книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

где А: — индекс момента времени получения измерения у*, к = 1, 2,...

п —1, Р(ук —s(xk+i))^P(^)k+l),

n(xk+i | хк) — переходная плотность вероятности марковского про­

жим эту компоненту в ряд Тейлора по степеням A/. Затем воспользуем­ ся условием нормировки

J J * ( * ,J * * > M * * ) ^ * +1 =1

и в результате получим:

A *+i =A *+AJ j | ^ P n +i ^ +.) - s2(^+l)]+^ r n 2+152(^+i)Jx

x n (x k+i\xk)wk(xk)dxkdxk+, +о((Д/)2).

Отсюда становится очевидным переход к выражению

и в конечном итоге — к стохастическому уравнению в симметризованной форме [61]

dA. - — A .s.dy. — — A .s 2dt,

нала, Уо— выборка, наблюдаемая реализация процесса {у,}.

Решение стохастического уравнения имеет вид

Выбор решения относительно гипотезы Н2 осуществляется согласно

следующему правилу:

271

следующее измерение; если же А,к > 1 - а или A,t < а то осуществля

ется выбор решения в пользу гипотезы Н2 или в пользу Я, соответствен­

но; здесь а и р — заданные значения вероятностей ложной тревоги и пропуска.

8.1.2 Метод классификации текущего состояния контролируемого процесса

Рассмотрим метод классификации на основе идентификации техни­ ческого объекта, когда по входному тестовому сигналу-воздействию x(t)

и текущим условиям функционирования т|(0 объекта ЛПР располагает полными и точными сведениями, а выходной сигнал при этом описы­ вается уравнением наблюдения

т

y(t,x(t),x\(t)) = Ьх(ОJ К х(т, )х (/- т ,) +

-Т

тт

тт т

+Ь„(ОJ J...JК„ (т, ,т2 ,...,т„)x(t - х, )х(( - т2 )...*(/ ~ )dxxdx2 ...dx„ + Л(0,

-Т - т - т

где Ьх(0 = ^ b ivt y, / = 1,2,..., я, v=0

АГ,(х,),..., К„(хь х2,...,х„)— ядра Вольтерра; записываем их в виде

m

они представляют весовую функцию нелинейного динамического объ­ екта;

2 Т — временной интервал; \|/,. (хр) — вытянутые волновые сфероидальные функции (ВВСФ);

свойства и алгоритм вычисления ВВСФ изложены в полном объеме в [123; 124].

272

Входной сигнал представим в виде

где F„(/) — неслучайная полезная составляющая входного тестового сиг­ нала,

ф /0 - ВВСФ,

wy — известные коэффициенты Фурье,

<р(0 — заданная по условиям функционирования функция, характе­ ризующая нестационарность аддитивного случайного процесса,

x(t) — центрированная стационарная случайная функция с извест­ ной корреляционной Rx(т), допускающей представление в виде некано­

нического разложения х° (0 = (0)(sin X/ - у cosАД где у — случайная

величина с произвольной плотностью распределения и единичной дис­ персией.

Входной сигнал, проходя через динамический объект, подвергается сложным нелинейным преобразованиям из-за многократных пере­ множений и интегрирований; поэтому получить в аналитическом виде закон распределения вероятностей выходного сигнала в зависимости от закона распределения входного сигнала практически невозможно.

Для вычисления вероятностных характеристик выходного сигнала контролируемого объекта воспользуемся интерполяционным методом; решение для у (г, x(t), t|(0) в зависимости от случайных величин пред­

ставим в виде

ук,к = 1, 2,..., пр — статистические узлы, являющиеся корнями орто­

гональных полиномов с весами, равными плотностям распределений случайных величин Я. и у.

Согласно выражению для y(r, Я, у) вычислим интегральный закон

распределения, математическое ожидание, центральные моменты, кор­ реляционную функцию выходного процесса у(г, Я, у) по формулам

273

чин А. и у соответственно (см. [121]).

В [121] приведены таблицы для статистических узлов и чисел Кри­ стоффеля для равномерной, экспоненциальной и нормальной плотно­ стей распределения Р(Х).

Для других распределений статистические узлы определяются как решения трансцендентного уравнения

X х

\P (x)dx = \f(y )d y ,

-оо а

гдеfly) — плотность распределения, для которой имеются таблицы ста­

тистических узлов и чисел Кристоффеля; а — нижняя граница интервала значений случайной величины х.

Аналитическое решение трансцендентного уравнения получено только для корреляционных функций типа экспоненты и затухающей косинусоиды. В общем же случае корреляционная функция стационар­ ного процесса x(t) может быть записана в виде

где Ак, vk,Р*, а,, Ср пк, тк — известные величины.

Согласно методу неканонического разложения случайной функции

x(t), плотность распределения случайной величины X определим по фор­

муле

P(X) = ^ T ] Rx(x)e ^ d x .

