книги / Метод конечных элементов. Основы
.pdf[В]Матрица связи параметров предполагаемого поля
перемещений с узловыми перемещениями 1В] Статическая матрица. Коэффициенты связи между
узловыми силами в элементе и глобальными силами в узлах
Ьог bi., (i= l, 2, 3). Коэффициенты в уравнении для тре угольных координат
сКонстанта в уравнении Пуассона
[С]Матрица, связывающая параметры предполагаемого поля перемещений с полем деформаций (£=1, 2, 3, 4). Коэффициенты в уравнении для объем
D |
ных координат |
|
Изгибная |
жесткость пластины |
|
[D ] |
Матрица, связывающая узловые смещения с полем |
|
<di |
деформаций |
|
Собственный вектор |
||
Модуль упругости |
||
[Е] |
Матрица |
упругих констант |
еМножитель при варьировании Вектор узловых сил в элементе Глобальная матрица податливости
<*} Матрица податливости элемента
GМодуль сдвига
[G]Матрица ограничений I Момент инерции
[I]Единичная матрица
3 |
Значение |
интеграла |
|
|
|
|
i, /, k |
Немые нижние и верхние индексы |
|
||||
J |
Жесткость кручения по Сен-Венану |
|
||||
[J] |
Матрица |
Якоби |
|
жесткости |
|
|
[ K ] |
Глобальная матрица |
|
||||
[k] |
Матрица |
жесткости |
элемента |
|
|
|
L |
Длина |
|
|
|
|
|
Li |
Треугольная (£= 1, 2, |
3) или объемная |
(/= 1, 2, 3, 4) |
|||
/х, Iг |
координата |
|
|
|
|
|
Направляющие |
косинусы |
моментов |
||||
{М} |
Вектор узловых |
изгибающих |
||||
>Dt, Мх, |
Вектор обобщенных внутренних моментов при изгибе |
|||||
Af , Мху |
пластин |
(на единицу длины) |
и его |
компоненты |
тПорядок полиномиального разложения
[ш]Матрица массы элемента Число сторон многоугольника
[N] |
, L N J Матрица функций формы |
п |
Число степеней свободы |
[O], {0} |
Нулевая матрица и вектор |
{Р}
р
Lр J
Qx> Qy
я
R
[RI
1*1
5, 5Ц1 S0
Вектор глобальных узловых усилий Число элементов
Матрица коэффициентов полиномиального разложе ния Поперечные силы (на единицу длины) при изгибе пластин
Интенсивность поперечной нагрузки Остаток
Статическая матрица равновесия, связывающая силы в элементе друг с другом Основная матрица, используемая при обобщении
одномерной интерполяционной функции на двумер ный случай Радиальная координата; число уравнений-ограниче ний
Обобщенная поверхность и поверхности, где заданы соответственно перемещения и напряжения
[S]Матрица напряжений, связывающая узловые пере мещения с компонентами поля перемещений
[S]Матрица напряжений, связывающая в заданных уз
|
s |
лах узловые перемещения и напряжения |
|
Координата |
|
|
N |
Вектор констант в уравнениях, задающих ограниче |
Т, Тх, |
ния |
|
Вектор поверхностных (граничных) усилий и его |
||
т |
т |
компоненты |
|
t |
Толщина |
и , |
и * |
Энергия деформации и дополнительная работа |
|
и |
Вектор поверхностных (граничных) смещений |
и, |
V, W |
Компоненты перемещений (во внутренних и гранич |
|
|
ных точках) |
V, V* |
Потенциал и дополнительная работа приложенных |
|
|
|
нагрузок |
|
vol |
Объем |
|
W |
Работа |
|
to |
Обозначение для вариации поля перемещений |
X, X, Y, Z Вектор объемных сил и его компоненты |
||
x, |
у, г |
Декартовы координаты |
Греческие буквы
аКоэффициент температурного расширения
рБета-функция (п. 8.3.1)
{Р} Вектор параметров предполагаемого поля напряже ний
Г Гамма-функция (п. 8.3.1); константа депланации (п. 13.3.2)
Г/ Смешанные производные степеней свободы (соотноше ние (12.31))
[Г]Матрица преобразований Вектор узловых смещений
пОператор варьирования; бесконечно малое прира щение
6Вектор обобщенных деформаций (включает нормаль ные и сдвиговые деформации)
БХ> еу» |
Нормальные |
деформации |
г , \ л |
Безразмерные |
пространственные переменные |
е |
Угловое смещение (угол измерения в гл. 12) |
