книги / Математика без формул

Метрическое пространство, где расстояние между точками определяется столь усложненной пифагоровой формулой — с произведениями смещений по коорди­ натным направлениям, с переменными весовыми коэф­ фициентами, — называется римановым пространством.

Желая подчеркнуть отличие применяемой в нем мет­ рики от простой и наиболее часто употребляемой Пи­ фагоровой формулы расстояния (корень квадратный из суммы квадратов смещений по координатным направ­ лениям), о таком пространстве говорят как о неэвкли­ довом. Изучением его метрических свойств занимается неэвклидова геометрия, для каждого неэвклидова про­ странства своя — судя по тому, какова у него метрика.

Желая отметить переменность весовых коэффициен­ тов, о пространстве говорят как о неоднородном. (Впро­ чем, весовые коэффициенты могут оказаться постоян­ ными — тогда пространство называется однородным.)

Желая обратить внимание на произведения смеще­ ний по координатным направлениям, входящие в фор­ мулу расстояния, о пространстве говорят как об искрив­ ленном.

Вспомним, в наших рассуждениях о разграфленной бумаге необходимость в таком произведении появилась именно тогда, когда мы перешли от прямолинейных сеток к искривленным.-Можно, конечно пользоваться и равномерными прямоугольными сетками и свыкнуться с некруглыми окружностями, с ьепрямыми кратчайшими путями и прочим. Но все-таки естественнее ценою ис­ кривления сетки изображать окружностью множество точек, равноудаленных от данной, и прямолинейным отрезком — кратчайший путь между двумя точками.

Именно по этой причине не очень популярны геогра­ фические карты с равномерной прямоугольной сеткой меридианов и параллелей: города, равноудаленные на сферической поверхности земли, на плоской карте с такой сеткой могут оказаться на различных расстояниях. Уменьшить степень такого несовершенства помогают различные картографические проекции с нарочито ис­ кривленными линиями меридианов и параллелей.

342

•

Здесь самое время вспомнить, как когда-то мы выби­ рали арбуз и обнаружили при этом, что углы треуголь­ ников на сферической поверхности арбуза в сумме не дают привычные 180 градусов. Вскоре после этого нас ждал еще один сюрприз: на сфере отказывает теорема Пифагора — испытанное средство для измерения рас­ стояний. Иными словами, здесь неприменима эвклидо­ ва метрика, выражаемая простой пифагоровой форму­ лой.

Но, быть может, положение удастся спасти, усложнив пифагорову формулу произведениями смещений по ко­ ординатным линиям и весовыми коэффициентами? Действительно, так оно и есть. Мы приходим к выводу: двумерное пространство, которое представляет собой поверхность арбуза, — это не эвклидово, а риманово пространство.

Как вспоминает читатель, арбуз послужил нам гарни­ ром к рассказу о геометриях Лобачевского и Римана и о том, в чем они расходятся с геометрией Эвклида. Мы понимаем теперь, что эти расхождения имеют метри­ ческую природу: на поверхности арбуза непригодна простая Пифагорова формула. Однако если усложнить ее на описанный выше манер, то мы придем как раз к тем положениям, которые составляют либо геометрию Лобачевского, либо геометрию Римана-- в зависимости от выбора весовых коэффициентов.

Попутно предостережем читателя от возможной пута­ ницы. Риманово пространство и неэвклидово простран­ ство Римана (то есть такое, которое описывается гео­ метрией Римана) — вещи разные, хотя и взаимосвязан­ ные. Первый термин употребляют, когда хотят сказать, что в пространстве принята описанная выше усложнен­ ная формула расстояния. Второй — когда хотят отме­ тить, что в пространстве нет паррапельных линий, сумма углов треугольника превышает 180 градусов, отношение длины окружности к ее радиусу меньше двух «пи» и т.д.

343

Римановы пространства, о которых мы говорили до сих пор — будь то сферическая поверхность арбуза или плоскость фазовой диаграммы, — были двумерными. Нетрудно сообразить, что такое риманово пространство трех измерений, по какой формуле определяются рас­ стояния в нем. Это все тот же корень квадратный, под ним — возведенные в квадрат смещения по координат­ ным осям и их попарные произведения, просуммирован­ ные с весовыми коэффициентами. Аналогично выглядят формулы расстояния для римановых пространств любо­ го числа измерений.

