книги / Сборник задач по курсу математического анализа

§ 3. ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

141

2102. Г - & - .

2103.

f

X d x .

J sin3 x

c09l х+9,П2

J

cos*x—sin* x

Гиперболические

функции

В задачах 2132-2150 найти интегралы.

2132.

jch x d x .

2133. Jsh *d*.

2134.

2135.

J ch^ h l -

2136. j(o h 2 ax + sh2ax)dx.

142

ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2137.

J s h 2 * :d * .

2138.

J t h 2xdx.

2139.

J c t h z x d x .

2140.

J s h 3 * d * .

2141.

J c h 3 xdx.

2142.

J t h 4 * dx.

2143.

J s h 2 x c h 3 xdx.

2144. J c t h 5 xdx.

2151*.

f

, dx

2152.

f —T= ^ -------

J xvx2+x+1

J

X VX 2+4X - 4

2153.

f —jJ s -----

2154.

f

,

J

xVx2+2x-l

x V 2 + x -x 2

2155.

h x ±

91««

1 ,--- .

Г____ 4*

J x2“•

(x -l)V x 2+ x + l

2157.

J(2 x -3 )V 4 x -x 2

2158. JT/ж2- 2x- 1 dx.

Г

dx

2159. jV3*2-3*+ld*.

2160.

Ji j l - 4 x - x 2dx.

2161.

f

dx

216°

f

■'

x - J x 2 - x + l

■Jx2(x+^ )'

2163.

f — j-4x

2164

x 2dx

^ l+ V x z +2x+2

■ J ; V l - 2 x - x 2

2165.

(2x2-3 x )d x

2166.

fJ K

J

Vx:

2x+5

J V 3 - 2 x - x 2

2167.

J

3x*dx

2168.

Г -** -**1 rf*.

144

ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

146

ГЛ. VII. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1

я/2

2250.

f

-7

2251.

f ,

dx .

j

V8+2X-X2

J 1+COSX

-0,5

-я/2

я / 2

* /2 _____________

2252.

J

cos6x sin 2x dx.

2253.

J

Vcos х —cos3х dx.

0

- я / 2

l

я / 2

я / З

2259.

J

xe~zd x.

2260.

J x cos xdx.

2261.

J sin2 x*

0

0

2

я / 4

я

2262.

J x 3sin xdx.

2263. J x lo g 2xdx.

0

1

e -1

eV 7

2264.

Jin (ж + l)d*.

2265.

0

J $]a2+x2

0

я / 2

J In3x dx.

2266.

N a 2- x 2 dx.

2267. J e2x cos xdx.

2268.

0

0

1

2269.

Составить

рекуррентные

формулы

для

вычисления

я / 2

я / 2

интегралов

Jcosn xd x

и

Jsin” xd x

(п -

целое положительное

ч и с л о

о

и

о

и

в ы

ч и с л и т ь и н т е г р

и л

н у л ь )

я / 2

J

s

i n

я / 2

d x

;

я / 2

J

c o s 8 x d x ;

a )

6 x

б )

0

0

0

148

гл. УН. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

f. X*dx

v/3

------

2283.

2284.

f •Jl+X2 dx. 2285.

J ^ 2 d x .

! и

-

J

X 2

V2/2

1

2286.

1

2287.

}

- f c = . 2288. fJ ( l - x 2fdx.

л * 5'1'**-1

Jo

2289. J W l - x 2dx,. 2290.

-In2

j v n

0

0

2292.

8

dx

OOQQ

б / l-----5Л3

1/V3

dx

1

Г Г/25-х2) J_nnni

1

.

о (x2+a)i'

2,5

ax. 2294.

I

. r-r—

J \2x2+ljyjx2+l

2295.

2^2

-y fa ..

f

J/3

Разные

задачи

». Вычислить среднее значение функции

у = 4 х + - t -

на

отрезке [1, 4].

ых

2297. Вычислить среднее значение функции

f(x ) =

на

отрезке [1; 1,5].

2298. Вычислить среднее значение функций

/(x ) = s in x

и

/ (х) = sin2 х на отрезке [0, я].

2299.

Найти среднее

значение функции f (х) = —

на от-

ех+1

резке

[О, 2].

2300. При каком а среднее значение функции

у = In х

на

2

#2

1/2

2301. \ - ~ г .

2302.

Г/**?!,-.

2303. f f dx .

J х+х3

j

(1+ж6)

J x2-3x+2

1

о V

'

о

$2

2

а

2304. f

2305. f

-------- Ц--------

2306.

0 (l+x8)6

{

Л+1+^+l)

0,5

2323*. Показать, что

0,5 <

f , dx—

< £ * 0,523

(п > l).

J >/ь^Г

6

v

'

„э

справедливое

2324. Используя неравенство sin х > х - — ,

при х > 0 , и неравенство

Коши-Буняковского

(см.

задачу

п/2

1638), оценить интеграл

J <Jxsin л: dx.

о

1

2325*. Показать, что

0,78 < { - ^ =

< 0,93.

А * ) = J 122!2+;1- <*<

на отрезке [ - 1 ,1 ] .

о

2327. Найти точку экстремума и точки перегиба графика

функции

y = \ { t - l)(f - 2 )2dt.

о

В задачах 2328-2331, не вычисляя интегралов, доказать

справедливость равенств:

я/8

1

2328.

\х10sin9 х dx = 0.

2329.

f *7-Зх5+7*3-х dx _ 0.

J

J

cos'1X

- я / 8

-1

Jeaazdx = 2 JecoelAe.

1/2

2330.

2331.

jc o s x ln - l^ d *

= 0.

-1

0

- 1/2

2332*. а) Показать, что если

f(t) -

функция нечетная, то

J f (t)dt

—функция четная, т. е. что jf(t)d t

= jf(t)d t.

а

а

а

б)

Будет ли J

/ (t)dt функцией нечетной, если / (f)

- функ­