Вектор кривизн при изгибе пластин и его компо ненты
[X]Матрица Гессе
<4 |
Вектор множителей Лагранжа |
V- |
Коэффициент Пуассона |
LX,J |
Вектор функции формы поля напряжений |
пОбобщенный функционал
П П'п' п |
Функционал энергии (нижние и верхние индексы |
|
n |
обозначают специальный |
вид функционала) |
3.1416... |
|
|
[р] |
Матрица плотности масс |
материала |
аВектор обобщенного поля напряжений (включает
М
т лу» т у * ' т X Z
V
ф
{ф}
нормальные и касательные напряжения) Нормальные напряжения Вектор значений напряжений в узлах Касательные напряжения
Приращение температуры по сравнению с темпера турой для свободного от усилий тела Коэффициент теплопроводности Функция напряжений
Вектор значений функции напряжений в узлах
фУгол измерения круговых угловых координат; весо вой коэффициент для интеграла взвешенных невязок
QФункция нагружения для изгиба пластин
[0]Матрица смешанного типа для сил и перемещений {©} Вектор собственных значений
I
ВВЕДЕНИЕ
При проектировании конструкций перед инжене- ром-проектировщиком стоит задача нахождения распределения напряжений, или поля напряжений. Иногда, чтобы узнать, нару шаются ли заданные зазоры между деталями конструкции, инже неру требуется вычислить перемещение лишь в определенных точ ках системы. В отдельных же случаях, особенно если нагрузки и поведение конструкции зависят от времени, проектировщику необходимо подсчитать полное распределение перемещений, или ноле перемещений. Для рассчитанного поля напряжений должны выполняться в каждой точке условия равновесия, а перемещения при этом должны быть непрерывны (т. е. должны выполняться ус ловия совместности).
Приступая в некоторой задаче проектирования к отысканию напряжений и перемещений, проектировщик должен сначала задать определяющие уравнения, которые в той или иной форме обеспечи вают выполнение условий равновесия и совместности. Возникаю щая в связи с этим основная трудность, не говоря уже об аспектах разрешимости выбранных уравнений, состоит в решении вопроса: могут ли данные уравнения адекватно отражать выставляемые при проектировании требования к конструкции. Причем сложность геометрии конструкции, а также характера нагрузок и свойств материала должна быть учтена в этих рассмотрениях.
Принимая во внимание возникающие из-за описанных выше об стоятельств различия в поведении конструкции и ее модели, ин женер приступает далее к решению выбранных уравнений. Если изучаемый объект является двумерным или трехмерным, то его Поведение описывается уравнениями с частными производными. Весьма редко существуют точные решения подобных уравнений, и ненамного чаще оказывается возможным строить адекватные приближенные решения с небольшим количеством членов аппрок симации. Для получения достаточно точного решения требуется большое число этих членов.
Появление электронных вычислительных машин коренным об разом изменило ситуацию в области решения дифференциальных уравнений с частными производными. Большинству инженеровпрактиков в настоящее время стало доступным численно исследо вать поставленные перед ними задачи. При этом число учитываемых членов ряда, представляющего поле напряжений или перемещений, может быть велико. Используются также конечно-разностные ме тоды, в которых дифференциальные уравнения аппроксимируются с помощью дискретных значений величин, заданных в выбранных точках. Преимущество этих методов вытекает из длительной исто рии их развития, результатом которого стало появление теорем сходимости. Кроме того, возникающие в этих методах алгебраиче ские уравнения, которые необходимо численно решить, часто имеют особенно простой вид.
