книги / Основы разработки нефтяных и газовых месторождений
..pdfницей (см. рис. 5.3), форма которой может быть далека от круговой. Поэтому требуется некоторая модификация уравнения притока в скважину для учета указанного отсутствия симметрии. Уравнение (6.12) можно записать в обобщенной форме, введя так называемые коэффициенты формы Дитца3, обозначаемые Сд. Эти коэффициенты для различных геометрических форм области дренирования приве дены на рис. 6.4. Методика их получения будет изложена в главе 7 (раздел 6). Пока же читателю предлагается принять без обоснования следующие выкладки для вывода уравнения притока в обобщенной форме. Исключая скин-фактор, характеризующий изменение про ницаемости ПЗП, можно записать уравнение (6.12) следующим об разом:
|
_ЯМ_ / |
1 |
7гг; |
(6.20) |
|
|
2 |
1п- |
|
|
2тгкЬ \ |
я г2е 3/2/ |
|
|
Логарифмируемое выражение можно записать в виде |
|
|||
4тгГ2 |
4А |
|
4А |
|
-----з/ГТ = ------- 7 |
= --------7 ’ |
<6-21) |
||
4ле3/2г* |
56,32г^, |
у31,6 ^ |
|
где А - площадь области дренирования, у = 1,781 —константа, представляющая собой значение экспоненциа льной функции для постоянной Эйлера,
31,6 - коэффициент формы Дитца для скважины, расположенной в центре круговой области дренирования (см. рис. 6.4).
Таким образом, уравнение |
(6.20) может быть записано в обобщен |
|
ной форме, включающей скин-фактор |
|
|
Р~Р»г |
др |
(6. 22) |
|
||
2лкЬ 1 2 УСА |
) |
В случае квазиустановившейся фильтрации объем, дренируемый каждой скважиной, пропорционален дебиту скважины. Поэтому не сложно оценить объем, дренируемый каждой скважиной, и, зная сред нюю толщину пласта в окрестности скважины, площадь области дре нирования для каждой скважины. Если имеются структурные карты пласта, то можно схематизировать геометрическую форму области дренирования и, обратившись к рис. 6.4, определить коэффициент
установившееся
состояние
|
|
при |
И |
|
|
--------> |
|
|
1пСа |
Са |
<рцсА |
в ограниченных пластах |
|
|
|
|
3,45 |
31,6 |
0,1 |
|
3,45 |
31,6 |
0,1 |
|
3,45 |
31,6 |
0,1 |
|
3,32 |
27,6 |
0,2 |
6 ^ |
3,30 |
27,1 |
0,2 |
|
|
|
|
; й _ |
3,09 |
21,9 |
0,4 |
|
3,12 |
22,6 |
0,2 |
|
1,68 |
5,38 |
0,7 |
|
0,86 |
2,36 |
0,7 |
установившееся
|
состояние |
|
|
|
|
к! |
|
|
|
при ------- > |
|
1п Са |
Са |
ФцсА |
|
2,38 |
|
10,8 |
0,3 |
1,58 |
|
4,86 |
1,0 |
0,73 |
|
2,07 |
0,8 |
1,00 |
|
2,72 |
0,8 |
-1,46 |
0,232 |
2,5 |
|
-2,16 |
0,115 |
3,0 |
|
4 |
|
|
|
III |
|
|
|
1,22 |
|
3,39 |
0,6 |
1,14 |
|
3,13 |
0,3 |
-0,50 |
0,607 |
1,0 |
|
-2,20 |
0,111 |
1,2 |
|
■(А4 -2,32 |
0,098 |
0,9 |
2,56 |
12,9 |
в пластах с водонапорным режимом |
|
|
0,6 |
|
|
||
|
|
2,95 |
19,1 |
0,1 |
1,52 |
4,57 |
0,5 |
|
|
|
|
3,22 |
25 |
0,1 |
Рис. 6.4. Коэффициенты формы Дитца для областей дренирования различных геометрических форм2 С разрешения 5РЕ А1МЕ
формы СА. Очевидно, что этот коэффициент зависит не только от формы области дренирования, но и от положения скважины относи тельно границы этой области. Если область дренирования имеет не правильную форму, может потребоваться интерполяция между раз личными конфигурациями, представленными Дитцем. Разумеется, определить точную форму области дренирования невозможно, но обычно удается сделать приближенную оценку. Подставив найден ный коэффициент формы в уравнение (6.22), можно значительно по высить точность расчетов по уравнению притока. На рис. 6.4 указано также безразмерное время 1од = к! / сррсА, где I - период времени, в течение которого скважина работает с практически установившимся дебитом. Если расчетное значение 1ОАне превышает число, указанное для соответствующей геометрической формы, то скважина не рабо тает в условиях квазиустановившейся фильтрации и применять ко эффициенты формы Дитца нельзя.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1)ВоЬиг§, Т.С. ап<3Ьап1г, К.В., 1966. Са1си1а1юп о( 1Ье Ргобисйоп Ка1е о{ а ТЪегтаИу 8Шпи1а(е<1 \Уе11 ^РеЕТесЬ., БесетЬег: 1613-1623.
