книги / Современные методы анализа электрических систем

Определение ц и к л и ч н о й

м а т р и ц ы

см. в § 7-1,Д.

„

вопросы, связанные с

п р и м и т и в н о й

ц и к л и ч н о й м

т р и ц е й, изложены в разд

8-2,6.

Q =

С (0,

1, 0 .........0) /2-го порядка;

(П2-1)

QO =

С (о,

. . . ,

О Ч ! О.........о);

(П2-2)

Qhn =

I =

С(1,

О, 0, . . . 0);

(П2_3)

k= ... — 2,

— 1,

О,

1,

2...

С о б с т в е н н ы хМи

з н а ч е н и я м и

п р и м и т и в н о й Ц и к"

л и ч н о й м а т р и ц ы

(см.

§

П-5)

являются корни

уравнения

%п—1=0:

2%k

Xh = e

п ,

k — 1, . . .

, п.

(П2-4)

Для k-то собственного

вектора

i-й

элемент равен:

и ’ м

=

у

^

е я / ■

( П 2 - 5 )

Представление

цикличной

матрицы

в виде линейной комбинации

примитивных цикличных матриц:

/1—1

С(й0,

«1...... Я« —i)—S

(П2-6)

1=О

Р а з н о с т н а я ма т р и ц а :

-

1

— 1

0

.

.

0

( Г

0

1

-- 1 .

.

0

0

п строк.

(П2-7)

0

0

0

.

.

1

—

1

_

0

0

0

.

.

0

1 _

п столбцов

Применяются также обозначения: Dn, Dnn.

Т р а н с п о н и р о в а н н а я р а з н о с т н а я ма т р и ц а :

1

0 . .

.

0

0 -

—

1

1 . .

.

0

0

0

0 . .

.

1

0

(П2-8)

0

0 . .

.

— 1

1

О с о б е н н а я

р а з н о с т н а я матр ица:

-1 — 1

0 . . .

0

O ' -

0

1 —

1 . . .

0

0

0

0

0 . . . —

п — 1 строк. (П2-9)

1

0

0

0

0 . . .

1

— 1

•

2 —

1

0 . . .

0

0 “

—

1

2

—

1 . . .

0

0

0

—

1

2 . . .

0

0

(П2-10)

0

0

0 . . .

2

— 1

0

0

0 .

. . —

1

2 __

п столбцов

Применяются

также

обозначения

К п, п,

Кп. Собственные

значе­

ния матрицы Кп:

К (Kn) =

4sin2

2 ( Д

- 1}

(*=■ 1.

2.........п).

(П2.11)

“•‘ - / i r r "

"

я т т -

(П2-|2)

Неразрывные матрицы, образуемые из разностной:

DiD*i = Dn. , X

- , , n = K»-i;

(П2-13)

D D * = D nD*n = K „ - f* „ f* „ ;

(П2-14)

D*D = D*nDn =

Kn — e„e*n;

(П2-15)

D*,D, = D*„_i,nD n- i ,n = - K

„ - e „ e \ - f„f V

(П2-16)

Собственные значения матрицы

равны:

f 2 k — 1

я

\

(П2-17)

^ = 4 s i n ^ s r p 1

T - J ( * = l , . . . , n ) .

, / Н Г

{2( — 1)(А — 1)я

ft

- 1

7

<72

. . .

qn- ’

qn~2

^«-2

я

1

<7

. . .

qn

qn~*

ф

Я

1

. . .

qn- 5

qn ~4

^ft-3

п строк;

qn~ 2

qn~i

?n -4

. . .

q

1

Я

qn~i

qn~ 2

qn->

. . .

q2

<7

1

/г столбцов

(П2-23)

№ * ,D ,+ (1 -<7)г1я +

(<7-<гг)(е„е* п+ «*»)]•

(П2-24)

Вычисление обратной матрицы см. в гл. 5.

(ПЗ-1)

Р а н г м а т р и ц ы А—р(А ):

мых для образования матрицы.

