книги / Математические методы в системах поддержки принятия решений

Для отыскания решения х’ полученной задачи в [21] предложен сле­

дующий алгоритм.

Ал г о р и т м 1. Задать А,°>0.

2. Вычислить x0(A.°) = aig min ф(хД°), пользуясь алгоритмами п.6.1.

хе Я "

3.Для следующих итераций алгоритма вычислить

к\к) = шах^О, £/(**_,)+ X(/ ' n j

4. Вычислить хк(Х^к)) = ат& min ф(хД(**) с использованием алгоритма п. 6.1.

х е Я ”

Применим изложенный метод для выбора оптимального решения с использованием модифицированной функции Лагранжа ф(х,, х2, А,) в задаче, решенной методом штрафных функций.

или

max[cosx, - cos(x, + х2), cosx, - cos(x, + х2) + {0, х, + х2 - 2п + А*0*} - {0, -х , + Х(20)}] = О,

max[cosx2 - cos(x, + х2), cosx2 - cos(x, + х2) + {0, х, + х2 - 2п + А,*0*} - {0, —х2 + А.30)}] = О,

или из следующих систем:

cosx, - cos(x, + x2) + x, + x2 - 2 n + X<°> + *1 - A.2 * = 0, cosx2 - cos(x, + x2) + x, + x2 - 2 n + A.*0* + x2 - A.(30) = 0.

Из системы (1) получаем

x, = x2 = 2тг/3,

191

а из системы (2) —

При Я,«» = (А*0* = О, Я<2°> = О, Я<3°> = 0) искомое решение следует из (1) и из системы

Очевидно: из первого уравнения системы (2а) получаем Х| = х2; тогда второе уравнение системы (2а) перепишем в виде

Х(' у = шах(0, ^(Х<0>) + х2(Х(20)) — 2п + Х\0)), X f = max(0, -x,(X(20>) + Х(20>),

Х(Р = max(0, - х 2(Х<°>) + Х(30)).

Отсюда с учетом, что Х(0) = (Х*0) = 0, Х20) = 0, Х30) = 0) и Х|(Х<°>) = х2(Х(0>) = 2я/3, следуют значения компонент вектора Х(|>= (X*1* = 0, Х ^ = 0, X*3* = 0).

Итак, решение Xi(X<0>) = Х|(Х<°>) = 2я/3 является оптимальным.

6.7.Метод динамического программирования

вусловных дискретных задачах принятия решений

Динамическое программирование представляет собой вычислитель­ ный метод, в основе которого лежит принцип оптимальности Веллмана с соответствующей ему математической перефразировкой в виде функ­ ционального уравнения.

Принцип оптимальности [35; 53]: оптимальное поведение обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальные состояние и решение в начальный момент, последующие решения должны состав­ лять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения.

Функциональные (рекуррентные) уравнения записываются согласно особенностям задач принятия решений. Такие особенности исходят из структурных свойств критериальных функций: аддитивности, мультип­ ликативности или противоречивости частных критериев, составляющих векторную критериальную функцию на ограниченном множестве.

Запишем рекуррентное уравнение, например, для известной задачи о коммивояжере, в которой из некоторого множества маршрутов дви-

192

жения необходимо найти наиболее кратчайший маршрут из одного пункта с возвращением в него же при условии обязательного одноразо­ вого посещения каждого из всех других пунктов.

Пусть всего пунктов п. Задана квадратная матрицап х п с элемента­ ми с,у указывающими расстояния между пунктами / и j. Возможное ре­

шение задачи записывается в виде

х = (/„ /2, / р, /,),

где в скобках указаны индексы пунктов, а оптимальное решение долж­ но быть получено из решения задачи

г(х)= £ c (y-»m in,

( t . j ) e X

последовательное применение которого приводит к следующему алго­ ритму поиска оптимального маршрута:

[Л„_,(1;2,4,...,л;3)+с3|],

Ля(12,3,...,л;1) = min

Случай адаттн ой критериальной функции. Если требуется найти ре­ шение х = (х*,х2, о б е с п е ч и в а ю щ е е максимум аддитивной крите­

риальной функции

лицу по аналогии с п. 2 (п. 4).