2)СгаЙ, В.С. апб На\укт$, М.Е, 1г., 1959. АррЕес! Ре1го1еит Кезетнг Еп§теепп§. РгепИсе-НаН, 1пс., Еп§1етюс1 СШГз, №\у 1егзеу.
3)ВхеИ, П.Ы., 1965. Эе(егтша1юп о{ Ауега§е Кезегуок Ргеззиге Iгош ВшМ-Цр Зигуеуз. 1.Ре1.ТесЬ., Аи§из1: 955-959.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЬЕЗОПРОВОДНОСТИ ПРИ ПОСТОЯННОМ ДЕБИТЕ И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЕГО ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕФТЯНЫХ СКВАЖИН
7.1. ВВЕДЕНИЕ
Решение при постоянном дебите, описывающее падение давления в скважине при ее работе с постоянным дебитом, является основным уравнением, используемым при анализе результатов исследования скважин. За исключением короткого периода существования неустановившегося режима фильтрации (случай бесконечного пласта), решение существенно зависит от условий на границе пласта. В этой главе представлено решение при постоянном дебите, когда скважина расположена в ограниченном элементе пласта, - для всех геометриче ских форм области дренирования, рассмотренных Мэтьюзом, Бронсом и Хейзбреком, и для любой продолжительности работы сква жины. Решения записаны в безразмерной форме, чтобы упростить математические выкладки и придать им общий характер. Суммиро
вание решений позволяет получить общее уравнение для исследова ния скважин, которое можно использовать при анализе результатов любых исследований с изменением давления в скважине. В этой главе рассмотрены такие исследования для случаев, когда пласты насыще ны флюидами с малой и постоянной сжимаемостью (недонасыщенная нефть). В главе 8 описывается применение этого же метода к исследо ванию скважин, вскрывших газовую залежь или нефтяную залежь с пластовым давлением, равным давлению насыщения.
7.2. РЕШЕНИЕ ПРИ ПОСТОЯННОМ ДЕБИТЕ
Решение уравнения (5.20) при постоянном дебите описывает из менение забойного давления р^ во времени после изменения дебита от 0 до ^ (в момент времени 1 = 0 начальное равновесное давление р^ = р.). Задача иллюстрируется рис. 7.1.
дебит
время, 1
неустановившаяся фильтрация
позднии период неустановившейся фильтрации
время, 1
( Ь )
Рис. 7 .1 . Решение при постоянном дебите: постоянный дебит (а),
соответствующее падение забойного давления (Ь)
Решение при постоянном дебите выражает изменение ршГво времени при любой продолжительности работы скважины с постоянным деби том. Кривую падения давления (рис. 7.1 (Ъ)) обычно можно разделить на три участка в зависимости от продолжительности работы скважины и геометрии пласта или части пласта, дренируемой скважиной.
Изменение давления в начальный период можно описать, используя решение уравнения (5.20) для условий неустановившейся фильтра
ции пластовых флюидов. Принимается, что в этот период изменение давления в скважине не зависит от условий на границе области дре нирования скважины, и наоборот. В таком случае обычно говорят о бесконечном пласте, поскольку в период существования неустановившегося режима фильтрации пласт проявляет себя как неограничен ный по протяженности.