Д е ф е к т м а т р и ц ы А:

(ПЗ-2)

\к—и—р.

Однородная система линейных уравнений

Ах = 0 может быть за­

АрХр ■-{- АрХ^

0.

Тогда все решения однородного уравнения

определяются формулой

где х^ можно брать любым.

Решение неоднородной системы Ах =

у существует,

если

Р(А, у) = р (А).

(ПЗ-4)

Общее решение такого уравнения равно сумме

частного

решения неод­

нородного уравнения и общего решения

однородного.

П-4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Преобразуемая зависимость: у=А х;

преобразованная зависимость: у* = А*х*.

Для к о в а р и а н т н о г о п р е о б р а з о в а н и я

х , ==Тх; \

(П4-1)

yt = Ту, /

где Т — неособенная матрица.

Матрица преобразованной зависимости:

А ^ Т А Т 1.

(П4-2)

Собственные значения матриц А и А* одинаковы.

Для к о н т р в а р и а н т н о г о ,

к о н г р у э н т н о г о п р е о б-

р а з о в а к и я :

х =

Т *х(;

^

(П4-3)

У* =

Ту,

/

матрица преобразованной зависимости:

А* = ТАТ*,

(П4-4)

и

(П4-5)

у*Х = у *tx t.

У н и т а р н о е п р е о б р а з о в а н и е

обладает свойством

ТТ* = Т

(П4-6)

Au< =

Xtut;

1

(П5-1)

v%A =

XlV\ ,

/

где Ki — в общем случае комплексное

число,

называемое i-м

собст­

венным значением матрицы А.

и левый i-e

Векторы

lit и v*i — собственно правый

собственные

векторы.

Характеристический определитель матрицы А

|Х1—А |=£>(Х),

(П5-2)

ее характеристическое уравнение

D (X) = X* -

^ х * - 1 +

. . . + ( -

+

( - 1)п к

= 0.

(П5-3)

Сумма диагональных элементов матрицы:

2 alt = tr А

(П5-4)

/=1

называется

с л е д о м

м а т р и ц ы . Через эту

величину просто выра­

жаются коэффициенты многочлена Z)(X):

&i =

tr А;

k2=

1

tr А2);

(kxtr A +

kz =

1

kxtr A2 +

tr A3)

(П5-5)

(k2tr A +

и т. д. Свободный член D(k) :

kn= | A | .

Т е о р е м а

Г а м и л ь т о н а — К э л и :

каждая квадратная матрица

удовлетворяет своему

собственному характеристическому уравнению:

Если матрицы *

D(A) —0.

(П5-6)

ad] (XI— А), | (XI — А) 11

А (Х )=Я (Х )/0(Х ).

(П5-7)

А = $ ] M i V * * ,

( П 5 - 8 )

v**!!,- = 1, если

i = /;

)

' *

,

>

( П 5

- 9 )

v*tu3- = 0, если

i ф ;;

)

п — порядок матрицы.

м а т р и ц е й

называется

такая матрица

Р,

П р о е к ц и о н н о й

которая удовлетворяет

условию

Р2 = Р.

Проекционная матрица, которую можно образовать из собствен­

ных векторов в случае а-кратного корня:

а

P t = S u lhv V

(П5-10)

k=l

Pi

если

i = /;

PiPj

если

(П5-11)

О

i ф /;

£ р t = I.

/=;1

Спектральное разложение матрицы

т

A = Sx«P«.

(П5-12)

/=1

Р - Г

(А — Xtl ) ... (А — Х«-,1) (А — Xt4.,I ) ... (А — Х„1)

1 - 1

(At - X 1)...(X1- X 1_1) ( X , - X , +1)... (X* - К ) '

Если Xi есть

(П5-13)

а г-кратный

корень, то L<(А) можно

представить

также в следующей форме:

=

------ adj (XtI — А),

(П5-14)

D ‘ (Х«)

где z /* 1* (Лг)--ас4-я производная

характеристического

определителя.