Метод конечных элементов является аналитической процедурой, интенсивная разработка которой велась в течение сравнительно короткого промежутка времени. Ключевая идея метода при анализе поведения конструкций заключается в следующем: сплошная среда (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на об ласти (конечные элементы), в каждой из которых поведение среды описывается с помощью отдельного набора выбранных функций, представляющих напряжения и перемещения в указанной области. Эти наборы функций часто задаются в такой форме, чтобы удовле творить условиям непрерывности описываемых ими характеристик во всей среде. В других случаях выбранные представления полей не обеспечивают непрерывности и, тем не менее, дают возможность получить удовлетворительное решение. При этом в отличие от полностью непрерывных моделей, нет полной уверенности в схо димости решения. Если поведение конструкции описывается един ственным дифференциальным уравнением, то получить приближен ное решение этого уравнения можно как методом конечных эле ментов, так и с помощью техники разложения в ряды или конечно разностных схем. Если же конструкция в целом неоднородна и со стоит из большого количества отдельных конструктивных элемен тов, поведение каждого из которых описывается своим дифферен циальным уравнением, то в этом случае, как правило, можно не посредственно применить лишь метод конечных элементов.
Наряду с указанными альтернативными методиками численного решения прикладных задач механики конструкций в методе конеч ных элементов требуется строить и решать систему алгебраических уравнений. Особые преимущества метода заключаются в удобстве формирования уравнений и возможности представления совершенно нерегулярных и сложных конструкций и условий нагружения.
Как отмечалось выше, метод конечных элементов стремительно развивается. Начиная с 1955 г. метод распространился с второсте пенных областей на наиболее перспективные направления числен
ного исследования задач математической физики. Термин «мате матическая физика» используется здесь для обозначения широкого круга аналитических задач — расчет конструкций, теплопередача, течение жидкости, распространение электромагнитных волн — и при этом не имеется в виду, что указанные задачи стоят далеко от проблем, возникающих на практике и при проектировании кон струкций. Популярность метода и интерес к нему как раз и объяс няются указанной выше возможностью отражать реальные аспекты, возникающие в прикладных задачах проектирования.
Распространение практических применений метода конечных элементов является следствием развития технологии в середине пятидесятых годов. Основной указанной выше предпосылкой раз вития метода является возможность автоматически эффективно построить и решить систему алгебраических уравнений высокого порядка. Распространение электронных вычислительных машин в середине пятидесятых годов позволило удовлетворить этим тре бованиям. В течение этого же периода выкристаллизовались тео ретические концепции метода конечных элементов. Представляется интересным проследить далее историю развития этих концепций.
1.1. Краткая история развития метода конечных элементов * ]
Несмотря на то что периоду с 1850 по 1875 г. непосредственно предшествовал период выдающихся достижений таких представи телей французской школы теории упругости, как Навье и Сен-Ве- нан, все же по логике вещей именно этот период можно считать отправной точкой нашего обзора. В это время благодаря усилиям Максвелла [1.1], Кастильяно [1.2] и Мора [1.3] были выработаны основные концепции теории анализа стержневых конструкций. Эти концепции являются краеугольным камнем матричных методов строительной механики, которые окончательно оформились лишь спустя 80 лет и в свою очередь явились основой метода конечных элементов.
Развитие теории и вспомогательных дисциплин, относящихся к методу конечных элементов, было особенно слабым в период с 1875 по 1920 г. Это происходило в основном из-за наличия реальных трудностей при решении алгебраических уравнений, как только число неизвестных становилось большим. Необходимо, кроме того, заметить, что для конструкций, представляющих наибольший интерес в то время,— рам и ферм — почти всегда применялся под-
*> В используемой нумерации разделов, ссылок, рисунков и перекрестных ссылок для уравнений первая цифра соответствует главе, а последующие цифры — очередности внутри главы.
