книги / Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости

1. Ячейка двусвязна, и граница ее состоит либо из двух пре­ дельных циклов (устойчивого и неустойчивого), либо из пре­ дельного цикла и одного лежащего внутри этого цикла состоя­ ния равновесия, являющегося узлом или фокусом.

2. Ячейка односвязна, и в границу ее входят:

а) одно седло, три сепаратрисы этого седла: две, стремящие­ ся к седлу при t +°° (t ->— °°), и одна — при t -»— °° (t -*■+ °°),

Рис. 94

и состояния равновесия или предельные циклы, являющиеся предельными для этих сепаратрис;

б) два седла, две сепаратрисы одного седла, стремящиеся к нему при t +°° и f -*■ —°°, и две сепаратрисы другого седла, стремящиеся к нему при £-*-+<» и f-*-—°°, и два состояния

висимости от того, совпадает ли положительное направление обхода предельного цикла с направлением обхода в сторону воз­ растания t или противоположно ему.

154 ГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 1ГЛ. 8

отличное определение грубости, данное Пейксото (см. [156, 157]), которое мы здесь приведем.

Это определение также было дано в предположении, что гра­

имеет в области G ту же качественную структуру, что и систе­ ма (А).

Очевидно, что если система груба в смысле определения I, то она является грубой и в смысле определения II. Обратное не очевидно. Однако Пейксото [157] показано, что необходимые и достаточные условия грубости в смысле определения II совпа­ дают с необходимыми и достаточными условиями грубости в смысле определения I. Определение II имеет следующее преиму­ щество: непосредственно из этого определения вытекает тот факт, что грубые системы в пространстве динамических систем запол­ няют области. При определении I этот факт нужно доказать, опираясь на необходимые и достаточные условия грубости.

В настоящее время широко используется определение грубо­ сти динамической системы на двумерных (и многомерных) мно­ гообразиях, а также определение грубости диффеоморфизмов

Рассмотрение условий грубости динамических систем на по­ верхностях выходит за рамки настоящей книги (см. [14—18, 111]).

Г Л А В А 9

ПРОСТЕЙШИЕ НЕГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ — СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ

§ 1. Общие замечания. При исследовании динамических си­ стем, соответствующих физическим задачам, нельзя ограничиться только одним понятием грубой динамической системы. При этом не только потому, что при некоторых идеализациях имеет смысл рассматривать негрубые системы, например консервативные, а прежде всего потому, что при изменении параметров, входя­ щих в динамическую систему, мы можем перейти от одной гру­ бой системы к другой, качественно отличной грубой системе. Та­ кой переход всегда совершается через негрубую динамическую систему. Отсюда естественно вытекает задача рассмотрения не­ грубых динамических систем и их классификации. С этим вопро­ сом тесно связана теория зависимости качественной картины разбиения на траектории от параметра, которую мы будем назы­ вать теорией бифуркаций динамических систем.

Отметим, что рассмотрение возможных б и ф у р к а ц и й (т. е. возможных изменений качественной структуры разбиения на траектории в зависимости от изменения правых частей динами­ ческой системы) дает в руки приемы эффективного исследования качественной структуры.

В настоящем параграфе дается определение простейших не­ грубых систем, которые названы системами первой степени негрубости. Приводятся необходимые и достаточные условия для того, чтобы система была системой первой степени негрубости (см. [6 , 9, 10]).

') Понятие динамической системы первой степени негрубости, так же как и понятие грубости, может быть дано при более общих предположени­ ях относительно правых частей. Однако, как и всюду, мы предполагаем правые части аналитическими ввиду того, что этот случай является наибо­ лее интересным с точки зрения приложений.

Так же, как и при определении грубой динамической систе­ мы, мы будем предполагать, что граница области G является циклом без контакта для траекторий системы (А).

Будем наряду с системой (А) рассматривать всевозможные измененные системы

х н у . При введении понятия системы первой степени негрубости по самому смыслу понятия естественно использовать другое определение близости двух динамических систем, чем при рас­

рии системы (А) и (А) отображаются друг в друга, и соответ­ ствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем е.