Ф у н к ц и ю

от

м а т р и ц ы

А можно определить с помощью

собственных значений и собственных векторов

(или

проекционных

матриц) так:

т

т

{ (А) =

£

f (М

Р< =

Ц

f (Xi) utv*t.

(П5-15)

i =1

/=1

С п е к т р а л ь н ы е

р а з л о ж е н и я

квадратной

действительной

симметричной матрицы второго порядка:

а

b

| А — A-iPj -}- Х2Рг>

Ъ

с

(П5-16)

D (К) =

X2 — (а +

с) X +

ас — Ь2 =

0;

Xj, Л2 =

s +

y d

I

Р,=

1

- h

f

;

P 2 =

l

1 + h

-

f

(П5-17)

где

f

l + h

— f

1 — h

c — a .

____ 6__

2 / J *

'

Vd'

Однородная

система линейных

дифференциальных уравнений

с постоянными

коэффициентами в

матричном виде записывается

так:

- J x - - Ах =

*(*).

(П6-3)

Решение этого уравнения с начальным

условием х (0) в

матричной

форме имеет вид:

t

х = cxix (0) + j ек (<~ x)g (х) dz.

(П6-4)

т=0

порядка в матричном

виде:

d2

Вх -= 0.

(П6-5)

^ г х +

Решение этой системы с начальными условиями х (0),

-Jp- х (0)

имеет

вид*:

х = {cos

V в /} х (0) +

(^ В )->

{sin / В / }

х (0).

(П6-6)

Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений вто­

рого порядка в матричном виде

йг

dtг х +

Вх =

g (0

(П6-7)

с начальными условиями х (0),

х (О)

имеет

решение

х = {cos ( V В/)} х (0) +

(|/B ) -> { sin

У Щ -J j х (0) +

+

ft

( ^ B ) - '{ s in [ ^ B ( i- x ) ] } g ( x ) d x .

(П6-8)

т=0

Здесь

вЧ*

cos У ш = \

Вt2

ВНв

21

4!

6!

^

В

,

т 5

( | / ’B ) - I s i n / В * = н .

3!

51

П?ЛР°ЯД?е см*

Г а н т м а х е р . Теория

матриц,

изд-во „Наука*,

1967. (Прим. р?д.)

1. К г o n

G.,

Tensor

Analysis

of

Networks,

2.,

J.

Wiley and

Sons, New York, 1949.

of

Electrical Networks,

Cam­

2. С о r b e i 11 e r P., Matrix Analysis

bridge Mass. Harvard University Press, 1950.

Hatchinson’s

3. S t i g a n t

S. A.,

Modern Electrical

Engineering,

Scientific and Technical Publications, London, New York, Mellbourne,

Sidney, 1946.

V., Matrixszamitas,

Tankonyvkiado,

Buda­

4. L o v a s s - N a g y

pest, 1956.

5. F e n y o

I.,

F r e y

T., Matematika villamosmernokoknek, I. ko-

tet, Miiszaki Konyvkiado, Budapest, 1964.

6. R i i d e n b e r g

R.,

Elektrische

Schaltvorgange,

Verlag-Sprin-

ger, 1933.

7. B e w l e y

L.

V.,

Traveling

waves

on

transmission systems,

J. Wiley and Sons, New York, 1933.

М а к с и м о в и ч

H. Г.,

Линейные

8. ( M a k s z i m o v i c s

N. G.)

1961.

М а р к о в и ч

И. М.,

Режимы

энергети­

9. (М а г к о v i с s I. М.)

ческих систем, Госэнергоиздат, Москва, 1963.

Circuits,

J. Wiley

1 0 / C a s s e l ,

W a l l a c e

L.,

Linear

Electric

and Sons, New York, 1964.

11.

E d e 1 m a n n H.,

Berechnung elektrischer Verbundnetze, Sprin-

ger-Verlag, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1963.

12.

( D y e m i d o v i c s В. P.,

M a r o n

I. А.) Д е м и д о в и ч Б. П.,

М а р о н И. А., Основы

вычислительной математики, Госэнергоиздат,

Москва,

1963.