ход, основанный на задании распределения напряжений с пара метрами нагрузки в качестве неизвестных.
Приблизительно к 1920 г. благодаря усилиям Мэйни [1.4] в США и Остенфельда [1.5] в Нидерландах были сформулированы основные идеи численного исследования рамных и фермовых конст рукций, основанного на задании перемещений в качестве неизвест ных параметров. Эти идеи предшествовали современным матричным методам исследования конструкций. До тех пор пока в 1932 г. Хар ди Кросс не предложил метод моментных распределений [1.6], важнейшим сдерживающим фактором при анализе являлась раз мерность задач, определяемая числом неизвестных параметров перемещений или нагрузок. Метод моментных распределений позво лил численно исследовать поведение конструкций в задачах, на по рядок более сложных, чем самые трудные из задач, которые реша лись с помощью ранее существовавших методов. Этот метод стал основой численного исследования поведения конструкций на сле дующие 25 лет.
Вычислительные машины появились в начале пятидесятых го дов, однако их действительная значимость как в теоретических, так и в прикладных аспектах не была столь очевидной в то время. Все же некоторые ученые, предвидевшие влияние, которое окажут вычислительные машины, предприняли попытки сформулировать в удобной для компьютеров матричной форме хорошо разработан ные к тому времени алгоритмы расчета фермовых конструкций.
Публикации, которые в виду их числа не могут быть подробно перечислены здесь, указаны в обзоре Аргириса и Пэттона [1.7]. Две заслуживающие упоминания работы выполнены Аргирисом и Кел си [1.8], а также Тернером и др. [1.91. В этих исследованиях были объединены подходы, используемые при расчете фермовых кон струкций, с подходами, применяемыми при расчете сплошных сред; при этом была использована матричная форма записи. Эти работы оказали решающее влияние на развитие метода конечных элементов в последующие годы. Было бы неточным приписывать появление всех основных аспектов метода конечных элементов именно этим работам, потому что ключевые моменты метода име лись даже раньше 1950 г. в работах Куранта [1.10], Мак-Генри [1.11] и Хреникоффа [1.12]. Особенно важна работа Куранта, так как в ней рассмотрены задачи, описываемые уравнениями, относя щимися не только к механике конструкций. Однако, отмечая ука занную особенность метода конечных элементов, останавливаться на ней подробно не будем, руководствуясь тем, что наше внимание в основном будет сосредоточено на численном расчете конструкций.
Начиная с середины пятидесятых годов метод конечных эле ментов в своем развитии прошел через ряд непрерывных модифика ций. Подробный обзор, касающийся истории развития метода, опубликован Зенкевичем [1.13]. Так же как и при формулировке
специальных элементов для плоского напряженного состояния, ис следователи выписали конечно-элементные соотношения для твер дого деформируемого тела, изгибаемых пластин, тонких оболочек и других конструктивных форм. Как только были получены соотно шения для исследования статического поведения линейно упру гого материала, внимание специалистов было переключено на такие аспекты, как динамическое поведение, выпучивание, а также гео метрическая и физическая нелинейности. Вслед за этими исследо ваниями наступил период довольно интенсивного развития вычис лительных программ «общего назначения», обусловленный желанием обеспечить практиков возможностью применять указанный метод.