е

Слово «искривленное пространство» часто встречает­ ся в рассказах о теории тяготения, созданной Альбертом Эйнштейном, — так называемой общей теории относи­ тельности. Эти слова служат собирательным обозначе­ нием для тех парадоксальных геометрических Выводов, которые следуют из теории Эйнштейна.

Вот один из таких выводов: если измерить длину окружности, проведенной вблизи тела большой массы, то отношение ее длины к радиусу окажется заметно отличающимся от двух «пи». Как видно, эвклидова мет­ рика здесь не годится.

•

Обстоятельный рассказ о теории относительности не входит в наши планы. Ведь помимо математических аспектов, которые и составляют содержание нашего разговора, здесь потребовалось бы основательное зна­ комство с физическим существом дела, чего мы не в праве требовать от читателя.

Поэтому, если читателю хочется поговорить об ис­ кривленных пространствах и неэвкпидовой метрике, мы

344

обратимся за новым примером к абстрактному про­ странству цветов.

Проведем в цветовом фунтике плоскость, соответст­ вующую цветам одинаковой яркости. На этой плоскости проведем линию, соответствующую цветам какой-то оп­ ределенной насыщенности. Казалось бы, все ее точки должны одинаково отстоять от точки нулевой насыщен­ ности — точки белого цвета, а потому образовывать окружность с центром в точке белизны.

Так нет же! Проведенная нами линия вовсе не окруж­ ность, и чем больше ее размер, тем больше она похожа на криволинейный треугольник.

Возникает подозрение: привычные нормы эвкли­ дова пространства не со­ блюдаются в пространст­ ве цветов.

Но пойдем дальше. На нашей неудавшейся «ок­ ружности» выберем не­ сколько точек так, чтобы

зрительное ощущение сходства было одинаковым для каждой пары цветов, соответствующих соседним точ­ кам. Новая неожиданность: дужки, на которые делят нашу «окружность» намеченные точки, оказываются не­ равными по длине.

Подозрение переходит в уверенность: пространство цветов — неэвклидово.

.Это — урок для каждого, кто, построив абстрактное линейное пространство^ пытается ввести в нем метрику. Здесь может оказаться непригодным привычный и про­ стой эвклидов рецепт (расстояние есть корень квадрат­ ный из суммы квадратов смещений по координатным направлениям), и, возможно, потребуются те же услож­ нения, с которыми мы связываем понятие риманова пространства.

Впрочем, и риманов рецепт не исчерпывает все воз­ можные способы измерения расстояний. И если форму­ ла расстояния построена по какому-либо иному прави­ лу, пространство называют финслеровым.

345

Как называется эта фигура с центром в начале коор динат?

поставленное в соответствие двум точкам пространст­ ва. Закон соответствия может быть каким угодно, лишь бы выполнялись три метричедкие аксиомы (см с. 316).

Мы воспользуемся этой свободой, чтобы сконструи­ ровать такую формулу расстояния, которая позволит нам Выиграть пари.

Пусть расстояние от какой-либо точки на координат­ ной плоскости до начала координат будет равно наи­ большей из координат точки, взятых по абсолютной величине. Для любителей математической строгости отметим, что все метрические аксиомы удовлетворяют­ ся при таком способе измерения расстояний.

Посмотрите теперь на правую сторону нашего квад­ рата: абсцисса любой точки этого отрезка равна едини­ це, а абсолютная величина ординаты выражается чис­ лом, меньшим единицы. Согласно нашей формуле рас­ стояния все точки правой стороны квадрата удалены от начала координат на одинаковое расстояние, равное единице. Посмотрите теперь на верхнюю сторону квад­ рата; в сравнении по абсолютной величине здесь выиг­ рывает ордината, равная единице для всех точек этой стороны. Стало быть, согласно нашей формуле рассто­

346

яния и у этого отрезка все точки удалены от начала координат на одинаковое расстояние, равное опятьтаки единице. Левая и нижняя сторона квадрата подска­ зывают тот же вывод.

