^ _ ^ (s))l/2I (i>A(?)}ds. v о
Nf (ds dw). Тогда ясно, что опре каждого фиксированного t можно
<р(0+ |
|
<Р(0+ |
|
X (t) = j |
j Ft (s, w, •) Np(dsdw) = |
j |
j Ft(s,w, ■)Np(dsdw), |
о |
Ж |
о |
ж |
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
133 |
поскольку
<р«) +
j f Ft(s, w, •) Np“ (dsdw) = 0.
оЖ
Пусть*) 2/6t — &~t- V o[p(cp(t)) (it — A(y(t)) —): t]<= STt. Мы покажем, что X (t) — (Ж,)-м&ртингал с (ХУ (t) = t. Положим Я(оо) =
— Hi((i>)H2(a>), где IIДео) ограничена и ^".-измерима, а |
Я 2(w) = |
||||
= G(P (<P (S))7-AMS)-))- |
Здесь G(w) — ограниченная |
3§(Ж*)-измери |
|||
мая функция на**) Ж* и для w ^ F * и s > 0 |
Ж* определя |
||||
ется равенством wT (t) = |
w (t Д s). |
Достаточно доказать, что |
|
||
E(X(t)II((o))=E(X(s)H(a)) |
|
(4.13) |
|||
Я ([Х («)2- « ]Я (( о)) = |
£ ([Х (.)2- 5]Я((о)). |
(4.14) |
|||
Равенство (4.13) доказывается следующим образом: |
|
|
|||
[<р(0[ |
I- |
f Ft {и, w, со) Nv(dudw) Я (со) |
|
|
|
оЖ
[ ТО) I- |
^ |
j |
( Е, (и, ц > , о>) N},(dudw) Я (о>) |
оЖ
|
= Е Г |
2 |
*, (т, р (т), СО) I I («,)] = |
|
|
|
[x«J> (s),xeD p |
|
|
= Е\ |
2 |
Ft (т, Р (т), со) я(со)! + Е [F, (ср (s), р (ф (s))3 со) Я (©)]: = |
||
[т«р(*).тевр |
|
|
J |
|
:= / х + Iz.
Здесь / 1 = 0, так как Ft(т, р(х), со)=0, если т < cp(s)< cp(i). Из вестно (см. [37]), что существует ограниченный (&"t) -предсказу емый процесс H i (со) такой, что Я х (со) = Н $,}(со). Тогда из нижеследующего равенства (4.15) следует
/ 2 = Е (Ft (Ф (s), р (<р (s)), со) Я х (со) Я 2 (со)) = |
||
~ E l |
2 |
-^{s—А(х—)<(Г(р(х))}Я( (т, р (т), со) Я (х1} (со) G (р (т);-А(Т-) |
(x<q>(s).x£Dp |
||
/cp(s)4- |
V |
|
|
A ( « - ) < a ( « » / t (и, W, со)Я<Д (со) G {ws- A{u-))N p(dudw) |
|
\ |
о Г |
|
*) |
p(s) (=Ж, s <= Dp, продолжается как р (s) (.) = 0, если s & Т>р. |
|
**) |
== Ж U (0), где 0 — функция 0 (г) == 0. |
|
134 |
|
|
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
f<P(s) |
|
Г |
|
|
|
= Е М |
dutiff (а) ] I{s-A(u)«j(w))Ft (и, W, a) G (wZ-Mv)) п (dw) |
|
|||
lo |
|
|
\у> |
|
|
|
|Ф<0 |
г |
|
|
|
= |
Е\ |
J |
d u H ^ i u ) ] ) I { s —A(u)«s(w)}Fs (и, W, (o )G {w s-A(u)) n(dw) |
||
|
' |
0 |
|
|
|
Следующие равенства выражают |
основпые свойства меры п: |
если |
|||
t > s > |
0 и g(w) ограничена и J?s (Ж)-измерима *), то |
|
|||
|
|
|
I" w(t) g (w) п (dw) = |
j' w(s)g (w) n (dw) |
(4.15) |
и |
|
|
|
|
|
f [и; (t)2 — t/\o (w)] g (w) n (dw) = |
( [w (s)2- — s Д о (w)] g (w) n (dw). |
||||
Ж |
|
|
|
УГ |
(4.16) |
|
|
|
|
|
|
Вышеприведенное рассуждение можно сейчас обратить и убедить ся, что
(Ф(0 г
Е I |
j duHu |
(®) |
J ^{!-А(и)<а(»)}^I К |
‘ ) G ( W S—A (U)) л (dw) |
{ |
о |
W |
= Е(Х (s) II ((d)). |
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
(4.14) |
доказывается аналогичным образом, если брать |
||
Ft (s, w, w) ■= (w (t — Л (s —))2 — l(i — Л (s —)) Д о (w)}) / {i>A(s-)}и при
менять равенство |
(4.10). В этом случае F,(т, р(т), * )^ 0 |
для |
т < |
<<p(s), но легко |
видеть, что F,(т, р(т), • = F,(т, р(т), |
•), |
если |
T<<p(s). Следовательно, X(t) является (5^,)-броуновским движе нием согласно теореме Н-6.1.
