книги / Математическое моделирование дискретные подходы и численные методы

Рассмотрим пример. Пусть единичный вектор e, направленный из центра в сторону Северного полюса, задает ось вращения Земли, а постоянная угловая скорость вращения равна ω . Тогда тензор спина, как мы знаем, записывается в виде

Полученное выражение содержит проектор произвольного вектора на плоскость, перпендикулярную к вектору e. При этом закон движения принимает вид

пендикулярно вектору скорости тела v* и оси вращения Земли e. Если тело движется по экватору, то скорость его, направленная по касательной к земной поверхности, будет перпендикулярна вектору e. Модуль силы Кориолиса при таком движении будет наибольшим. Эта же сила, действуя на частицы воды в текущих вдали от экватора реках, стремится отклонить направление их движения, что приводит к тому, что река постоянно подмывает один из своих берегов. В результате он становится более крутым, а другой берег, от которого река отходит, становится более пологим.

Вторая из оставшихся сил инерции mω 2 (r − re e) называется центро-

бежной силой. Вектор r можно представить в виде r = Rl , где R – ради-

ус Земли, а l – единичный вектор, задающий направление от центра Земли к рассматриваемой материальной точке. Если тело находится на экваторе, то e l и центробежная сила максимальна по модулю и равна mω 2 R l (направлена перпендикулярно земной поверхности). На северном

полюсе Земли r = Re , на южном – r = −Re , то есть на любом из полюсов центробежная сила равна нулю. К этому же выводу можно прийти, заметив, что модуль r − re e равен расстоянию от оси вращения Земли до

рассматриваемой точки на ее поверхности. Для экватора это расстояние максимально, для полюсов оно равно нулю. Заметим, что сила инерции m Ω r , не вошедшая в разобранный пример, называется эйлеровой и ха-

рактеризует изменение угловой скорости вращения Φ * относительно Φ .

31

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается тензор-проектор на плоскость с единичной нормалью n?

2. Чему равно произведение суммы диад m m+ n +n p p на тен-

зор поворота, если m, n, p – взаимно ортогональные единичные векторы? 3. Если при замене системы отсчета тензор T преобразуется по закону

T = Q T Qт , то как выражается тензор T через T*?

4. Как преобразуется диада v v (v – скорость) при замене системы отсчета?

5. Запишите выражение для тензора спина, описывающего скорость поворота вектора скорости v плывущего вдоль экватора корабля относительно оси вращения Земли m.

1.3. БАЛАНСОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Рассмотрим кратко на уровне основных идей смысл уравнений механики деформируемого континуума, справедливых для всех сред. Подробное обсуждение аксиом и физико-математических оснований, на которых базируется система получаемых уравнений, можно найти в работах [4–6, 8–13]. Договоримся, что начиная с этого раздела символ « » для обозначения тензорного умножения больше не будет использоваться. Для двух стоящих рядом векторов или тензоров будет приниматься, что между ними действует тензорное умножение, если не стоят знаки скалярного « » или векторного « » умножения.

1.3.1. Основные соотношения кинематики сплошной среды

В отличие от теоретической механики и соответствующего раздела классического курса физики, в которых изучается движение материальных точек или их систем, объектами механики деформируемых тел являются реальные тела, которые нас окружают в повседневной жизни (строительные конструкции, машины, их детали, горные породы и многое другое). Для теоретического исследования их поведения развиваются различные разделы и методы механики. Эти тела состоят из огромного числа взаимодействующих частиц. Причем современная физика не дает оснований полагать, что существует предел делимости частиц, и поэтому исследователь должен принимать в качестве наименьшего размера частиц

32

тот, целесообразность выбора которого обусловлена особенностями решаемой им задачи в своей предметной области. Например, при теоретическом исследовании поведения балки из бетона нет необходимости рассматривать атомы и молекулы вещества балки, в качестве наименьших рассматриваются частицы, относительно которых отдельные атомы неразличимы – включения камней, части цементной матрицы между ними. Но даже после соответствующего выбора минимальных элементов изучаемого тела описание его поведения как гигантского (дискретного) набора мельчайших частиц практически невозможно. Выходом является применение модели сплошной среды, в которой распределение физических параметров на дискретном носителе (частицах) заменяется их полями на континууме. При этом переходят от экстенсивных параметров состояния, зависящих от количества частиц (масса тела М, количество движения тела МV, полная энергия тела Е и т.д.), к их интенсивным аналогам, не зависящим от количества частиц (вместо массы вводят плотность ρ , вместо количества движения – удельную величину ρ v, вместо энергии – удельную энергию е и так далее). Преимущество приближения сплошной среды состоит в возможности упростить математическую постановку задачи и применять для описания движения и изменения свойств материала хорошо развитый аппарат дифференциального и интегрального исчисления. Выбор минимальных элементов в таком подходе позволяет установить соотношения, учитывающие физику взаимодействия частей конкретного тела, то есть соотношения, которые позволяют отличать разные по своим свойствам материалы – определяющие соотношения.

