книги / Математика без формул

Наводя свое орудие на вражеский самолет, зенитчики поворачивают его на определенный угол вокруг верти­ кальной оси и под определенным углом к ней устанав­

ливают ствол. Теперь для того, чтобы точно задать положение самолета в пространстве, нужно еще указать расстояние до него.

Эти величины, задающие положение точки в сфери­ ческой системе координат, отмечены на графике буква­ ми ф (долгота), 9 (полярное расстояние) и г (радиусвектор). Направление, от которого отсчитывается дол­ гота, отмечено буквой х, вертикальная ось — буквой z\ наконец, введя ось у, мы сделали наглядной связь между сферическими и декартовыми координатами.

•

На предыдущих страницах мы демонстрировали раз­ нообразные системы координат.

Человек рационального склада спросит: зачем все это разнообразие? Кому нужны все эти математические диковинки, кроме их создателей — жрецов чистой науки?

Что ж, пройдем из храма чистой науки b картинную галерею. И да простят нас искусствоведы — мы будем приглядываться не только к тому, что изображено на холсте, но и к его форме

351

Форма неплохо соответствует содержанию. Вот кар­ тина Георгия Нисского «Перед Москвой. Февраль». Вер­ тикальные края холста параллельны стволам елей и стенам домика, видного меж елями. Горизонтальные — нижним обводам облаков и полоске дальнего леса...

А вот потолок собора св. Иоанна (Парма, Италия), расписанный Антонио Корреджо. Округлая форма по­ толка определила композицию росписи: фигуры людей располагаются по кругу. Рассматриваемые снизу, их тела закономерно оказываются направленными к центру круга. Их радиальную ориентацию диктует и содержание картины: стоящие по кругу устремлены к центральному персонажу. Мысленно можно прослеживать радиусы и в противоположных направлениях, по которым свидетели чудес разойдутся во все концы земли с вестью о виден­ ном.

Форма и содержание должны соответствовать друг другу — творцам прекрасного это понятно давно.

Осмысленно и целенаправленно этот принцип прово­ дится и в точных науках. Форма (то есть способ описа­ ния изучаемого явления), выбор системы координат должна соответствовать характеру явления.

•

Пронести полные ведра воды, не облившись, — для этого нужна сноровка. Нужно так соразмерять свои шаги, чтобы от толчков вода не плескала через край.

Сценка у деревенского колодца, с точки зрения физи­ ка, повторяется при взлете ракеты. По существу, топ­ ливный бак ракеты, заполненный горючим, — это огром­ ное ведро. И если не соразмерять вибрации, возникаю­ щие при работе двигателя, с колебаниями жидкости в баке, может произойти несчастье, гораздо брлее серь­ езное по сравнению с мокрой одеждой.

Прежде чем запускать ракету, лужно рассчитать час­ тоты колебаний жидкости. А прежде чем их рассчиты­ вать, нужно выбраЧь удобную систему координат. Разум­ но прибегнуть к цилиндрической системе: ее структура соответствует и форме топливного бака, и характеру протекающих в нем процессов.

352

Астрофизики изучают процессы, происходящие на поверхности Солнца и в его глубине. Понимание этих процессов немаловажно: ведь с деятельностью нашего дневного светила связано многое из того, что происхо­ дит за Земле, — от магнитных бурь до инфарктов.

Но Солнце — это лишь одна из мириадов звезд, рас­ сеянных по просторам Вселенной. И характер его дея­ тельности яснее всего может быть понят как проявление глубоких законов, управляющих рождением, жизнью и гибелью звезд.

Ясное понимание требует точных расчетов. А точный расчет требует удобной системы координат. Какой же системой координат разумнее всего пользоваться при исследованиях звезд? Ответ подсказывает их сфери­ ческая поверхность: сферической.

•

«В год 6453. В этот год сказала дружина Игорю. «Отроки Свенельда изоделись оружием и одеждой, а мы наги. Пойдем, князь, с нами заданью, да и ты добудешь и мы". И послушал их Игорь — пошел к>древлянам за данью и прибавил к прежней дани новую..."

В приведенном отрывке повествуется о делах давно минувших дней, а дата события явно сдвинута в далекое будущее. Но это вряд ли выглядит загадочным: в ту пору, когда писалась «Повесть временных лет» (отрывок из нее мы и процитировали), годы отсчитывались «от со­ творения мира».