В силу определения III динамические системы первой степе­ ни негрубости являются, очевидно, системами р е л я т и в н о г р у б ы м и в множестве негрубых систем.

2) Определение динамической системы первой степени негрубости, так же как и определение грубой динамической системы, было сначала дано

в предположении, что граница рассматриваемой области G является циклом без контакта для траекторий системы (А). При этом предположении опре­ деление значительно упрощается. Однако это определение, так же как и определение грубости, может быть с соответствующими изменениями (пол­ ностью аналогичными тем, которые были сделаны при определении грубой системы) дано и без каких-либо частных предположений относительно рас­ положения траекторий системы (А) по отношению к границе.

аз = 0 .

§4. Замкнутые траектории, возможные в системе первой степени негрубости. Перейдем теперь к выяснению вопроса о том,

какие замкнутые траектории возможны в системе первой сте­ пени негрубости. Пусть L Q— замкнутая траектория, х = (р (t) , y = ty(t) — соответствующее ей решение. Пусть

s = h\S + hiS2+ h^s3+ . . .

— функция последования, построенная в окрестности LQ на не­ которой дуге без контакта, проведенной через какую-нибудь точку LQ.

При этом, как мы видели,

Т

(этот цикл очевидно является полуустойчивым) (рис. 65 гл. 5 ).§

§ 5. Условия на сепаратрисы седел и седло-узлов в системе первой степени негрубости. Пусть теперь у системы (А) суще­

в то же седло. Тогда LQ вместе с седлом О образует простую замкнутую кривую Со. Мы будем говорить в этом случае, что сепаратриса образует петлю или что мы имеем петлю сепарат­ рисы. Если при этом сепаратрисы седла О, отличные от LQ, лежат внутри петли (внутри Со), то мы будем говорить, что LQ образует большую петлю. Укажем следующие основные свой­ ства петли сепаратрисы.

то петля неустойчива (т. е. все траектории, проходящие через достаточно близкие к ней точки, лежащие внутри нее или со­ соответственно вне ее, стремятся к петле при t-*- —°°).

Если величина

— Рх (х0, у0) -t- Qy (XQ, у0) <С О,

то петля устойчива (см. рис. 96 и 97). 2. Если в седле

Рх (х0, Уо) + Qy (XQ, у0) = О,

то возможен как случай, когда петля устойчива, так и случай, когда петля неустойчива, а также случай, когда все траектории,

§6 . Необходимые и достаточные условия первой степени

негрубости. Назовем независимой особой траекторией первой степени негрубости каждую из траекторий следующих типов:

степени негрубости в G, то у нее не может существовать в G двух независимых особых траекторий первой степени негрубости.

A) она имеет одну и только одну негрубую независимую особую траекторию первой степени негрубости;

Б) эта особая траектория принадлежит к одному из сле­ дующих типов:

1 ) седло-узел;

2 ) сложный фокус первого порядка;

3) двойной предельный цикл;

4) сепаратриса, идущая из седла в седло, причем если она возвращается в то же седло, то в этом седле

о .^ О ;

B) сепаратрисы седел и седло-узлов (являющиеся не неза­ висимыми негрубыми особыми траекториями) удовлетворяют следующим требованиям:

1 ) сепаратриса седла не может накручиваться на сепарат­ рису другого седла, идущую из седла в то же самое седло (или скручиваться в нее);

2 ) сепаратриса седла не может накручиваться на двойной цикл, если есть сепаратриса, скручивающаяся с него (и наобо­ рот);

3) сепаратрисы седло-узла не могут ни идти в седло, ни яв­ ляться продолжением одна другой.

Т е о р е м а 8 . Если система (А) удовлетворяет в области G условиям Г, то она является системой первой степени негрубо­ сти в G.§

§ 7. Динамические системы более высокой степеии негрубо­ сти. В рассматриваемом случае аналитических динамических систем или в более общем случае, требуя у правых частей ди­ намической системы наличия не менее пяти производных, можно определить динамические системы второй степени негрубости