Докажем |
теперь, |
что <р (t)— локальное время |
в начале коорди |
||
нат процесса X(t). Яспо, что |
|
|
|||
|
|
ч>(0+ |
|
|
|
|X (f)|= |
[ |
j* \w(t — A(s —))/ { ( > A |
( s - ) } |Np(dsdw). |
||
|
|
о |
ЗГ |
|
|
|
|
|
oo |
|
|
Заметив, что |
[ |w (t) |n (dw) = 2 j xK+ (t, x) dx = 2 |
для каждого t > |
|||
|
ЗГ |
|
о |
|
|
> 0, паходим |
|
|
|
|
|
|
4(0+ |
|
|
_ |
|
IX (t) I = |
J |
11 w ( t - A ( s - ) ) / {(>а(8- » |
I Np(dsdw) + 2<p (t). |
||
|
о |
W |
|
|
|
*) 3S. (Ж) — о-поле на Ж, порожденное цилиндрическими множествами до момента s.
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
135 |
Такими же рассуждениями, как и выше, можно доказать, что Ф(J0+ f|w(t — A (s —)) / { i > A (s_ )} |Np (dsdw) .
ож
является |
) -мартингалом, и, таким |
образом, согласно теореме 4.2 |
||
можем заключить, что |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
2ф (<) = |
lim |
4- f /[о,е) (I X (s) I) ds. |
|
|
|
Еj о |
ь " |
|
Для обратной к cp (t) |
функции A(t) |
снраведливо выражение |
||
|
|
t + |
fо (w) Np(dsdw). |
|
|
A (t) = j |
|||
|
|
о |
ж |
|
Отсюда легко видеть, что ^ ( ^ — возрастающий процесс со стацио нарными независимыми приращениями такой, что
Е (exp(—ХА (t)))= exp(—Щ(Х)),
где
00 |
00 |
|
|
ф (X) — j* (1 — е Ли) п (о (ш |
е= du) — j (1 — «-*“) 2du |
2 /2Я ,. |
|
и |
о |
V 2лв3 |
|
|
|
||
Таким образом, мы доказали следующую формулу, описываю щую броуновскую траекторию в терминах пуассоновского точечного процесса р броуновских экскурсий:
<p(t+) |
|
X ( f ) = j j w (t — A (s —)) Np(dsdw), |
(4.17) |
ож
t+
A (t) — j J o (w) Np (dsdw) и ф (t) — функция, обратная к t >-* A (t).