Получилось, что все точки сторон квадрата равноуда­ лены от начала координат. Ваш квадрат, читатель, понашему оказался окружностью.

Осознать этот факт помогутшахматы. Поставьте на шахмат­ ную доску короля и рассмотрите все поля, на которые он может переместиться за один ход. Эти’ поля, равноудаленные (с точки зрения шахматиста) от началь­ ного Положения короля, образу­ ют квадрат.

Вот ведь какие диковинки таят в себе формулы расстояния, по­ строенные не на риманов манер!

Как мы уже знаем, метрические пространства, где приняты такие формулы расстояния, называются финслеровыми. Их пример и представляет собой простран­ ство шахматного короля, где окружности имеют вид квадратов.•

•

Чрезмерная подозрительность не является достоин­ ством даже в такой предельно строгой науке, как мате­

матика.

Подметив кривизну у линий координатной сетки, вве­ денной в пространстве, не нужно поспешно навешивать на пространство ярлык «кривого»,

Кривизна пространства — это.свойство самого про­ странства. Она проявляется, например, в том, что в таком пространстве отношение длины окружности к ее радиусу Tie равно двум «пи», сумма углов треугольника отличается т>т 180 градусов. Все подобные отклонения можно обнаружить, не прибегая ни к какой координат­ ной системе. Они органически связаны с самим про­ странством и не зависят от того,.какую координатную

347

сетку мы на него набросили. Когда же мы строим такую сетку, она представляет собой продукт нашего творче­ ства и может быть какой угодно. Ее искривленность еще не позволяет утверждать, что пространство, в котором она введена, искривлено.

Даже в нашем реальном земном пространстве, где применимость эвклидовой метрики в свое время с вы­ сокой точностью гарантировал сам Лобачевский, часто оказывается удобным пользоваться криволинейными системами координат*.

С одной из двумерных систем такого рода мы уже знакомы: «исправляя» план Москвы, мы пришли к поня­ тию полярных координат.

Идею еще одной любопытной системы координат подсказывает план Парижа. Ни к прямоугольному, ни к полярному типу его не отнесешь. Здесь, похоже, не один полюс, как в Москве. Структура, близкая к радиальнокольцевой, складывается, например, вокруг площади Нации и вокруг площади Де Голля. Улицы, по которым лежит кратчайший путь от одной из названных площадей до другой, идут почти по прямой. Устраним это «почти» — протянем прямую между площадями. А все окольные улицы, идущие от одной площади к другой, заменим окружностями, проходящими через оба полю­ са. Кольцевые улицы, охватывающие ту и другую пло­ щадь, также заменим окружностями, причем такими, что пересекались бы с окружностями первого семейства под прямым углом.

Исправленная и дополненная сетка улиц Парижа при­ обретает математически завершенный вид. Такая сис­ тема координат называется биполярной, двухполюсной С точки зрения ориентировки на местности она ничем не хуже декартовой и полярной. Окружности обоих се­ мейств удается перенумеровать, и положение точки на плоскости, как и в упомянутых системах, определяется опять-таки числами — «номерами» улиц разных се­

мейств, пересекающихся в этой точке.

348

Чтобы познакомиться с каким-либо примером трех­ мерной системы криволинейных координат, нужно лишь немного внимания, когда случится заказывать лекарство в аптеке. Если лекарство готово, оно находится во вра­ щающейся стойке. Положение приготовленного снадо­ бья здесь задается тремя числами — номером полки, номером сектора и глубиной, на которую аптекарь дол­ жен засунуть руку внутрь, к оси стойки.

Вращающаяся стойка поможет нам представить ци­ линдрическую систему координат, строгое изображение

у

которой приведено рядом. Аппликата z, полярный угол- Ф и радиус-вектор р — вот три числа, определяющие положение точки в такой системе координат. Последние две величины — это полярные координаты проекции точки на горизонтальную плоскость. В ней проведены оси х и у, так что рисунок помогает понять связь цилинд­ рических координат с декартовыми.

Фотография военных лет дает повод поговорить еще об одной пространственной системе координат — сфе­ рической.

350