В настоящее время программы общего назначения неплохо рас пространены в прикладных областях. Доступность таких программ при относительно средних затратах в процессе их использования объясняется широкими прикладными возможностями метода ко нечных элементов. Что касается развития метода, то многие ис следователи и в настоящее время заняты построением новых конеч но-элементных моделей и дальнейшим улучшением схем и алго ритмов для описания конкретных явлений, а также составлением новых программ. Наиболее интересными вопросами являются ко нечно-элементное представление и численный анализ физических процессов при взаимодействии конструкций с внешними полями. Известным примером последнего могут служить расчет термоупру гих конструкций, где вычисление температурных напряжений тесно
связано с |
определением меняющегося распределения |
температур, |
а также анализ взаимодействия жидкости и упругой |
конструкции |
|
в задачах |
гидроупругости. |
|
Несмотря на то что здесь подчеркивались определенные отли чительные особенности и характерные преимущества метода конеч ных элементов при численном анализе механических систем, этот метод вряд ли может быть последним словом в численном анализе в том виде, в котором он существует в настоящее время. Его следует рассматривать как одну из многочисленных ступеней развития средств численного исследования при проектировании. Такие кни ги, как «История сопротивления материалов» [1.14], интересно
написанная |
Тимошенко, могут служить неоценимым подспорьем |
в процессе |
обучения инженера-проектировщика, а новые книги |
в этом духе либо книги по технике, подробно освещающие историю вопроса (см., например, [1.15]), снабдят информацией о публикациях
ипоэтому заслуживают внимания.
1.2.Типы элементов
Элементы, которые обычно используются на практике и о которых пойдет речь ниже, изображены на рис. 1.1.
Простой фермовый элемент, изображенный на рис. 1.1(a).
(«О
Рис. 1.1. Типы конечных элементов: (а) стержневой (простой фермовый); (Ь) плоско-напряженный; (с) сплошные (трехмерные); (d) осесимметричный сплошной; (е) изгибаемый пластинчатый; (f) осесимметричный тонкостен ный оболочечный; (g) искривленный тонкостенный оболочечный.
Введение .
является представителем целого семейства конечных элементов. Используемый в совокупности с элементами того же типа, он опи сывает фермовые и пространственные рамные конструкции. В сово купности с элементами других типов, и особенно с пластинчатыми элементами, с его помощью обычно описывают подкрепленные элементы конструкции. Так как теоретические соотношения, свя занные с указанным элементом, хорошо известны, в книге не отво дится места для описания характеристик этого элемента. Более того, мы используем его в начальных главах книги для иллюстра ции многих ключевых положений конечно-элементного анализа.
Основным элементом при конечно-элементном анализе является пластина, нагруженная в своей плоскости (условие плоского напря женного состояния). На рис. 1.1(b) изображены треугольный и че тырехсторонний плоско-напряженные элементы. К этому классу элементов можно отнести еще много элементов, имеющих различ ную форму в плане, однако они используются в весьма специаль ных случаях. Эти элементы называются основными не только бла годаря их полезности при численном исследовании целого ряда прикладных задач проектирования, но также ввиду их приоритет ной роли в истории развития метода конечных элементов. Теоре тические работы на протяжении первых лет развития метода ко нечных элементов были целиком посвящены этому типу элементов.
Изображенный на рис. 1.1(c) сплошной (трехмерный) элемент
представляет обобщение на трехмерный случай плоско-напряжен ного элемента. Тетраэдр и параллелепипед являются наиболее рас пространенными формами трехмерных элементов и играют важную роль при моделировании задач механики грунтов и скальных пород, а также конструкций, используемых в ядерной физике. Уместно напомнить, что фактически не существует других подходов при численном анализе поведения конструкции, с помощью которых решались бы реальные прикладные трехмерные задачи.
Одной из самых важных областей применения метода конечных элементов является расчет осесимметричных тел, изображенных на рис. 1.1(d). К этой области относится большое количество при кладных задач, включая расчет бетонных и стальных резервуаров, сосудов, содержащих ядерное горючее, роторов, поршней валов и двигателей ракет. Нагрузки, так же как и геометрические очер тания, бывают обычно осесимметричными. Здесь изображен только треугольный элемент, хотя полезен также и четырехсторонний элемент, аналогичный изображенному на рис. 1.1(b).
Элементы типа изгибаемых тонких пластин используются не только для описания поведения плоских пластин, но также для представления оболочек и тонкостенных элементов. Конфигурация элементов схожа с геометрией плоско-напряженных элементов, причем наибольшее распространение имеют треугольные и четырех сторонние элементы рис. 1.1(e).