О Ж
Это выражение можно рассматривать как формулу разложения броуновской траектории на ее экскурсии. Используя эту формулу, можно получить много результатов о локальном времени ф(t) и множестве нулей 2Z процесса X(t). Прежде чем перейти к некото рым примерам, введем следующие отображения:
7\| W -> (0, с»), |
определяемое |
формулой |
Txw = o(w), |
(4.18) |
и |
определяемое |
формулой |
T2w = max |
|u;(i)|. |
Т2: 2Р-►((), оо), |
o<t<o(w)
(4.19)
136 |
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
Ti и Тг порождают стационарные пуассоновские точечные процессы Ti(p) и Ti(p) на (0, °°) посредством формул
|
= D P и |
Ti (p)(s) = |
Ti (р {s)), |
s е= Dr .(!)), i = |
1, 2. |
|||||||
Характеристическая |
мера |
Wi |
процесса |
Ti(p) |
задается |
равенством |
||||||
Hi ([ж, |
оо)) = |
2«I({гг;о(гг)> |
4 ) |
|
оо |
|
|
|
= (42.20)] / J;, |
|||
= |
2 J |
|
|
|
||||||||
а характеристическая мера |
|
процесса |
Т2 (р) — равенством |
|
||||||||
лг2([л:, о°)) == 2ге+ (iw; max |
w (t) ~^x\\ = |
|
|
|
|
|||||||
|
U |
0< t«s(w ) |
|
i ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
— lim 2re+ (lw; cr(ir)> e, |
max |
w(t)^x\\ = |
|
|
|||||||
|
eJo |
U |
|
|
|
е<г<в(№) |
|
/у |
|
|
||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim 2 j /С 1(e, y) l\ (ox < |
a0) dy = |
|
|
||||||||
|
|
ei о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
“ г |
Л |
/ ; |
5 |
!' o x p ( - 2 4 ) ' 4 - ' * = |
- r - <4-21> |
|||||
где A — мера Винера, |
начинающаяся |
в ж, а о„ — момент первого |
||||||||||
попадания в а *). |
|
|
|
|
|
и е > |
0 положим: |
|
|
|||
Для броуновской траектории X(t) |
|
|
||||||||||
rj,(f)— число интервалов экскурсий в [0, t), |
|
|
|
|||||||||
длила которых пс меньше чем е, |
|
|
|
(4 22) |
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d,(t) — число пересечений сверху вниз от е |
|
|
|
|
||||||||
|
до 0 и пересечений снизу вверх от —е до О |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
до момента t траекторией X(s). |
(4.23) |
|||||||
Из (4.17) |
неносредствепно следует, что |
|
|
|
|
|
||||||
|
Ле(0 |
= ЛГГ1(р) ((О, ф (t)) х [е, |
оо)) |
|
|
|||||||
de(t) = NTt<v){(0, ф(*))Х [е, оо)).
Из усиленного закона больших чисел следует, что
Р ^lim | / ^r-Wri(p)((0, а) х |
[е, оо)) = 2а |
для |
всех |
а > 0 ^ |
= |
1 |
||
и |
|
[е, оо)) =. 2а |
для |
всех |
а > 0) = |
1. |
||
Р (lim еАгт (р) ((0, а) X |
||||||||
\ el о |
2 |
|
|
|
|
|
) |
|
*) Формула Ра(ос < Об) = (Ь — а)/(Ь — с), Ъ< а < |
с, |
хорошо |
известна |
|||||
и легко получается |
из того факта, |
что w («Д crcA ab) — а |
есть Р„-мартингал. |
|||||
8 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
137 |
Следовательно, нами доказан следующий результат, принадлежа щий Леви *):
p (lim |
Ц -Пе (*) = 2ф (0 |
для всех t > 0 ] = 1 |
(4.24) |
Vejo |
^ |
' |
|
я
Р ('limede(i) = 2<p (f) для |
всех t ^ 0 \ = 1. |
(4.25) |
I eio |
) |
|
Пусть р+ и р~ — сужения р на Ж* и Ж~ соответственно. Тогда |
||
р+ и р~ — стационарные пуассоповские |
точечные процессы |
на Ж+ |
и Ж~ с характеристическими мерами п+ и п~ соответственно; кро ме того, они взаимно независимы. Если положим
А + (t) = |
j |
j o |
(w) Np+ (dsdw), |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
<P+(0+ |
|
|
|
|
X +(t) = |
|
j |
f |
w (t — A+ (s —)) Np+ (dsdiv), |
|
|
|
о |
|
|
|
|
t\ |
|
|
|
|
л (*) |
.1 |
J |
o(w)N |
(dsdw), |
|
|
" |
r ~ |
|
|
|
|
*P"40+■ |
|
|
||
X-{t) = |
|
j‘ |
J |
[ - |
W (t - A - (s - ) ) ] ЛГР_ (dsdw), |
ож -
где cp*(i)— обратные функции соответственно для t Л* (i), то, как и выше, можно доказать, что X+(t) и X~(t) — взаимно незави симые отраженные броуновские движения. Процессы X+(t) и X~(t) легко отождествляются с X(t) — x ( т,) и Y(t)= —«(гр), определен ными в предыдущем пункте.
