книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций
..pdfчаемом ЕЗ. Пространство ЕЗ описывается ортогональными де-
нартовыми^ координатами гк г и ортонормированием базисным вектором ej.,. в этой системе координат любая тройка чисел
zк' определяет точку в пространстве ЕЗ и, одновременно, радиус-вектор:
r=r(zk )=zk е^,. |
(ПЗ. 1.1) |
Если координаты точки zk f являются функциями двух пара
метров ха , то радиус-вектор
r=r(xa )=zk '(xa )ek , |
(ПЗ.1.2) |
описывает двумерный геометрический объект |
- поверхность А |
в ЕЗ (например, поверхность вращения на рис. ПЗ.1.1).
|
|
Рис. ПЗ.1.1. |
Поверхность |
вращения. |
|||
R, |
Пусть Р |
- |
точка не на |
поверхности |
А |
с |
радиус-вектором |
равным: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й(хс*,х3)=г(х0£)+х3а3 (xrt), |
|
(П3.1.3) |
||
где |
а,(ха ) |
- |
единичный вектор, который |
в |
точке Q(xa ) на |
||
|
J |
|
3 |
|
|
|
|
поверхности А |
(х =0) ортогонален к плоскости, касательной |
||||||
к поверхности |
в этой точке. |
|
|
|
|||
При х3=0 фиксируем параметр х2 . Тогда радиус-вектор (формула (ПЗ.1.2)) на поверхности А описывает кривую, ко
торую назовем х1-кривой или координатной линией при
х2«const. Аналогично определим х2-кривую или координатную 1
линию при х «const. Таким образом, любой точке Q на по верхности А соответствуют две координатные или, еще гово рят, параметрические линии. Сеткой из параметрических ли
ний можно покрыть всю поверхность А. Параметры ха назы ваются координатами криволинейной координатной системы поверхности, или параметрами Гаусса. Их индексы - гречес кие буквы, и они удовлетворяют закону преобразования тензоров. Параметры Гаусса еще называют поверхностным тензо ром.
Ковариантным базисом в пространстве является базис:
3i_s, r
Соответственно, базис на поверхности равен:
аOL=Г fOL |
(ПЗ.1.4) |
Базисные векторы аа (ха ) лежат в тангенциальной плоскости,
касательной к поверхности в точке Q(xa ).
Дифференцируя (П3.1.3) по х1 получим:
-» -* . 3-» |
(ПЗ.1.5) |
9«-а«+х а3,«' |
|
-1 |
(ПЗ.1.6) |
д3=а3 . |
|
По определению: |
|
а з ' а ос=°; а з 'а 3=1- |
(ПЗ.1.7) |
Дифференцируя последнее равенство |
имеем: |
а3'а3,а=0‘ |
(ПЗ.1.8) |
Базисные векторы являются ковариантнымж поверхностными
тензорами 1-го ранга, т.е. ад - ковариантный базис на по
верхности. |
матрица |
По определению метрического тензора д. . |
|
XJ |
ар |
равна: |
|
В соответствии с формулой (П1.1.10) а^=а =(a^xa2 )/v а
и тогда:
Ь«Р= Р«,Э 51 |
(ПЗ.2.4) |
Кривизна кривой, получающейся при нормальном сечении поверхности вдоль параметрической линии с параметром t, равна частному от деления второй квадратичной формы по верхности на первую квадратичную форму:
- - Ьа„ х % Э/(aa.i“iP ). |
(ПЗ.2.5) |
R |
|
Линии на поверхности, соответствующие экстремальным зна чениям кривизны, называются линиями кривизны поверхности. Условие, что параметрические линии - линии кривизны, имеет вид:
а^2=Ь |
• |
(ПЗ.2.6) |
Тензор кривизны Ь . позволяет определить два основных ар
инварианта в дифференциальной геометрии поверхности. Од ним из инвариантов является средняя кривизна поверхности:
Н— (Ь ^ а 2 2 “2Ь^2а12+^22а11 jj(2а) • |
(ПЗ.2.7) |
После перестановки индексов снизу вверх в тензоре a D поар
лучим:
(ПЗ.2.8)
н=ьаеа“е/2=ь“/2 -
Другой инвариантой является мера кривизны Гаусса К:
K-b/a=det(b^), |
(ПЗ.2.9) |
где а определяется при написании формулы (ПЗ.1.15), а b
равно: |
|
|
|
2 |
(П3.2.Ю) |
|
|
|
|
Ь=Ь11Ь22_ (Ь12' * |
|||
С |
другой |
стороны: |
|
|
|
|
|
|
1 , 1 |
1 |
I, К= |
(ПЗ.2.11) |
|
|
|
Н= — |
-- |
+ -- |
||
|
|
2 |
R, |
А>2 |
R1R2 |
|
где |
R^ и R2 |
|
11 |
|
||
- главные |
радиусы кривизны. |
|
||||
Так как - / 7 при i*j*k, тогда:
(cr12-*21)g3+ (<г23-a32)д Ч (<г31-(г13 >д2= 0 .
Таким образом, из условия равенства моментов вытекает
симметричности тензора |
напряжений: |
• |
• • • |
|
(П4.1.7) |
Преобразуем условие равенства сил (П4.1.5). Выполняя диф ференцирование получим:
{сг^У~д д . ) |
( o ^ i - i ) |
*+ (^~Ч ) |
t ^ |
( П 4 . 1 . 8 ) |
J/ J - |
J |
f •*- |
J |
Имеем:
а/ 7 /sx^ts/ д ^ /зд) (ад/здк1)(ад^/эх1 ).
Всоответствии с определением обратной матрицы
sg/3gki=ggkl
получим формулу:
( / 7 ).,1= 7 7 9klgklji/2.
Учитывая формулу (П2.2.26) теперь запишем:
< / 7 )д = / 7 г к1- |
(П4.1.9) |
Из соотношений (П4.1.8) и (П4.1.9) следует:
( q V g (ii)g |
)д = / 7 ( г ^ ) д + / 7 rki°'Xj5j- |
С учетом (П2.2.24) |
и (П2.2.25) получим: |
{q |
к .± |
(7?+<rikrji+<Tijrki^g* |
Правая часть этого уравнения в соответствии с формулой (П2.3.4) содержит ковариантную производную от тензора напряжений деформированного тела. Тогда: