книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

Если изменения (во времени) упругих слагаемых деформации малы по сравнению с соответствующими изменениями пласти­ ческих слагаемых, то относительное изменение объема пласти­ чески деформируемой частицы металлического тела также пре­ небрежимо мало по сравнению с относительными изменениями ее линейных размеров, и сумму главных компонентов скорости деформации можно в пределах практической точности полагать равной нулю. При этом можно принять

Приемы вычисления главных компонентов скорости деформа­ ции по известным значениям (1.36) шести компонентов скорости деформации относительно принятой системы координат совершенно аналогичны приемам, применяемым при вычислении главных ком­ понентов малой деформации. Эти приемы заключаются в предва­ рительном вычислении величин, которые зависят только от ско­ рости изменения формы данной материальной частицы и не за­ висят от ее ориентации относительно принятой системы коорди­ нат. Эти величины совершенно аналогичны инвариантам малой деформации и называются инвариантами скорости деформации. Разница состоит только в том, что первый инвариант скорости деформации в силу условия несжимаемости (1.37) можно при­

определяющее количественно скорость изменения формы рассма­ триваемой частицы, совершенно аналогично выражению (1.19) интенсивности малой деформации и называется интенсивностью скорости деформации.

Выражение

8!

аналогично выражению (1.21) и определяет вид (растяжение, сжатие, сдвиг) малой деформации, претерпеваемой данной мате­ риальной частицей при переходе процесса ее формоизменения в текущую его стадию из предшествующей бесконечно близкой.

Выражения главных компонентов скорости деформации

ËJ = е( cos Р; е2 = е,- sin (fi — 30°); е3 = — к(cos (60° — P) (1.40)

благодаря условию несжимаемости (1.37) несколько проще по написанию, чем аналогичные им выражения (1.23) главных ком­ понентов малой деформации.

Если бы направления координатных осей оказались совмещен­ ными с направлениями главных осей скорости деформации рас­ сматриваемой частицы, то скорости сдвига были бы равны нулю

Ьху — Ууг = Угх = 0). Поэтому выражение интенсивности ско­ рости деформации через ее главные компоненты имеет более про­ стой вид, чем выражение (1.38)

8г = -§ ] / ÿ & ~ 6г)2 + Т (®* ~ е'з)2 + ÿ («» — ’8з)2. (1-41)

где бг и е3 — главные компоненты скорости деформации в напра­ влениях наиболее быстрого удлинения и наиболее быстрого уко­

рочения материальных волокон; е2 — главный компонент ско­ рости деформации в направлении, перпендикулярном направле­ ниям наиболее быстрых удлинений и укорочений.

Принимая во внимание условие несжимаемости (1.37), можно преобразовать алгебраически выражение (1.41) к любому из сле­ дующих трех:

Вид малой деформации, происходящей при переходе процесса конечной деформации в данную стадию из предшествующей весьма близкой, который для краткости можно назвать «видом скорости деформации» данной материальной частицы, определяется зна­

Очевидна полная аналогия этого равенства равенству (1.24). Необходимо отметить, что р8 и ve, характеризующие вид де­

формации, могут и не быть точно равны соответствующим (J и v, характеризующим вид скорости деформации.

Тем не менее во многих конкретных случаях практики, в ча­ стности при малых деформациях и простом нагружении, можно принять р е = р и v 8 = V. При решении ряда практических задач, связанных с определением внешних сил, формоизменяющих тело, определение значений главных компонентов скорости деформа­ ции, равно как и определение направления главных осей скорости деформации, играет исключительно важную роль.

7.Монотонность деформации

ианализ условий ее протекания

Для того чтобы обоснованно обобщить для случая конечной (значительной) деформации известные в теории малых деформаций понятия о главных ее компонентах, о виде деформации и ее ин­ тенсивности, рационально рассматривать процессы конечной де­ формации как совокупности последовательных малых деформаций. При этом необходимо начать с рассмотрения таких условий про­ текания процессов формоизменения материальной частицы, кото­ рые в полной мере можно было бы считать однозначными. Эти условия будем называть условиями монотонности деформации материальной частицы физического вещества.

В чем состоят характерные особенности монотонного проте­ кания процесса пластической деформации части или частицы тела: 1) условие, что материальное волокно рассматриваемой частицы, претерпевающее в данной стадии процесса наиболее быстрое удли­ нение (или укорочение), и во всех предшествующих стадиях также являлось наиболее быстро удлиняющимся (или укорачиваю­ щимся); другими словами — условие совпадения главных осей скорости деформации с одними и теми же материальными волок­ нами частицы; 2) условие неизменности за весь процесс деформации величины V, характеризующей вид малой деформации, происходя­ щей при переходе в данную стадию из предшествующей весьма близкой стадии. Разберем эти условия.