Петр Первый, великий реформатор России, сдвинул точку отсчета: на Руси, как и в Европе, годы стали отсчитываться «от рождества Христова», по церковной легенде произошедшего через 5508 лет после «сотво­ рения мира». Эту цифру и следует вычитать из дат древних летописей при переводе их в современное летосчисление.

Дата события, о котором нам рассказала «Повесть временных лет», — 945 год.

Две системы летосчисления с точки зрения матема­ тики — это две одномерные системы координат, позво­ ляющих ориентироваться во времени. Пересчет дат —

353

это переход из одной системы в другую. В вычитании числа 5508 заключается формула такого перехода.

Переходы из одной системы ко­ ординат в другую часто приходится совершать и физи­ ку, когда он ищет форму описания явлений, наиболее соответствующую с о д е р ж а н и ю . Иногда случается переходить из ци­ линдрической в

354

АФФИННЫЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Эти рисунки взяты из руко­ водства для начинающего фо­ тографа.

Как, право, не выразителен исходный снимок — и сколько экспрессии в окончательном варианте! Сдвинули да повер­ нули изображение в кадре — и снимок буквально преобра­ зился.

Слово «преобразился» здесь поставлено не случай­ но. Эти рисунки мы выбрали для того, чтобы начать с них обстоятельный разговор о геометрических преобразова­ ниях.

На взгляд непосвященного, не совсем правомерно назы­ вать преобразованием то, что мы сделали с рисунком. Все фигуры на нем сохранили свою форму.

Но все-таки они изменили свое расположение. И потому мы заносим в перечень гео­ метрических преобразований обе операции, которые мы со­ вершили над рисунком, и при­

сваиваем им строгие математические обозначения: першую операцию назовем параллельным переносом, вторую — поворотом.

356

•

Про ходжу Насреддина рас­ сказывают, как однажды он водил по Бухаре некоего лю­ бознательного чужестранца и как тот, остановясь перед зна­ менитым бухарским минаре­ том Каляном, изумленно вос­ кликнул:

—Как вы строите такие вы­ сокие минареты?

—Очень просто. — отвечал ходжа. — Сначала выкапываем глубокий колодец, а потом вы­ ворачиваем его наизнанку.

Преобразование колодца в минарет, показанное на этой странице, математик назвал бы зеркальным отражением или осевой симметрией. Суть тер­ мина хорошо поясняется кар­ тинкой: верх и низ на ней поме­ нялись местами, зеркально от­ разились относительно гори­ зонтальной прямой, отделяю­ щей небо от земли. Назовем своим именем и эту прямую: ось симметрии.

Рисунок убеждает нас в том, что зеркальная симмет­ рия полностью сохраняет формы фигур, подобно парал­ лельному переносу и повороту. Есть, однако, один нюанс, который отличает от них отражение.

Представьте себе, что минареты строятся именно так, как описал ходжа, — выворачиванием колодцев. Пред­ ставьте теперь, что строители хотят украсить стены сооружаемого минарета надписями. Как наносить их на стенки колодца? Конечно, вниз головой, — наверняка ответите вы. И только? А в остальном — как обычно? Тогда, вывернувшись наизнанку вместе с колодцем, надписи скажутся написанными наоборот.

357

Суть такого сюрприза легче всего понять, рассмотрев, что делает преобразование отражения с какой-нибудь простой геометрической фигурой, например, с тре­ угольником, которым на нашем рисунке очерчена вер­ хушка минарета.

Обратимся сначала к нижней половине рисунка й обойдем вершины треугольника, скажем, по часовой стрелке. В той же последовательности обойдем теперь соответствующие вершины отраженного треугольника на верхней половине рисунка. Мы обнаружим, что на сей раз идти приходится против часовой стрелки. Говорят, что зеркальное отражение меняет ориентацию фигур. В противоположность ему параллельный перенос и пово­ рот ориентацию' фигур не меняют.

Выигрыш приятен в любой игре, даже в самой неза­ тейливой. Секрет же победы может оказаться порой совсем простым.