Однако при этом получить решение уравнения для плотности распреде­ ления Р(Х) практически невозможно, поэтому воспользуемся числен-

274

ным методом для его решения. В связи с этим трансцендентное уравнение запишем в виде

С учетом свойства четности функции Р(Х) это уравнение примет вид

продифференцируем его по переменной q, имея в виду Цд). В результа­

те получим дифференциальное уравнение

*3

Это уравнение интегрируется до значения q, равного q3 = j f ( y ) d y - 0,5,

а

где х г — значение статистического узла случайной величины х с плотно­ стью распределения fix), для которой имеется таблица статистических

узлов и чисел Кристоффеля.

Теперь текущее состояние контролируемого динамического объекта можно установить, например, по п р а в и л у - т е с т у К о л м о г о р о ­ в а - С м и р н о в а : если выполняется условие

d (F (t,y),G (t,y))< da,

то принимается решение, что объект находится в нормальном состоянии; в противном случае — объект находится в небезопасном состоянии.

В этом правиле d(F(t,y)G(t,y)) = sup|.F(/,.r)-G(/,.y)|, гипотетическое

Y

распределение G(t,y) однозначно соответствует нормальному режиму

функционирования объекта, оно получено по тому же входному сигналу x(t), da — пороговый уровень. Другие правила классификации изложены

в п. 8.1.

8.2. Методы выбора решений, свободные от вида распределения, — непараметрические методы

Непараметрические методы в большинстве своем основаны на ис­ пользовании специальных статистик — знаковых или ранговых, по­ скольку их распределения вероятностей инвариантны относительно ис­ ходных данных. Рассмотрим простые варианты этих методов.

275

Знаковый алгоритм выбора решения. Для выборки X = (х,, х2, ..., х„)

из независимых и одинаково распределенных элементов х, i = TJi зна­

ковой статистикой называют произвольную функцию ы(л) знакового вектора

signAT = (sign*, ,signx2.... signx„),

Алгоритм выбора решения, использующий только знаки компонент выборки, называют знаковым.

Отметим важное обстоятельство для выбора решения: если распре­ деление вероятностей мешающих факторов — помехи, составляющей гипотезу Я ,: у, = 0, симметрично, то число положительных и отрица­ тельных знаков в выборке signA" равновероятно и не будет зависеть от вида помехи; при появлении же на фоне помехи произвольного поло­ жительного детерминированного сигнала, составляющего альтер­

нативную гипотезу # 2 : у 2 > Yi > вероятность появления положитель­ ных знаков становится больше вероятности появления отрицательных знаков.

£ и ( х , ) > С, то принимается решение в пользу у2, в противном случае — /=i

в пользу у,.

Для вычисления порога С предварительно знаковую статистику за­ пишем в виде

u(X) = 0,5 signAf + 0,5,

а правило выбора решения — в виде

Тогда величина порога будет определена через биномиальное распреде­ ление знаковой статистики при гипотезе Я ,: у, по заданной допусти­ мой вероятности ложной тревоги а из выражения

Знаково-ранговый алгоритм выбора решения. Ранговая статистика оп­ ределяется следующим образом. Наблюденные данные, составляющие

276

выборку X, располагают в порядке их возрастания и получают вариаци­

онный ряд

Х<‘> < Х < 2> < ....< Х < " > .

Предположим, что в этом ряду никакие два компонента не совпада­ ют. Обозначим через г;(Л) число элементов, не превосходящих х„ т.е. х, = x (r' \ 1 ^ / < п. Статистика R, = г/А) называется рангом элемента

х„ вектор R = (Rlt R2,...,R„) — ранговым вектором или ранговой

статистикой.

Рассмотрим задачу выбора решения как задачу проверки гипоте­ зы Я] с параметром у, против альтернативы Я2 с параметром у2 > у,. Для этого построим вариационный ряд

где z, = х, — у, и Zi = 0 не учитывается, затем вычислим сумму положи­

в пользу Я,.

Для вычисления порогового значения С воспользуемся выражением

п(п+ 1)

4

Пусть п -» о», тогда S„(X) будет характеризоваться асимптотически нор­

мальным распределением, для полного восстановления которого доста­ точно вычислить математическое ожидание Л/, [.УДА)] и дисперсию Л/2[5ДА)]. Стандартные вычисления приводят к следующим результа­ там [81]:

и тогда С = п /2 ( х а-Jn/З + п / 2), гдеха — процентная точка нормального

распределения для заданной допустимой вероятности ложной тревоги а. Последовательный метод выбора решения. Пусть выборка Х = (х,, Х2, ..., х„) принадлежит одному из двух альтернативных образов, пред­

ставленных обучающими выборками X 1= (х /.х Д ...,хя') и X 1 = (х,2,

Xj2, ..., х„2). Требуется принять решение, какому образу принадлежит вы­ борка X, при этом X должна быть минимального объема, а достовер­

ность решения — не ниже требуемой. Соответствующий процесс выбо­ ра решения сведем к решению задачи последовательной проверки двух

277

выборок: А- и X 1 (или Л" и А'2) при известной функции распределе­

ф2 = x j , = х2, d4 = х2,..., d*_i = х„, d* = х \ . Для выборки V(k) построим

вектор последовательных рангов R(k) = (Rb R2,...,Rk) и запишем после­

довательное отношение функций правдоподобия

_ P(R(k)\H2)

на к-м шаге выбора решения,

здесь к — четное, при нечетных к выражение для P(R(k)\H2) записывает­

ся в виде

к-1/2

Г

т т н 2)

П 2

/=1 W»'

г> 0 — параметр альтернативы Лемана [82], значение г устанавливается

впроцессе вычислительного эксперимента.

Теперь зададим пороговые границы согласно требуемой достоверно­ сти выбора решения а/(1 - Р) и (1 - а ) /Э , как это предусматривается при реализации последовательной процедуры Вальда. В результате структура последовательного непараметрического метода выбора ре­ шения по выборке V{k) = (AT и А-1) представляется следующими опера­

циями.

Ал г о р и т м

1.Построить вектор последовательных рангов Щк).

2.Сформировать вектор А(к).

3. Задать г и вычислить последовательное отношение функций правдоподобия /(&).

1 ( к или l ( k ) < - 2 то принять решение в пользу гипотезы Н2 или Н{.

Р1-Р

278

Метод выбора решения с использованием функций принадлежно­

— формируются обучающие выборки Х ,о объемов N„ i — 1, М, и по

м

ним образуется объединенная выборка X = 1 К ;

/=i

— длях е X строится векторная функция принадлежности

М ) = М * ). fc(*)>-.M *))»

каждый элемент, которой определяет степень принадлежности х к объ­

екту Xh / = 1, М, здесь ц,(х) > 0, ц, (х) = 1;

/=1

—для полученной реальной выборки у в результате единичного на­

блюдения, обусловленной наличием какого-то одного, пусть например,

из двух объектов / = 1,2, ЛПР или наблюдатель строит окрест­ ность Ф(у);

— по функции принадлежностей вычисляется величина д({у) — ана­ лог значения функции правдоподобия

— по аналогии с правилом классификации простых гипотез с ис­ пользованием отношения функций правдоподобия строится отно­ шение

Х(у) = М у).

М у)’

— реализуется правило классификации — правило отнесения вы­ борки у к одному из двух объектов: если Му) >. я, то принимается реше­

ние, что выборка у обусловлена наличием объекта / = 1, в противном случае — / = 2. Пороговое значение я устанавливается так же, как и в классическом методе классификации простых гипотез.

Введенное правило классификации — правило выбора решения — является состоятельным.

В заключение приведем из [75] алгоритм построения функции при­ надлежности ц,(*)> х € X, / = 1, М по обучающей выборке X.

279

4.Вычислитьц^0)(х) = m jm , / = 1, М.

5.На (п + 1)-й итерации алгоритма вычислить

X Х ц<<л)(х

i =1 >-««<*)

6. Проверить условие |nj"+l^(x) - ц j"*(x)|S £.

Если оно выполняется, то Ц,(х) = p j" +l>(x), т.е. искомая функция принадлежности

построена, иначе — перейти к оп. 5 и выполнить очередную итерацию.

8.3. Упорядочение и отбор признаков для выбора решений

Для выбора решений, как это следует из сущности изложенных в п. 8.1, 8.2 методов, необходима была выборка измеренных данных. Такие данные есть результат наблюдения за соответствующими признаками, ко­ торыми характеризуются подлежащие распознаванию (классификации) объекты или образы. Очевидно, что в целях экономии времени и других затрат на выполнение наблюдений, их визуализацию и хранение целесо­ образно выделить наиболее информативные признаки, которые наиболее эффективны для выбора решения при классификации образов и количе­ ство которых существенно меньше количества исходных признаков.

Одним из методов отбора информативных признаков является ме­ тод, основанный на использовании статистики в виде энтропии — меры неопределенности, описывающей связь между альтернативными клас­ сами образов и замерами признаков. Такая статистика может быть вы­ ражена с точки зрения традиционного — классического или последова­ тельного подхода. ____

Пусть разделению подлежат классы со е £2, / = 1, /и, — это в общем случае сложные гипотезы; связь каждого из них с выборкой измеренных данных X характеризуется условной плотностью распределения вероят­ ности />(Л >,), / = 1, т или апостериорной плотностью вида P(fv\ со„ X),

где/„, v = 1, г, есть v-й признак. Тогда при классическом подходе энтро­ пия /-го класса записывается, по определению, в виде

Н „ =-Ji»(^|(oi)ln /,(^|coi W

X

где X — выборочное пространство;

280