Согласно первому условию монотонности процесса, материаль­ ное волокно, претерпевающее в любой данной стадии пластической деформации частицы наиболее быстрое удлинение, должно было наиболее удлиниться за весь предшествующий процесс дефор­ мации.

Итак, при монотонном процессе направление наиболее быстрого удлинения материального волокна (первая главная ось скорости деформации) всегда совпадает с направлением его наибольшего результативного (суммарного за весь предшествующий процесс) удлинения (с первой главной осью результативной деформации). Аналогично, третья главная ось скорости деформации должна совпадать с третьей главной осью результативной деформации и т. д.

Первое условие монотонности, при котором конкретизируется понятие о главных осях результативной деформации, не является

Отвлеченным, свойственным каким-либо воображаемым случаям пластического формоизменения. Оно оказывается удовлетворен­ ным в ряде реальных процессов. Так, при деформации любой относительно малой материальной частицы осесимметричного и осесимметрично формоизменяемого тела, расположенной вблизи его свободной поверхности, существуют три направления, которые, оставаясь неизменно взаимно перпендикулярными, совпадают за весь процесс как с главными осями скорости деформации, так и

жит круглой листовой заготовке, формоизменяемой в холодном состоянии в колпачок, и расположена на достаточном расстоянии от центра заготовки в непосредственной близости от ее свободной поверхности (рис. 6). Тогда в процессе операции вытяжки, отре­ зок МТ непрерывно укорачивается, а отрезки МР и MN удли­ няются, но в меньшей степени. Вместе с тем, оставаясь взаимно перпендикулярными, эти отрезки — главные оси скорости дефор­ мации и одновременно главные оси результативной деформации материальной частицы, в районе которой расположена точка М, поворачиваются в пространстве. Значительный поворот данной системы главных осей не связан, однако, с деформацией рассма­ триваемой частицы, а вызван формоизменением относительно удаленных частей вытягиваемой заготовки.

Первое условие монотонности протекания процесса пластиче­ ской деформации не исключает возможности значительных пово­ ротов главных осей относительно любой данной условно-непо­ движной системы координат, но это же условие предполагает

возможность выбора для данной частицы такой переносной системы координат, при которой повороты главных осей относительно этой переносной системы были бы равны нулю или же весьма малы (см. рис. 2).

Второе условие монотонности — неизменность за весь процесс деформации величины v — равносильно условию неизменности отношений главных компонентов скорости деформации. Действи­

ними и теми же материальными волокнами. Если частица располо­ жена вблизи свободной вогнутой поверхности изгибаемого листа, то направление наиболее быстрого удлинения совпадает с нормалью к поверхности, если же частица расположена вблизи свободной вы­ пуклой поверхности, то волокно, неизменно совпадающее с нор­ малью к ней, будет претерпевать наиболее быстрое укорочение. Длина материального волокна, направленного параллельно ребру гиба, будет оставаться в процессе деформации неизменной.

Таким образом, три направления: нормаль к свободной поверх­ ности, направление, параллельное ребру гиба, и перпендикуляр­ ное этим обоим — направления главных осей скорости деформации будут неизменно совпадать с одними и теми же материальными волокнами, претерпевающими за весь процесс наибольшее удли­ нение и укорочение. Следовательно, первое условие монотонности удовлетворено, и главные оси итоговой деформации совпадают с главными осями скорости деформации.

В данном примере, как и в приведенном выше (вытяжка кол­ пачка), главные оси скорости деформации не сохраняют постоян­ ного направления относительно любой данной условно-неподвиж­ ной системы координат, единой для всего деформируемого тела. Действительно, по мере увеличения кривизны листа, нормаль к эле­ менту свободной поверхности может поворачиваться, некоторый отрезок этой нормали будет неизменно совмещен с одной и той же совокупностью материальных точек, а сама она — неизменно совпа­ дать с одной из главных осей скорости деформации. Следовательно, и в данном случае главные оси скорости деформации рассматри­ ваемой частицы будут поворачиваться за счет деформации отно­ сительно удаленных частей изгибаемого листа.

Поскольку направление, параллельное ребру гиба, должно совпадать с одной из главных осей скорости деформации и по­ скольку компонент скорости деформации в этом направлении

неизменно равен нулю (ег = 0) и, следовательно, + е3 = О, то значение v, определяемое равенством (1.42), должно быть равно нулю в течение всего процесса деформации. Итак, в этом случае заведомо удовлетворено и второе условие монотонности протека­ ния процесса.