- Играют двое. Каждый по очереди выкладывает на стол круглые фишки — один черные, другой белые. Фишки постепенно покрывают поверхность стола (для опреде­ ленности будем считать ее прямоугольной). Выигрывает тот, кто положит фишку последним — так что противнику не останется места, куда положить свою.

Ключом к победе в этой игре владеет тот, кто начина­ ет. И если ваш ход первый, не мешкая, ставьте свою фишку в центр стола. Теперь, куда бы ни поставил свою фишку противник, выставляйте свою симметрично ей относительно центра стола — на таком же расстоянии от центральной фишки, но в противоположном направ­ лении от нее.

Ход за ходом на столе возникает узор из черных и белых фишек. Причем скопление черных центрально­ симметрично скоплению белых. Центром симметрии для фишек служит центр стола.

Центр симметрии — ваш надежный союзник в этой игре. Если противник нашел место на столе для своей фишки, у вас всегда в распоряжении место центрально­

358

симметричное. Так что последний ход, а вместе с ним и победа, наверняка за вами.

•

Конечно, читатель, вы думаете, что игра в фищки, с которой мы вас познакомили, — это типичный завлека­ тельный приемчик, повод для того, чтобы поговорить о центральной симметрии.

И ошибаетесь. Ради одной лишь центральной симмет­ рии мЬ| не стали бы играть с вами в эти игры.

Наша цель — глубже. Мы хотим поговорить о некото­ рых фундаментальных представлениях, которые лежат в основе и центральной, и прочих видов симметрии, и вообще всех геометрических преобразований — уже представленных нами или составляющих тему нащего дальнейшего рассказа.

Приглядимся повни­ мательнее к процессу игры в фишки, как она только что была описана. Вот на поверхности стола появилась очеред­ ная черная фишка, и от­ ветным ходом по опре­ деленному закону ста­ вится белая. А теперь — чуточку математической абстракции. Заменим

слово «фишка» словом «точка». Каждой черной точке ставится в соответствие белая. Впрочем, какой цвет у точки? Она ведь не имеет размеров, ее не покрасишь. Просто есть закон, согласно которому одной точке плос­ кости ставится в соответствие другая точка той же плоскости. А поскольку правила игры позволяют ставить фишки куда угодно, закон такого соответствия должен охватывать все точки плоскости.

При этом точка, для которой подбирается соответст­ вующая, называется прообразом, а точка, которая ста­ вится в соответствие точке-прообразу, — ее образом.

359

(Может случиться, что образ какой-то точки совпадет со своим прообразом. Так при центральной симметрии центральной точке ставится в соответствие она же Именно на этом, кстати сказать, и основана беспроиг­ рышная стратегия описанной выше игры в фишки.)

Правило, по которому совершается всякое такое действие„будьто параллельный перенос или поворот, осе­ вая или центральная симметрия, называется геометри­ ческим преобразованием плоскости.

Представление о соответствии точек лежит в основе понятия геометрического преобразования. Иногда, слыша этот термин, думают о замысловатых деформа­ циях каких-нибудь фигур. Не спорим, эффектными де­ формациями хорошо иллюстрировать рассказ о геомет­ рических преобразованиях, когда он только начинается. Очень скоро выясняется, однако, что основные-черты того или иного преобразования не зависят оттого, какие фигуры ему подвергаются. Тогда становится естествен­ ным говорить о-«деформации», то бишь о преобразова­ нии всей плоскости в целом, и преобразуемые фигуры представлять как бы нанесенными на этот деформируе­ мый фон.

Чтобы уследить за изменениями любой мельчайшей детали преобразуемых фигур, нужно, очевидно, знать, как в ходе преобразования плоскости перемещается каждая ее точка. Процесс перемещения здесь, конечно, вряд ли представляет интерес — важно знать лишь на­ чальное и конечное положение каждой точки.

Так естественным и логичным путем мы приходим к представлению о геометрическом преобразовании плоскости как о законе соответствия ее точек. Дефор­ мации же и перемещения фигур — это нечто вторичное, это результаты преобразования. Ведь любая фигура состоит из точек, и каждой из них ставится в соответст­ вие новая точка. Из этих новых точек образуется какаято новая фигура. Говорят, что она получается из исход­ ной в результате проведенного преобразования.

(При этом исходную фигуру естественно назвать про­ образом, а полученную — образом.)

360