Переход от набора физических частиц к континууму можно мысленно представить в виде следующей процедуры. Реальному телу ставится в соответствие геометрически эквивалентный (на макроуровне) объем сплошной среды, характеристики (плотность, скорость, энергия и пр.) в произвольной точке которого определяются осреднением соответствующих параметров по представительному объему в реальном теле, содержащему эту точку (не обязательно попадающую в какую-либо частицу реального тела). Представительный объем должен содержать довольно много частиц, чтобы было возможным проводить осреднение, но в то же время быть достаточно малым, чтобы распределение всех характеристик в нем было однородным. Таким образом, все физические параметры реального тела «размазываются» по геометрическому объему, занимаемому реальным телом. При этом вместо работы с огромным числом величин и уравнений, описывающих свойства каждой частицы тела, появляется возможность опериро-

33

вать небольшим набором полевых параметров состояния частиц полученного материального континуума – сплошной среды (как функций пространственных координат и времени). Так, например, от системы 3N уравнений трансляционного движения для совокупности (огромного числа) N частиц можно перейти к системе 3 дифференциальных уравнений трансляционного движения в частных производных для объема сплошной среды. Под частицей сплошной среды теперь понимается бесконечно малый (элементарный) объем материального континуума, наделенный физическими характеристиками (плотность, скорость, температура и так далее).

Отметим, что в основе механики континуума лежат фундаментальные законы природы, записанные математически в виде уравнений баланса определенных физических величин (массы, количества движения, момента количества движения, полной энергии или ее части). Эти уравнения баланса могут быть записаны как для некоторого большого (конечного) объема среды через экстенсивные величины (в интегральной форме), так и для частицы среды с помощью интенсивных величин (в локальной форме). Фундаментальные законы сами по себе недостаточны для построения замкнутых теорий (число уравнений оказывается меньше числа неизвестных). Для замыкания системы этих основных уравнений необходимы дополнительные законы (например, закон линейной упругости Гука), рассматриваемые как экспериментально установленные факты для исследуемого класса материалов. Последние формулируются в виде связи некоторого воздействия на однородный объем материала (представительный объем) и его отклика на это воздействие, отражающей особенности взаимодействия частиц реального тела.

Движение (деформация) континуума представляет собой изменение со временем взаимного расположения его частиц, то есть изменение конфигурации тела. Поэтому для выяснения, произошла ли деформация тела или насколько тело деформировалось, необходимо рассматривать две (или более) конфигурации тела. Для математического описания процесса деформирования необходимы меры, учитывающие различие конфигураций тела. Будем называть конфигурацию тела в момент времени t = t0 от-

счетной или начальной конфигурацией и обозначать K0, а конфигурацию в произвольный момент времени t > t0 – текущей или актуальной и обозначать Kt. Когда в курсе теоретической механики изучалось движение системы материальных точек, для возможности их различать точкам приписывались номера (или буквы), не меняющиеся в процессе движения. В сплошной среде нет возможности пронумеровать материальные части-

34

цы (это множество меры континуум), поэтому в качестве идентификаторов частиц вводятся их координаты относительно введенной в отсчетной конфигурации системы координат. При деформировании тела положения частиц меняются в пространстве, но их начальные координаты остаются уникальными «именами». Эти неизменные координаты называются лагранжевыми координатами, а система координат – лагранжевой системой координат. При деформировании среды координатные линии лагранжевой системы деформируются. Для описания движения частиц среды относительно пространства вводят не меняющуюся со временем пространственную систему координат. Примем, что в момент t = t0 лагранжева

система и пространственная система координат совпадают. Выберем в качестве пространственной системы координат декартову ортогональную систему, для пространственных координат примем обозначение xi , а для лагранжевых координат частиц – X i , i = 1,3. Координаты xi называют эйлеровыми координатами. Если все поля движущегося материального континуума рассматриваются как функции лагранжевых координат X i и времени t, то такой способ описания движения называется лагранжевым. В этом случае закон движения записывается как xi = xi ( X 1, X 2 , X 3 ,t) или в векторной форме:

причем в силу принятого совпадения лагранжевых и эйлеровых координат при t = t0

При изучении движения твердых тел обычно принимаются следующие гипотезы: 1) представительный объем состоит из одних и тех же материальных частиц, 2) соседи частиц не меняются, 3) близкие материальные частицы при деформировании остаются близкими (в частности, не происходит нарушения сплошности в виде трещин, внедрений материала и других дефектов). Иначе говоря, две материальные точки не сольются в одну, а из одной не появятся две, три касательных вектора к материальным координатным линиям вектора в некоторой точке не окажутся результате деформации в одной плоскости и так далее. Математически первая гипотеза соответствует существованию взаимнооднозначного отображения (1.32) материального объема из отсчетной конфигурации на объем в текущей конфигурации. Вторая гипотеза означает непрерывность

35

этого отображения (вспомните определение непрерывности на языке окрестностей). Третья гипотеза при выполнении двух первых соответствует требованию непрерывной дифференцируемости отображения при условии, что его якобиан нигде в рассматриваемой области не обращается в ноль и конечен. Все вместе эти гипотезы формулируются математически как требование диффеоморфизма отображения (1.32). Время при этом рассматривается как параметр. Напомним, что якобианом называют определитель матрицы Якоби частных производных, который для рассматриваемого случая имеет вид

(принцип сохранения области) о том, что при выполнении условий непрерывной дифференцируемости функций xi = xi ( X 1, X 2 , X 3 ,t) , i =1,3 и ∂ xi /∂ X j ≠ 0 , ∂ xi /∂ X j < ∞ , i, j =1,3 отображение сохраняет область,

то есть в данном случае она остается трехмерной. В рассматриваемой области существует, и притом единственно, обратное отображение, якобиан которого также нигде не обращается в ноль и конечен. Из физического смысла отображения (1.32) следует также, что якобиан должен быть положительным, иначе последовательность переменных изменяется (меняются местами столбцы якобиана), что означает «выворачивание» материального объема. Итак, на якобиан отображения накладывается ограничение

и при выполнении перечисленных условий существует обратное отображение

также являющееся диффеоморфизмом.

36

Заметим, что при изучении движения жидкостей и газов перечисленные в предыдущем абзаце гипотезы и их математическая запись неприменимы. При этом вообще нет возможности фиксировать материальный объем, и вместо материального описания движения (1.32) используется пространственное – задается распределение скоростей материальных частиц жидкости или газа в фиксированном пространственном объеме. Для твердых тел материальный и пространственный подходы к описанию движения при выполнении упомянутых гипотез эквивалентны.

Дальнейшая работа с полученными непрерывными (или кусочнонепрерывными) полями физических параметров на континууме требует владения аппаратом математического (в особенности теорией функций многих переменных) и тензорного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных и ряда других математических дисциплин, включенных в общеуниверситетские курсы.

Рассмотрим отсчетную и текущую конфигурации тела. Мы уже знаем, что положение точки P до деформации определяется вектором X , а после деформации – вектором x . Бесконечно малый материальный отрезок PQ в недеформированном состоянии характеризуется вектором dX :

где ν – единичный вектор, определяющий направление отрезка PQ. Этот материальный отрезок в силу малости останется после деформирования также малым материальным отрезком P'Q', состоящим из тех же самых материальных частиц, но переместившихся в пространстве, и будет характеризоваться вектором dx :

где ν' – единичный вектор, определяющий направление отрезка P'Q'. Относительным удлинением ε ν ν линейного элемента P'Q' в результа-

те деформирования материала будем называть величину

37

касательный к первоначальным материальным координатным линиям, проходящим через эту точку, и локальный базис

касательный к материальным координатным линиям, проходящим через эту точку в текущий момент времени t.

Один бесконечно малый материальный отрезок dX взаимнооднозначно отображается на другой бесконечно малый материальный отрезок dx , но оба они, как упоминалось выше, состоят из одного и того же набора материальных точек. Поэтому линейный оператор, связывающий отрезки dX и dx , связывает и базисы Ri и ri . Если обозначить

Отсюда можно получить запись данного оператора в виде суммы диады построенных из векторов обоих локальных базисов:

С использованием векторного дифференциального набла-оператора

введенный оператор можно записать в виде диады

то есть в силу ограничений, наложенных на закон движения, F , называемый тензором деформационного градиента или аффинором (поскольку задает локальное аффинное искажение элементарного материального объема), – неособенный тензор.

38

В процессе деформации сплошной среды в малой окрестности любой ее точки изменяется метрика. Изменение локальной материальной метрики называют локальной деформацией. Фундаментальная матрица gij , в начальный момент времени равная

что выражает принадлежность обеих конфигураций аффинному евклидову пространству. Мерой изменения локальных метрических свойств может служить симметричная матрица

o

Первый из них ε носит название тензора деформаций Коши-Грина, второй εˆ – тензора деформаций Альманси. Из этих соотношений видно, что информация о локальной деформации содержится в шести независимых компонентах любого из этих тензоров, находимых по девяти компонентам аффинора. При деформации тела, то есть изменении его конфигурации, локальная окрестность произвольной точки испытывает не только деформацию, но и поворот, описываемый тремя оставшимися независимыми компонентами аффинора. Более наглядно эти вопросы могут быть изучены с помощью полярного разложения тензора.

Рассмотрим, как изменяется малая материальная площадка при ее аффинной деформации. Возьмем в K0 пару произвольных малых матери-

альных отрезков, dX′ и dX′′, исходящих из некоторой материальной точки, и рассмотрим построенный на этих отрезках малый материальный параллелограмм. Если площадь параллелограмма обозначить ds , а единич-

39

на локальных материальных базисах рассматриваемой материальной точки

Перемножая любое из соотношений (1.54) скалярно само на себя и используя полярное разложение деформационного градиента F = R U = V R , длякоторогодоказываетсятеоремаединственности, получим

Далее, подставляя (1.55) в (1.54), можно связать нормали:

Наконец, можно установить связь локальных материальных объемов в K0 и Kt . Проще всего для этого рассмотреть малый материальный

шар радиусом dr в K0 , который превращается в Kt в малый материаль-

40