По завершении начального периода неустановившейся фильтрации наступает так называемый поздний период неустановившейся филь трации, когда начинает проявляться влияние границы области дре нирования. Когда скважина дренирует ограниченную область, форма этой области и расположение скважины относительно ее границы име ют большое значение при поиске соответствующего решения при по стоянном дебите в позднем периоде неустановившейся фильтрации.
Со временем скорость изменения забойного давления в ограни ченном пласте становится постоянной. Такое состояние соответ ствует квазиустановившемуся режиму фильтрации, описанному в главе 5 (раздел 3 (Ъ)).
Решение при постоянном дебите для любой продолжительности работы скважины было впервые представлено Херстом (Нигз!) и ван Эвердингеном в 1949 г. В этой классической работе1авторы дают ре шение уравнения, аналогичного уравнению теплопроводности, с по мощью преобразования Лапласа для случаев фильтрации пластовых флюидов при постоянном дебите и при постоянном давлении. Послед ний случай, соответствующий разработке залежи с притоком воды из законтурной водоносной области, будет рассмотрен в главе 9.
Полное решение Херста и ван Эвердингена (уравнение 7.34) представляет собой очень громоздкое математическое выражение, предусматривающее бесконечное суммирование функций Бесселя. Сложность этого выражения определяется характером изменения забойного давления в позднем периоде неустановившейся фильтра ции. Для условий неустановившейся фильтрации и квазиустановившейся фильтрации можно получить относительно простые решения, представленные в разделе 7.3. Сложность полного решения вызы вает большие неудобства, поскольку решение уравнения (5.20) при постоянном дебите является основной зависимостью, используемой при анализе результатов исследования скважин. Как будет показано в разделе 7.5, изменение давления в скважине можно теоретически описать при любой последовательности различных дебитов, под держиваемых в течение различных периодов времени. Это общий
метод, используемый при анализе результатов любых исследований нефтяных и газовых скважин.
7.3. РЕШЕНИЕ ПРИ ПОСТОЯННОМ ДЕБИТЕ ДЛЯ УСЛО ВИЙ НЕУСТАНОВИВШЕЙСЯ И КВАЗИУСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ
Установлено, что в начальный период неустановившейся фильтра ции решение уравнения (5.20) при постоянном дебите, полученное с помощью преобразования Лапласа, может быть аппроксимировано так называемым решением для точечного стока. При этом принима ется, что радиус скважины пренебрежимо мал по сравнению с разме рами безграничного пласта и саму скважину можно рассматривать как точечный сток. Такое допущение позволяет значительно упро стить математические выкладки. Начальные и граничные условия записываются следующим образом:
a) |
р = р. |
|
при |
1 = 0 |
для всех г |
|
B) |
р = р. |
|
при |
г = ©о |
для всех I |
(7.1) |
c) |
Нт |
Эр |
^|^ |
дяя всех 1: > 0 |
|
|
------- |
г "V- |
= ~Г7Г~ |
|
|||
7 |
г -> 0 |
Эг |
2лкЬ |
" |
|
|
Здесь:
a)- начальное условие, означающее, что до начала отбора давление в любой точке дренируемого объема равно начальному равновес ному давлению р..
B) - условие неустановившейся фильтрации, означающее, что давле ние на внешней бесконечно удаленной границе пласта не испыты вает влияния изменения давления в скважине, и наоборот.
c) - условие на внутренней границе при наличии точечного стока.