Таким образом, значительная по объему и притом наиболее напряженная часть изгибаемого листа (исключение составляют средние по толщине листа слои и части поверхности листа, контактирующиеся с гибочным инструментом) претерпевает монотонно протекающую пластическую деформацию.

Если бы мы вычислили значение механической работы, кото­ рую необходимо затратить для того, чтобы произвести данное формоизменение листа изгибом, предположив монотонное проте­ кание деформации во всем его объеме, и сопоставили значение вы­ численной работы с фактически затраченной, то оказалось бы, что эти значения расходятся незначительно.

Можно выделить большую группу технологических операций холодной штамповки (объемная «чистовая штамповка, разбор­ товка, гибка и др.), при расчете которых рационально принять до­ пущение о монотонности протекания пластической деформации каждой отдельно взятой частицы заготовки.

Заметим, что если некоторая часть тела в окрестности мате­ риальной точки М претерпевает однородную монотонную дефор­ мацию, то существуют в этой части тела три совокупности мате­ риальных точек, неизменно располагающихся на трех взаимно перпендикулярных прямых, пересекающихся в точке М, т. е. на главных осях скорости деформации этой части тела. Эти три прямые можно было бы принять за оси некоторой переносной системы координат, а начало координат совместить с точкой М.

Предположим, например, что ось MX совмещается с первой главной осью скорости деформации, ось M Y — со второй и ось MZ — с третьей главной осью скорости деформации. Поскольку

Поскольку мы совместили направление оси X с направлением первой главной оси скорости деформации, ось У с направлением второй главной оси и ось Z с направлением третьей главной оси

скорости деформации, то кх — ех; гу = е2; е2 = е3. Следовательно, подставляя выражения (1.45) главных компо­

нентов скорости деформации в равенства (1.43), получим

Если удовлетворено не только первое, но и второе условие монотонности протекания деформации тела, то v не зависит от t, и равенства (1.46) можно проинтегрировать. В результате интегри­

или, поскольку в начальный момент деформации текущие коорди­ наты любой материальной точки равны ее начальным координатам, и следовательно, в силу равенств (1.44):

При принятых нами направлениях координатных осей функ­ циональная связь текущих координат с начальными в окрестно­ сти материальной точки М определяется равенствами (1.44), в силу которых уравнение эллипсоида, преобразованного дефор­ мацией из начальной элементарной сферы с центром в точке М, принимает вид

Полуоси этого эллипсоида определятся равенствами: р х =

= Pofi (t); р2 = р</2 (0; Рз = Р«/з (0-

Таким образом, равенства (1.47) можно привести к следую­

части тела логарифмы отношений полуосей эллипсоида (преобра­ зованного из начальной элементарной сферы) к радиусу этой сферы пропорциональны главным компонентам скорости дефор­ мации.

8.Степень конечной деформации

иее главные компоненты

Впрактике расч< та процессов холодной обработки давлением термины «степень деформации» и «степень наклепа» до самого последнего времени не имели научно обоснованного определения. Поэтому разные авторы зачастую вычисляли значения этих вели­ чин, пользуясь разными формулами.

Вработе [31 ] А. А. Ильюшин предложил приписывать поня­ тию степень деформации et конкретный смысл определенной ска­ лярной характеристики деформации, чем и заполнил указанный пробел в современной теории конечной (значительной) деформа­ ции физических тел. Он рекомендовал называть степенью дефор­ мации такую переменную величину, полная производная которой по времени равна интенсивности скорости деформации.

Здесь применено выражение «полная», а не «частная» производ­ ная по времени, поскольку речь идет об отношении приращения интенсивности результативной деформации к соответствующему приращению времени в данной материальной, а не в данной гео­

мации в данной материальной точке и -^f- dt — в данной геоме­ трической точке.

В чем же состоит различие этих двух обозначений? Допустим, что переменная по объему деформируемого тела и времени степень деформации задана в виде функции текущих координат и времени

Тогда приращение степени деформации в геометрической точке (х, у, z) за короткий промежуток времени dt определилось бы равенством

^ d t = F{x,y,z, t + d t)- F (x , у, г, t) = -^-dt.

Однако совпадающая в данный момент t с геометрической точ­ кой (х, у, г) материальная точка успеет по прошествии малого промежутка времени dt несколько переместиться и будет совпадать уже с некоторой другой, хотя и близкой, геометрической точкой,

в материальной точке, заданной для данного момента ее текущими координатами (х, у, z), определилось бы равенством