6. Повторить выполнение операций вида оп. 2 или оп. 3 до вычисления Aw_j(^) для

всех

и значение функции Кп(Ь). В общем случае х„(Ь) может принимать несколько значений.

194

выполнении операций 2, 3,...»7 и зная, что при каждом известном значении х*„ =х*(Ь) другие переменные должны удовлетворять условию

л-1

^ajXjib-a„x'„,

j*l

т.е. определение х должно начинаться с вычисленного значения х„\

х'„=х'„(Ь),

9.Повторить выполнение оп. 8 для всех других значений х„.

Построим ф у н к ц и о н а л ь н ы е у р а в н е н и я В е л л м а н а в следующей задаче. Найти оптимальное решение и0, при котором дости­ гается максимум критериальной функции W

з

i=i

при ограничениях/„/2,/з

и указать оптимальную траекторию х = (х£,х,°,х2 ,х°).

Решение начнем с составления функционального уравнения Велл­ мана для последнего (третьего) шага. Полагаем, что процесс S2 перед этим шагом характеризуется величиной х2, тогда условный оптималь­ ный выигрыш на третьем шаге при условии, что S2 = х2, определим вы­

ражением

W »{S2 = х 2) = шах { - £ [ ( * , - и , ) 1 - 2 х |]} .

Из необходимого условия максимума получаем условное оптимальное управление u2(S2 = х2) = х2; тогда W J (S 2 = х 2) = х \ / 8.

Для предпоследнего (второго) шага условный оптимальный выиг­ рыш при условии, что процесс перед ним S t характеризуется величиной х и имеет вид

W2y(Sl = x l ) = m a x \ f 2(xi ,u2)+ W ’ (S2 = х, - « ,)] =

= max -Ос. + « , ) 2 - 2 и\ + -(х . - и , ) 2

Из необходимого условия максимума получаем, что условное оптималь­ ное управление на втором шаге

Для первого шага условный оптимальный выигрыш =Xo) = om ^ |y i(X o ,« ,)+ )K /(^ = х0 - « ,)] =

= оп т | - 5(* 0 - и ,) 2 +4и,(х0 -и ,)+ у - (х 0 - и ,) 2| .

Из необходимого условия максимума функции находим, что и, = х„.

Тогда искомое максимальное значение Wmax =PPj'(50 =4), а оптималь­ ное управление й° =(и°,и2 ,и2) и оптимальную траекторию

х° = ( x “ ,x |0, X j ,х®) получим, рассматривая шаги с первого по третий в

прямом порядке:

196

Рассмотрим формирование р е к у р р е н т н ы х с о о т н о ш е н и й в задаче распределения ресурса. Пусть в распоряжении руководства объе­ динения имеется 6 = 7 грузовых автомобилей одной марки. Требуется

распределить их между четырьмя предприятиями, если известна эффек­ тивность^^), у = 1 , 2, 3 ,4 использования автомобилей предприятиями

В качестве критерия в задаче целесообразно выбрать суммарную эффек­ тивность от использования автомобилей на предприятиях

Цель объединения — максимизация (*) по х = (хь х2, х}, х4); ограниче­ ние на К, помимо целочисленности и неотрицательности х,,у = 1 , 2, 3, 4

имеет вид ^ х у = 7. у-1

Для решения задачи воспользуемся методом динамического про­ граммирования. При этом под у'-м этапом (шагом) в этом методе бу­ дем понимать выделение объединением машин у-му предприятию. (Состояние этапа Sj характеризуется количеством нераспределенных машин послеу-го шага, у = 1 , 2 , 3, 4, а Se = 7, S4 = 0.) Уравнения связи

имеют вид

Sj = Sj_t - f j , причем fj < Sj, у = 1, 2, 3,4.

