книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

Уравнение (16) дает, очевидно, все траектории системы (12). Если ро=5^0, эти траектории являются логарифмическими спира­ лями. При ро = 0 получается состояние равновесия 0 (0 , 0).

Первое из двух уравнений (15) показывает, что все траекто­ рии стремятся к состоянию равновесия О при t +°°, если а < 0

устойчивым в случае а < 0 и неустойчивым при а > 0 (точное определение фокуса будет дано в дальнейшем).

Рассмотрим уравнение

dx dy

— у-\-ах ~ х + ау ’

соответствующее системе (12). Оно очевидно является однород­

Первое из этих соотношений является общим интегралом си­ стемы (в смысле § 10) во всякой области, не содержащей точек осж.х (т. е. точек х = 0), а второе — во всякой области, не содер­ жащей точек оси у = 0. Однако ни одно из этих соотношений не является в строгом смысле слова общим интегралом системы

вобласти, содержащей точку О. «Целую» интегральную кривую,

18)Очевидно, что мы можем получить эти соотношения также из урав­ нения траекторий в полярных координатах, возвращаясь от них к координа­

Рассмотрим интерпретацию в трехмерном пространстве. Как и в предыдущем примере, ось t является интегральной кривой си­

Эта система получается как частный случай системы (12) при а = 0. Решения, соответствующие начальным значениям хо, уо, to, имеют вид

х = х 0cos (t — t0) — уо sin (t — to),

y = x0sin(t— t0) + y Qcos(t— t0).

Непосредственной проверкой (или используя (20)) нетрудно убе­ диться, что

является общим аналитическим интегралом системы. Таким обра­ зом, в этом случае система имеет аналитический интетрал.

Траекториями системы, очевидно, являются состояние равнове­ сия О (0, 0) и замкнутые траектории — концентрические окруж­ ности с центром в начале (рис. 11). Решения (20), соответствую­ щие замкнутым траекториям — окружностям, являются периоди­ ческими функциями с периодом 2л.

Интегральными кривыми в трехмерном пространстве (х, у, t) являются ось t и винтовые линии, расположенные на круглых цилиндрах с направляющими (21). Шаг каждой винтовой линии равен 2л.

П р и м е р 6.

§ 121 ПРИМЕРЫ 33

Векторное поле изображено на рис. 12. Решение системы, соот­ ветствующее начальным значениям хо, уо, to, имеет вид

и при С = 0 — координатные оси х = 0 и у = 0. Каждая гипер­ бола состоит из двух траекторий (ее ветвей), и каждая из коор­ динатных осей — из трех траекторий (состояния равновесия О и

двух полуосей). Соответствующее разбиение на траектории ука­ зано на рис. 13.

Из выражений (23) очевидно, что траектории, являющиеся полупрямыми оси х (получающиеся из (23) при г/о = 0), стре­ мятся к состоянию равновесия при t -►+°°, а траектории, являю­ щиеся полупрямыми оси у,— при t -*■ —°°. Других траекторий, стремящихся к состоянию равновесия О, система не имеет.

Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, назы­ вается седлом: Траектории, стремящиеся к седлу О, в данном слу­ чае четыре полуоси х = 0 и у = 0, называются сепаратрисами седла.

Траектории, сколь угодно близкие к точке сепаратрисы, стре­ мящейся к О при t -*■+°° (t -*■ —oo)t при неограниченном возра­ стании (убывании) t удаляются от этой сепаратрисы. Обратим внимание на то, что такое поведение траекторий, очевидно, ни в какой мере не противоречит теореме 5 § 7 (о непрерывной зави­ симости от начальных условий), так как эта теорема рассматри­ вает поведение близких траекторий только на конечном проме-

3 Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович

все траектории, проходящие через точки достаточно малой ее ок­ рестности, стремятся к ней при t -*■+°° 1Э). Такая замкнутая тра­ ектория называется п р е д е л ь н ы м ц и к л о м .

Несколько более сложные примеры, исследующиеся в основ­ ном непосредственным интегрированием, см. в [12].

§ 13. Замечания по поводу примеров § 12. Приведенные выше

в е н н о й с т р у к т у р ы р а з б и е н и я на т р а е к т о р и и , т. е.

х а р а к т е р о м р а з б и е н и я на т р а е к т о р и и и к а ч е с т ­

ния. С точки зрения качественного исследования знание точной формы траекторий не представляет интереса: мы уже подчерки­ вали это, указывая на одинаковое качественное поведение траек­ торий в случае узла или фокуса.

Однако существенный интерес представляют, например, зна­ ние числа состояний равновесия, факт наличия или отсутствия изолированной замкнутой траектории — предельного цикла, ход сепаратрис и т. д.

В приведенных примерах исчерпывающее качественное иссле­ дование разбиения на траектории удалось провести ввиду край­ ней простоты рассматриваемых динамических систем. Однако та­ кое элементарное и исчерпывающее качественное исследование, как правило, не удается провести в случае произвольной динами­ ческой системы вида (А).

Мы не можем рассчитывать получить элементарные выраже­ ния для решений и л и интегралов в случае произвольной динами­ ческой системы. Вследствие этого даже очень простые по виду динамические системы, имеющие интерес в прикладных вопросах, требуют для своего качественного исследования создания специ­ альных приемов. Примером этому может служить уравнение Ван- дер-Поля

х — К(1 — х2)х + х = О,

|9) На каждой траектории, лежащей вне предельного цикла, t изменя­

3*

лярных методов качественного исследования динамических си­ стем или хотя бы о достаточно эффективных приемах такого ис­ следования, тем более что, как уже указывалось в § 11, даже в тех случаях, когда у рассматри­ ваемой системы существует ана­ литический интеграл (в смысле § 10) и найдено его аналитиче­

ское выражение

вопрос качественного исследова­ ния разбиения на траектории,как правило, не делается тривиаль­ ным (в настоящее время не су­ ществует регулярных методов ка­ чественного исследования семей­

ства кривых (28) даже в случае, когда F(x, у ) — многочлен). Поэтому представляется целесообразным отыскание методов

или приемов непосредственного качественного исследования си­ стемы (А) без предварительного нахождения аналитических вы­ ражений для решений.

Однако сначала естественно установить некоторые общие свойства разбиения на траектории. Укажем сначала следующий

весьма элементарный факт, являющийся, однако, весьма сущест­ венным для понимания основных свойств разбиения на траекто­ рии: в окрестности всякой «не особой» (отличной от состояния равновесия) точки «в малом» траектории ведут себя аналогично параллельным прямым (рис. 15). Это можно проследить на всех

заданные двумя системами вида (А), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно однозначное и не­ прерывное) отображение плоскости в себя, при котором траекто­ рии одной системы отображаются в траектории другой (при этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении).

Это определение тождественности двух структур является кос­ венным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории 22) .

Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что тоже самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения,

которые остаются инвариантными при всевозможных топологиче­ ских отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше.

Полное качественное исследование заключается в установле­ нии всех таких свойств. Очевидно, можно также говорить о не­ полном качественном исследовании. Такое исследование может, например, заключаться в установлении характера состояний рав­ новесия, установлении наличия хотя бы одной замкнутой траек­ тории и т. д. Естественным образом возникает вопрос о том, что

22) «Косвенными» определениями являются, например, также опреде­ ления функций, мощности множества и т. д.