В оставшейся части этого пункта мы изложим в терминах броу новских экскурсий красивые результаты Питмана [144] и Уильямса [164] о двойственности менаду броуновским движением и бесселев-
ским диффузионным процессом с индексом 3 |
и особенно теорему |
||
Уильямса о разложении |
броуновской |
траектории. Бесселевский |
|
диффузионный процесс |
с индексом а |
будет |
введен в примере |
IV-8.3. В последующем изложении нам понадобится только случай |
|||
а = 3. Обозначим соответствующую диффузию |
»)• Это диф |
||
фузионный процесс на [0, °°) с переходной вероятностью q (t, х, у) dy>
*) Леви только предугадал формулу (4.25); различные доказательства см., например, в книгах: Ито, Маккин [77], Чжун, Дюрре [179] и Уильямс [164].
138 |
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
|
|
где |
|
|
|
■jP°(t,x,y)y |
для t , x , y > О, |
|
q(t,*,y) = |
(4.26) |
|
K*(t,y)y Для |
t , y > 0, ж = 0 |
с p°(t, х, у) и K+(t, у), определенными выше. Броуновское движе ние (Х(£)} с Х (0 )= 0 обозначаем через ВМ°, а случайный процесс Y(t) с распределением Qa — через BES°(3).
Пусть р+ — точечный процесс на Ж + и A+(t) определены так же, как и выше. Определим непрерывный процесс (Х(£)} ра венством *)
X (£) = s — l/?+ (s)] (f — А+ (s —)), A+ ( s - ) ^ t ^ A + ( s ) . (4.27)
Так как Х (£ )= ф+(£)— Х +(£), то согласно теоремо 4.2 мы можем заключить, что {Х(£)> ость ВМ\ Это также может быть проверено непосредственно таким же доказательством, что и выше. Теорема Питмана утверждает, что если определить непрерывный процесс iY(t)} равенством
Y (t) = s + [/>+ (s)] { t |
- |
А+ (« - ) ) , |
Л+ (s - ) ) < |
£ < А+ {S t |
(4.28) |
|||||||
то {Y{t)} есть BES*{3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для w ^ ур+ определим w е Ж+ формулой |
|
|
|
|||||||||
|
- |
Iw(p(w) — t) |
для |
0 < £ < a (w ), |
|
|
||||||
|
и,(*) “ 1 |
|
0 |
|
для |
V^a{w). |
|
|
|
|||
|
v |
|
и мера п+ инвариантпа относительно |
отоб |
||||||||
Ясно, что a(w) = a(iv) |
||||||||||||
ражения W <-*■W. Это, очевидно, так, поскольку мера Ртинвариант |
||||||||||||
на относительно этого |
отображения (см. пример IV-8.4). Фиксиру |
|||||||||||
ем а > 0 и определяем точечный процесс р на Ж? с |
= j s e |
(0, а); |
||||||||||
а — |
s ( = Dp+] (J |
(s e (a , |
OO) ; S G |
Dp+] и |
|
|
|
|
|
|||
|
|
р+ (а — s) |
для |
s e D |
- d (0, а), |
|
|
|||||
|
p(s) = |
p+ (s) |
для |
s e D |
- f l ( « , |
«>). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
Так |
как мера |
dsn(dw) |
на (0, |
а) X Ж* |
инвариантпа относительно |
|||||||
отображения (s, iv) >-* (a — s, |
w), то |
ясно, |
что |
закон |
распределе |
|||||||
ния р совпадает с законом распределения процосса р+. Если опре делить (X (f)} посредством (4.27) с процессом р+, а (У(£)} посред-
*) Поэтому * = ф+(«)• Если s ф D^+ , то полагаем [?+ («)] (О н= 0.