D., Theorie

der

endlichen

und unendlichen

Graphen,

13.

К б n i g

Chelsea Publ. Co., New York, 1950.

New Math. Library,

14.

Ore, О у s t e i n ,

Graphs

and their uses,

New York, 1963.

15.

Z a b o r s z k y J . ,

R i t t e n h o u s e J . W.,

Electric Power Trans­

New York, 1954.

P.

О.,

Ко v a c s

К. P-, V a j t a M.,

Szimmetrikus

16. G e s z t i

osszetevok, Akademiai Kiado, Budapest, 1957.

17. К о v a c s

К.

P-,

R a c z I.,

Transiente Vorgange

in Wechsel-

19. K i r c h m a y e r L. K-, Economic

Operation of Power

Systems,

J. Wiley and Sons, New York, 1958.

В. А., Переходные

электро

20. (V e n у i к о v V. А.) В е н и к о в

М., 1964.

С.

Е.,

E v a n s

R. D.,

Symmetrical Components,

21.

W a g n e r

McGraw-Hill, New York

1933 es ONTI, Moszkva, 1936.

22.

H o u s e h o l d e r

A. S., Principles of Numerical Analysis,

McGraw-Hill, New York, 1953.

23.

Z u r m i i h l

R.,

Praktische Mathematik, 4 Springer-Verlag,

Berlin/Gottingen/Heidelberg, 1963.

24.

Z u r m ii h 1

R., Matrizen und ihre

technischen

Anwendungen,

Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York, 1964.

25.

( G a n t m a h e r

F. R.)

Г а н т м а х е р

Ф. P.,

Теория матриц,

Гостехиздат, Москва,

1954.

G a n t m a c h e r

F.

R., Matrizenrechnung, Teil I und II, VEB

Verlag Deutscher Wissenschaften, Berlin, 1958/59.

26.

A i t k e n A. C.,

Determinants and Matrices, Interscience Pub­

lishers,

New York/London,

1954.

27.

В o d e w ig

E.,

Matrix

Calculus,

North

Holland

Publishing

Co., Amsterdam,

1956.

in die Matrizenrechnung zur Anwen-

28.

W e i s s

A.,

Einfiihrung

dung in der Elektrotechnik, R. Oldenbourg, Miinchen, 1961.

29.

S e s h u

S.,

R e e d

M. B.,

Linear

Graphs

and

Electrical

Net­

1961.

30.

F e 11 e r

W.,

An

Introduction to Probability Theory and its

Applications, J. Wiley and Sons, New York/Chapman and Hall, Lon­

don, 1950.

A.,

Valosziniisegszamitas,

Akademiai

Kiado,

Budapest,

31.

R e n y i

1954.

32.

S r e j g у e r

Ju.

A., Monte-Carlo-modszerek,

Miiszaki

Konyv-

kiado, Budapest,

1965.

33.

G e s z t i

P.

O.,

Villamosmuvek

I.

II,

Tankonyvkiado,

Buda­

pest, 1967.

Gy.,

Laplace Transforms

in Engineering,

Akademiai

34.

F o d o r

Kiado,

Budapest,

1965.

G.,

Ober

die Auflosung

der

Gleichungen,

auf

35.

K i r c h h o f f

39.

P e r c i v a 1 W. S., Improved

Matrix and

Determinant Methods

of Solving Networks, J. Inst. El. Eng. 101 (pt.

V), 1954, 258.

40.

S z e n d у

K-, Halozatszamitas matrixok

segitsegevel. Elektro-

technika, 1957, 8—9.

V.,

Bovezetes a

matrixszamitas elmelete

44.

L o v a s s - N a g y

es elektrotechnikai

alkalmazasa

(6 reszben), Elektrotechnika, 1962, 367,

407, 463, 509 es 552, 1963, 53.

for Indentifying the Trees of Graph

42.

H a l e

H. W., A Logic

Trans. AIEE, III, 1961, 195.