книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

42 Гл. 2. Уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения

Систему уравнений (1.1), (2.18) — (2.30) необходимо дополнить кра­ евыми условиями, которые требуют задания на краях либо значений обобщенных краевых перемещений, либо значений соответствующих им обобщенных контурных нагрузок. Объединив эти величины в пары [9, 129]:

(Ти, Ml), [Т\2 + (1 —6 4 ) M 1 2 / R 2 , М2],

Ф ^ , № + ^ M fc) + № + *)<>i].

[Q i - 50 A I A 2 { H u # i + Я 121?2), w l - f o i S u , K i) , 5 s (S y2, K 2)

(2.31) приходим к следующей формулировке краевых условий для системы дифференциальных уравнений неосесимметричной задачи: на краях задаются величины, альтернативно выбираемых из пар (2.31).

Соотношения (1.1), (2.18) — (2.30), (2.31) составляют полную систе­ му уравнений и краевых условий, описывающих процесс неосесиммет­ ричного нелинейного деформирования тонкостенной упругой слоистой оболочки вращения. Значения коэффициентов Si, определяющих соот­ ветствие членов системы (1.1), (2.18) — (2.30), (2.31) рассматриваемым теориям, приведены в табл. 2.1.

Для теорий Кирхгофа-Лява, Тимошенко и Андреева-Немировского справедливо равенство М ар = Фар- В этом случае для них требуется выполнение уравнения (2.19) для интегральных моментов М ар. Таким образом, порядок системы в случае теории Кирхгофа-Лява равен 8, Ти-

мошенко — 10, Андреева-Немировского — 12, Григолюка-Куликова — АК + 6.

2.2. Неосесимметричные задачи упругих композитных оболочек

2.2.1. Исходные уравнения и соотношения. Выпишем исход ные уравнения и соотношения равновесия слоистой полиармированной оболочки вращения, основанные на гипотезах Тимошенко и гипотезах Кирхгофа-Лява.

Рассмотрим вариант теории оболочек типа Тимошенко, учитываю­ щей поперечные сдвиги на основе допущений гипотезы прямой линии для всего пакета оболочки в целом. Обжатие в данном варианте не учитывается — езз = 0, а деформации поперечного сдвига задаются

где фа (а = 1, 2) — полные углы поворота прямолинейного элемента, а i9a — углы поворота нормали, которые выражаются через перемещения отсчетной поверхности иа, w и их производные по формулам

Перемещения произвольной точки оболочки связаны с перемещениями отсчетной поверхности и углами поворота прямолинейного элемента соотношениями

Выражения для остальных компонент тензора деформаций можно за­ писать в виде

46 Гл. 2. Уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения

Выбирая в качестве разрешающего вектор у, состоящий из разрешен­ ных относительно производной по меридиональной координате функ­

где в общем случае А = A(s, <£>), В = B(s,y>) — матричные функции размерности 10 х 10, f = f(s,ip, у) — вектор-функция размерности 10, содержащая свободные и квадратичные члены. Для этого определим функции из правых частей уравнений (14.7)—(14.15), не входящие в разрешающий вектор у.

Выражение для $2 в явном виде выписано в (2.33). В (2.36), (2.37) выписаны представления для е22 через функции из у и $ 2 и для х 22

Таким образом, имеем выражения для 1?! — (2.63), для Qi и Q2 — (14.17).

Соотношения (14.16) для Тц, М ц, Т12, М 12 составляют полную систему линейных алгебраических уравнений для £ц, я\\, £\2, 2 х \ 2 , разрешив которые определяем все функции в правых частях соотноше­ ний (14.16), получая тем самым представления для Т22, М22, Т2Ь М21.

Таким образом, получены выражения для всех функций из правых частей системы (14.7)—(14.15) через функции, входящие в разрешаю­ щий вектор (2.61). Дополняя полученную систему условиями склейки по окружной координате и граничными условиями вида

ленной из них матрицы равен 10, a gj, gr — векторы размерности 5, получаем замкнутую краевую задачу для системы 10 дифференциаль­

ных уравнений в частных производных относительно 10 неизвестных функций.

