книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

Условие (пг>0 невыполнимо при crp=const. Диаграмма завися*

мости напряжения 'от деформаций для упругоидеальнопластического материала показана на рис. 5.1.2.

При упрочнении в процессе пластического деформирования в саком простом случае линейного упрочнения по правилу Прагера а отлично от нуля (рис. 5.1.3):

crF=const; а=СЕе^-.

В общем случае значения (гр и а - не являются константами.

Условие текучести

F((r)= (o-a)2-<r*0

продифференцируем по времени t. Получим (<г-а)*(<г-а)=0, от­

куда а=СЕё^=сг и с^=сг/СЕ .

В случае линейного упрочнения из формул (5.1.8) следует:

{tr/CЕ. , если F=0 и (ог-а)о-гО.

МНОГООСНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ. При многоосном нап­ ряженном состоянии условию текучести соответствует по­ верхность, ограничивающая область только упругих деформа­ ций. Для большинства материалов пластические деформации твердого тела происходят без изменения его объема. В пространстве независимых координат, являющихся компонен­ тами тензора напряжений, эта область ограничена поверх­ ностью, описываемой условием текучести:

координатных осей совпадают с направлениями главных нап­ ряжений. При о“3 = 0 имеем геометрическую интерпретацию

этого уравнения в плоскости.

Обобщение результатов экспериментальных исследований показывает, что при увеличении пластических удлинений

течения для многоосного напряженного состояния:

'О, если F<0 или F=0, (d F / d a )^к1<о,

Закон упрочнения можно описать математически, анало­ гично уравнению (5 .1 .1 0 ). С учетом равенств (5 .1 .15) нож-

но прямую зависимость от e?j заменить зависимостью от А:

(5 .1 .1 6 )

Условие текучести является основным в законе течения, в котором используется правило нормали для условия текуче­ сти. Закон течения, который удовлетворяет правилу норма­ ли, называется .ассоциированным законом течения.

Впервые условие текучести было сформулировано в 1868 году французским инженером Треска. Оно применимо в основ­ ном к металлам и состоит в том, что пластическое течение наступает, если максимальное касательное напряжение сдви­ га равно:

ного состояния. По условию текучести Треска возникновение пластического деформирования не зависит от среднего главного напряжения:

Другое важное условие текучести приписывают трем авто­ рам, сформулировавшим его независимо друг от друга: Губе­ ру (1904), Мизесу (1913), Генки (1923). По условию теку­ чести Губера - Мизеса - Генки, которое также называют ги­ потезой о постоянстве энергии изменения формы твердого тела, пластичность возникает тогда, когда энергия измене­ ния формы при многоосном напряженном состоянии будет рав­ на энергии достижения границы текучести при одноосном на­ гружении. Это условие равнозначно току, что второй инва­ риант девиатора напряжений становится равным предель-

Скорость общих деформаций при пластическом течении мате­ риала состоит из скоростей упругих и пластических дефор­ маций:

Эти соотношения впервые были сформулированы Прандтлем (1923) (для плоского напряженного состояния) и Рейссон (1930) (для трехосного напряженного состояния) и образуют закон Прандтля - Рейсса.

ПЛАСТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ С УПРОЧНЕНИЕМ. Исходя из разви­ тия теории упрочнения принято различать три модели упроч­ нения:

- изотропное упрочнение, при котором изменяются размеры площадки текучести с сохранением формы и положения в пространстве напряжений. Это соответствует не зависящему от деформации изменению ^предела текучести материала <rF ;

- кинематическое упрочнение, при которой площадка условия текучести испытывает сдвиг при сохранении своей формы и своих размеров. Это соответствует влиянию функции мате­ риала а при одноосном напряженом состоянии (см. уравнение (5.1.1)); - анизотропное упрочнение, при котором изменяются форма и

величина площадки текучести. В общем случае все модели упрочнения проявляются одновременно в различных комбина­ циях. Формулировка условий текучести (5.1.11) и закона упрочнения(5.1.16) является достаточно сложной задачей и продолжает .оставаться темой современных фундаментальных исследований. Для прочностных расчетов, как правило, ис­ пользуются две первые модели упрочнения. При изотропном упрочнении с условием текучести Губера - Мизеса - Генки увеличение размеров площадки текучести происходит за счет

Так как (Гр является пределом текучести при одноосном рас­

тяжении, то удобно применять в качестве параметра pQ

соответствующую пластическую деформацию e^=e^es-crp/E.

Предел текучести материала как функция <Гр(Е^) может опи­

сываться в виде таблицы значений или аппроксимирующей функцией, которые получаются в опытах по растяжению об­

разца. В случае трехосного напряженного состояния величи­

на вычисляется путем сопосотавления с пластическим

растяжением, что приводит ко второму инварианту девиатора деформаций:

С учетом равенства (5.1.23) из формулы (5.1.28) имеем:

Следует отметить, что при изотропном упрочнении в соот­ ветствии с уравнениями (5.1.26) и (5.1.28) величина нап­ ряжения текучести увеличивается при любом’ пластическом изменении конфигурации твердого тела согласно кривой од­ ноосного растяжения. При этом появляются значительные расхождения с результатами экспериментов, если нагрузки являются знакопеременными. Поэтому использование уравне­ ний (5.1.26) и (5.1.28) должно быть ограничено процессом нагружения и определенной разгрузки, в то время как при знакопеременной нагрузке модель изотропного упрочнения должна использоваться в комбинации с другими моделями упрочнения.

Второй важной моделью процесса упрочнения является линейное кинематическое упрочнение с условием текучести Губера-Миз еса-Генки.