Кроме того, сохраняются допущения, сделанные при выводе урав нения (5.20). Они заключаются в том, что пласт однороден по всем характеристикам горной породы и изотропен по проницаемости; пласт вскрыт по всей толщине, чем обеспечивается плоскорадиаль ный поток; пластовый флюид имеет постоянную вязкость и малую и постоянную сжимаемость. Поэтому полученное решение применимо к потоку недонасыщенной нефти. Развивая простой метод обработ ки данных исследования, основанный на этих допущениях, можно
устранить многие ограничения, если учитывать, например, неполно ту вскрытия пласта по толщине, высокую сжимаемость притекающе го в скважину флюида и т. п. Такие модификации основного метода будут последовательно рассматриваться в этой и следующих главах. При указанных выше условиях уравнение
|
1 Э / |
Эр\ |
(рф Эр |
(5.20) |
|
|
7 э7 |
Эг) “ ~7~ эГ |
|||
|
|
||||
можно решить, используя преобразование Больцмана |
|
||||
|
8 = |
|
|
срцсг1203 |
|
|
|
|
|
||
|
^ /коэффициент, аналогичный |
\ |
4к{ |
||
|
^коэффициенту температуропроводности ) |
||||
|
|
||||
В таком случае |
|
|
|
||
|
Эз |
_ |
срцсг |
(7.2) |
|
|
Эг |
|
2к1 |
||
|
|
|
|||
и |
Эз |
_ |
срцсг2 |
(7.3) |
|
ЭГ |
" |
4ке ‘ |
|||
|
|
Используя эту новую переменную, можно переписать уравнение (5.20) в виде
|
1А.1 г аР |
08 \ |
08 |
<рф |
Эр 08 |
|||
|
Г 0 8 ^ |
0 8 |
0 Г I 0 Г |
к |
0 8 |
0* |
||
С учетом зависимостей (7.2) и (7.3), получаем |
|
|
||||||
1 |
ФЦсг |
0 |
/ (рцсг2 |
0р\ |
|
/ сррсг \ 2 0р |
||
г |
2к1 |
08 |
\ 2к* |
08) |
|
\ |
2к1 ) 03 |
|
После упрощения имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
03 у |
03 у |
08 |
|
||
шш |
|
± |
+ |
03 \ 03 / |
= _ , |
А . |
||
|
|
08 |
|
|
|
08 |
Это обычное дифференциальное уравнение, которое можно решить, приняв
|
ф |
р - |
|
|
а$ |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
Ф ’ |
|
|
+ 8 — = - «Р , |
|
||
|
а$ |
|
|
Р' |
|
« |
(7.4) |
|
|
||
Интегрирование выражения (7.4) дает |
|
|
|
1п р' = - 1п $ - $ + С1 |
|
||
или |
р' = С2 — . |
(7.5) |
|
|
|
8 |
|
где С1и С2 - постоянные интегрирования. Определить С2 можно, ис пользуя граничное условие для точечного стока
Нш |
Эр |
^|л |
Эр Э$ :2$Ф . |
|
г -> 0 |
Эг |
2тткЬ |
Э$ Эг |
Э$ |
Таким образом,
ЯИ |
С2е 5 |
|
4тгкЬ |
||
|
Когда г (и, следовательно, з) стремится к нулю,
С2 4тткЪ *
Теперь можно проинтегрировать выражение (7.5) в пределах от 1: = О (з -> ©о) до текущего значения I ($ = х) и от р. (начальное давление) до р (текущее давление)
Рх
Врезультате интегрирования получаем
оо
(7.6)
Выражение (7.6) является решением уравнения (5.20) для точечного стока, характеризующим зависимость рг{ от расстояния и времени. Выражение
оооо
(7.7)
X
где
представляет собой табулированную интегральную показательную функцию (интегральный экспоненциал), которая обозначается Е1
(х). Чтобы оценить этот интеграл на качественном уровне, обратим ся к рис. 7.2. Интегральная кривая, полученная при интегрирова нии функции, представленной на рис. 7.2 (с), на интервале от х до ©о имеет форму, показанную на рис. 7.2 (с1). Функция Е1 (х) выражается площадью под кривой на интервале от заданного значения х до бес конечности (заштрихованная область на рис. 7.2 (с)). Поэтому она имеет большие значения при малых х и, наоборот, малые значения при больших х. Обычно график функции Е1 (х) представляют в лога рифмическом масштабе, как на рис. 7.3. Из графика видно, что, если х < 0,01, Е! (х ) м о ж н о аппроксимировать следующим образом:
Е1 (х ) ~ - 1п х - 0,5772. |
(7.8) |
Здесь число 0,5772 - постоянная Эйлера, значение экспоненциальной функции для которой