В ряде случаев деформациями поперечного сдвига можно прене­ бречь, полагая еаз = 0, что соответствует принятию кинематических гипотез Кирхгофа-Лява о недеформируемости нормальных элементов. Распределение вектора перемещений по толщине в таком случае имеет вид

где х = —($i + $ 2)/2. Выражения для ненулевых компонент тензора деформаций можно записать в виде (2.35), а кинематические соотно­ шения в виде (2.36), (2.38) и

Усилия и моменты (2.46) удовлетворяют уравнениям равновесия (2.40)-(2.44). Система замыкается физическими соотношениями (1.1).

Для того, чтобы привести полученную систему к разрешающему виду, введем обозначения

+ 5$к2 S 22TD2 + Saitfi - 9 2 , (2.71)

48 Гл. 2. Уравнения упругих композитных пластин и оболочек вращения

Из кинематических соотношений получаем

Выразим функции из правых частей полученных уравнений через функции из их левых частей, которые выберем в качестве разрешаю­ щих. Выражение для 02 в явном виде приведено в (2.33). В соотно­ шениях (2.36), (2.67) приведены явные выражения для £22 и ><22 через выбранные функции и 02. Из (2.68) с учетом (2.38) получаем

ляют систему линейных алгебраических уравнений, разрешая которую относительно переменных £ц, хуу, £I2, x i2, получаем их выражения через разрешающие и уже выраженные через них функции. Таким образом, все присутствующие в правых частях (14.16) функции опре­ делены и, как следствие, все Т а р , М а р выражены через разрешающие функции. Остается получить Q у и Q \ из (2.45) и (2.69), чтобы иметь представления для всех неизвестных функция в правых частях системы уравнений через разрешающие.

Таким образом, система уравнений (2.70)-(2.76) может быть запи­

А = A (s,ip), В = B(s,<p), С = С (s,ip) — матричные функции размер­ ности 8 х 8, f = f(s, ip, у) — вектор-функция размерности 8, содержа­ щая свободные и квадратичные члены.

Дополняя полученную систему условиями склейки по окружной координате и граничными условиями

где G i, G r — матрицы размерности 8 x 4 такие, что ранг составленной из них матрицы равен 8, a gi, gr — векторы размерности 4, получаем замкнутую краевую задачу для системы восьми дифференциальных

уравнений в частных производных относительно восьми неизвестных функций.

2.2.2. Разрешающие системы уравнений. В ряде случаев для сведения двумерных краевых задач вида (2.62), (2.65) и (2.79), (2.81) к одномерным удобно воспользоваться методом разделения перемен­ ных с применением тригонометрического базиса, что автоматически обеспечивает выполнение краевых условий по окружной координате. Для этого коэффициенты систем, в нашем случае матрицы А, В, С, не должны зависеть от окружной координаты, что выполняется когда от нее не зависит структура материала. В векторе f необходимо избавиться от зависимости от разрешающего вектора, для чего зада­ чу можно предварительно линеаризовать методом простой итерации. Тогда исходные краевые задачи сводятся к ряду одномерных краевых задач для систем ОДУ 20 и 16 порядка соответственно. В случае, когда кроме перечисленного материал оболочки имеет дополнительную плоскость симметрии — вдоль меридиональной координаты, получае­ мые одномерные задачи распадаются на подзадачи 10 и 8 порядков.

Приведем пример использования метода разделения переменных для сведения к ряду одномерных задач двумерной краевой задачи определения НДС однослойной ортотропной оболочки вращения с ис­ пользованием теории оболочек Кирхгофа-Лява.

Представим внешние нагрузки и температурное поле в виде

где gi = ||0,,<ЫГ, 92 = 02• Аналогично поступим с краевыми усилиями и перемещениями, тогда решение задачи можно искать в виде

ОО

Fi(r,y>) = F 10(r) + ^ 2 [ F Itm ( r ) cos rrup + Fi _m(r)sinmy>],