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ |
139 |
ОТВОм (4.28) |
с процессом |
р, то непосредственно убеждаемся, что |
А+ (а) = |
А(а): = 2 o |
[ f ’ (s)]> Л+ (а) = inf {f; X (t) = а}, |
|
8 4 а |
|
и |
А(а) = |
sup [f; Y (t) = а) |
|
|
Y(t) = a — X+(A+(a) — t) для 0 ^ t < А+(а).
Таким образом, из теоремы Питмана следует следующая теорема Уильямса: если {X(t)} представляет собой ВМ°, a (Y (t)}— BES°(3),
то |
{a — X(aa— t), |
S ’ |
la , |
где |
o* = |
|
Y (t) — а). |
||||||
= |
inf {t: X (t) = a), a la = sup it: |
Обратно, если |
мы |
смо |
||
жем сначала доказать теорему |
Уильямса |
(это легко сделать по |
||||
средством выписывания конечномерных распределений в явном ви
де; |
см. [164]), то, |
устремив |
a t 00 |
в |
вышеприведенном |
рассмотре |
|||||||||||||||
нии, немедленно получим теорему |
Питмапа. |
|
Для полноты дадим |
||||||||||||||||||
прямое доказательство теоремы Питмана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Ясно, что |
{X(l)}, (Y (f)} |
и |
{q>+(£)}, определенные через р+, свя |
|||||||||||||||||
заны |
друг |
с |
другом |
следующими |
соотношениями: |
X(t) + Y(t) = |
|||||||||||||||
= |
2<p+(t), |
rp+(t)= |
sup |
X (s) = |
|
inf |
|
Y (s). Следовательно, |
достаточ- |
||||||||||||
но |
|
|
|
|
|
0 < » < t |
|
|
t < S < 0 a |
представляет |
собой |
BES°(3), |
|||||||||
доказать следующее: если |
{Z(l)} |
||||||||||||||||||||
a |
iJ(l)) опрсОслси |
равенством J (l) «=» |
inf Z(s), |
TO |
W(t)='2J(t) — |
||||||||||||||||
- |
Z(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1484 oo |
|
доказать |
только то, |
|||||||
будет процессом BM°. Для этого |
нужно |
||||||||||||||||||||
что |
W{t) — мартингал, |
поскольку легко видеть, |
что |
<.W>(t) = t. За |
|||||||||||||||||
метив |
очевидное соотношение |
|
J {s) = J (t) Д |
inf |
Z (и), |
если |
s < ty |
||||||||||||||
легко |
обнаружить, |
что |
|
= |
|
о ( / (t)) V &~t |
для |
каждого |
t > |
О *). |
|||||||||||
Следовательно, достаточно показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
E(W(t) 7(J(8)>а)Я) = E(W (s) /,,(„>.,«)■ |
|
|
|
(4.29) |
||||||||||||
для |
каждых |
s < t |
и |
a > О |
и ограниченной |
^ f -измеримой функ |
|||||||||||||||
ции |
II. Обозначив |
Jt(w) *= |
inf |
w(u) для w е= W [0, <*, |
С([0, |
«>) — |
|||||||||||||||
|
[0. °°)) |
|
|
|
i < U |
< |
о о |
|
|
|
|
|
* |
|
• |
|
|
|
|||
|
и H = H{Z), где |
H(w)— ограниченная |
(W [0, „ ))-изме |
||||||||||||||||||
римая фупкция, будем иметь **) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
E[{2J(t)- Z(t))I{Jw>0)H] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
Е Г(2 / (t) — Z (t)) / {J(()>0} I |