197

В соответствии с общей схемой решение задачи начнем с последне­ го (четвертого) шага. Найдем условные оптимальные выигрыши на этом шаге f / ( S 3) при условии, что перед этим шагом система находилась в

состоянии S3, а х4 — управление на четвертом шаге,

/ / ( £ , ) = max {f<(xA) / S x = S 3 - x 4}, OS/4SJ3

но так как SA= 0, то f / ( S 3) = f 4(S4). Учитывая данные табл. 1, найдем а также условные оптимальные управления и у(S3) = S 3, кото­

рые представим в табл. 2.

Для предпоследнего (третьего) шага находим условный оптималь­ ный выигрыш f 3 (S2) для совокупности третьего и четвертого шагов,

если перед третьим шагом система была в состоянии S2:

а также условные оптимальные управления на третьем шаге и3 (S3), на

которых достигается максимум в (**). Полученные данные приведены в табл. 3.

Т а б л и ц а 3

Для второго шага аналогично предыдущему находим условный опти­ мальный выигрыш f 2 (S l ) для совокупности этапов со второго по четвер­

тый при условии, что перед вторым шагом система была в состоянии 5,

f i (*?,) = max {/2(х2 ) + f 3y(S{ - х2)}, OSJC2S*э|

а также условные оптимальные управления на втором шаге и2 (£,). По­

лученные результаты приведены в табл. 4.

198

Для первого шага алгоритма находим выигрыш на совокупности всех четырех этапов

f / ( S 0 = 7 )= шах {/,(х, ) + //( £ „ -х ,)},

UbJC | S i j g

причем этот выигрыш, учитывая фиксированное^ начального состоя­ ния системы S’ = 7, является безусловным и фактически определяет оп­ тимальное значение критерия.

Итак, шах/* равен 3,7. Оптимальное управление на первом шаге и * =«,(£„) = 1 является также безусловным. Далее, двигаясь в прямом

порядке отсчета (с первого шага по четвертый) находим оптимальные управления й ор‘ =(и1ор*,и^,‘,ИзР,,и^р*). Так, для первого шага

5 |0pl = S 0 —И|0р*= 6. Для второго шага из табл. 2 при S t = S lopl = 6 находим и * =5, тогда S** = <S’1op,-w°p' =1. Для третьего шага из табл. 1 при

S 2 = 5 20pt = 1 определяем, чтои^** =1, а также, что 5^* = 5,“pt - и ”1* =0. На­

конец, для четвертого шага из табл. 2 при S 3 =S£pl =0 найдем, что

и?* = 0. Итак, максимальное значение критерия достигается при

и 0* =(1,5,1,0),

т.е. при выделении первому и третьему предприятию по одному автомо­ билю, а второму—пяти автомобилей.

Случай мультипликативной критериальной функции. Пусть требуется

найти решение х* =(x*,xj,...,x*), обеспечивающее максимум мульти­

пликативной функции

тахП/у(Ху) ПРИ ограничениях ^ Д уХ у <b, ^ а уХу йЬ,

Ху > 0 , Ху — целое, у = 1 , л, ау > 0, 6 > 0.

Рекуррентное уравнение записывается в виде

Л*(ф = шах{/*(х*)-Л*_,(£-а*х*)}, к = 2, п, 0 < $ й Ь „ 'хкt

199

Схема алгоритма для вычисления решения х представляется такой

же, как и в алгоритме, приведенном для случая аддитивной критериаль­ ной функции.

Запишем рекуррентное уравнение для обратной задачи. Пусть, на­ пример, разрабатывается система из п подсистем. Последние резервиру­

ются, что необходимо для обеспечения требуемой эксплуатационной надежности системы. В связи с этим целесообразно определить такое количество резервных подсистем, чтобы заданный показатель надежно­ сти системы был достигнут при минимальных затратах. Введем обозна­ чения:

Х = (х,,х2, — состав резервных подсистем;

П

стоимость одного комплекта й резервной подсистемы.

Получаем следующую формальную постановку рассматриваемой за­ дачи. Выбрать вектор X ’ = (х*,х2,...,х”), при котором

С(Х ') = minC(.Y)

Хей

идолжно выполняться условие R(X') > RQ. Очевидно, эту задачу можно

переписать в виде

*.-1=°.1Л

х ,-0.1.2,.

200