{ i n f Z(«)>a) Щ = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
Ku<t |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
= |
E0\{2Jt (w) |
W(f)) /{Jt(u))>a} I (in( «,(u)>a} H (w)] = |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
t^ u < t |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
• > ( * T ) « |
( * ? ) |
— естественные |
потоки процессов |
{ W (г)} |
и {£ («)} со |
||||||||||||||
ответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
**) |
обозначает математическое ожидание относительно Q& |
|
|
|
|||||||||||||||
140 |
|
ГЛ. III. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
||||||
=“ |
|
|
|
|
+\ |
{inf to{u»a} н (IH)1 * ) = |
|
|||
= |
^ 0 j^(2-^tti(0 [*^0^{/e>a}] — w (t) Ew(t) [^{J0>a)]l I |
Onf w(u)>a)H(w)j = |
||||||||
= |
^ e[(* — ^ |
j ) |
7{aa(U,+)>/_,> 7<»<*»“>Пj ** ) = |
|
|
|
||||
|
|
|
|
= E0J^£u,(S)|^a — -w(t_ SJ |
|
I{w(*)>a) # ]. |
||||
Здесь мы воспользовались тем фактом, что |
|
|
|
|||||||
|
л _ |
|
|
|
+ оо) = |
fl — blx |
для |
Ъ<.х, |
|
|
|
$я (^ 0 > Ь) = ^ ( о ь = |
| |
0 |
для |
х < ь |
|
||||
в, |
следовательно, Qx( / 0 е db) |
|
|
db |
|
|
что |
|||
h о,х)Ф) — ‘ Легко видеть, |
||||||||||
|
E * [ ( a |
W ( J |
7 1°«> U } ] = |
Ё * [ ( a |
- |
№ ( » A J |
] |
“ a “ |
* |
|
для каждых и > |
0 и х > а. Поэтому левая сторопа равенства (4.29) |
|||||||||
равна Е0j^a - т |
У |
л * .» .> 4 |
и аналогичные рассуждения пока-» |
|||||||
зывают, что это последнее выражение совпадает с правой стороной того же равенства.
Обратимся, наконец, к теореме разложения Уильямса. Положим
m(w)-* sup w(l) |
для № e ] f +, Пусть р+ — точечный процесс на |
||||
о<1<о(111) |
|
|
|
считать (&"/)- |
|
Ж+, онродолонный, как и выше, который мы можем |
|||||
точечным |
процессом, |
и |
определим |
{У(I)) равенством (4.28). За |
|
фиксируем |
а > 0 и |
положим 0 = |
mill [s (= Dp+: s + m [p+ (s)] ^ a } . |
||
Тогда 0 — |
t) -момент |
остановки |
такой, что 0 < a |
п. п. Согласно |
|
теореме II-6.5 точечный процесс |
р*, определенный посредством |
||||
Dp» = { i > 0 : i+0<=Dp+] |
и p*(f) = p+(t + 0), является точечным |
||||
процессом пд Ж+> независимым от SFъ и с тем же самым закопом
распределения, что и р+. Следовательно, точечный процесс р, опре деленный посредством D~ = { s e ( 0 , a — 0): a — 0 - s e D p*} (J ( s e
s (a — 0, oo): s <= Dp*} и
v |
ip* (a — 0 — s) для |
s e D v f l ( 0 , e - |
0), |
|
P ^ ~ |
jp* (4 |
для |
s <= DjT П (a — 0. |
oo), |
является также |
точечным |
процессом |
на Ж+, независимым от 9~ъ, |
|
с тем же самым законом распределения, что и р+. Если определим
*) |
(li> + ) |
(и) |
= |
w (f + и). |
* * ) |
о а (w) |
= |
in f |
{(: w (t) = a }. |