книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

где е = О для декартовых и е = 1 для цилиндрических координат. Скорость звука с и энтальпия /г, входящие в уравнения (3.2) и (3.4), являются термодинамическими функциями давления и плотности. Их конкретный вид зависит от рассматриваемой физической модели газа. В общем случае газ может представлять собой находящуюся в термодинамическом равновесии смесь реагирующих газов. Для описанного ниже метода *численного решения задачи конкретный вид функций с и к не имеет значения. Достаточно предполагать, что для любой пары значений р , р можно вычислить зна­ чения сжк с необходимой точностью.

Из (3.4) видно, что при е = 1 уравнения (3.1) имеют особенность при г = 0, что необходимо учитывать при построении численного алгоритма. Заметим, что фактиче­ ски в течении нет никакой особенности, и ее появление в уравнениях связано исклю­ чительно с выбором системы координат. Если течение симметрично относительно оси г, то особенность в уравнениях исчезает в силу условий, налагаемых симметрией на поведение функций вблизи оси. Остающаяся в Г при г = 0 неопределенность у/г (вида 0/0) имеет конечное значение ди/дг.

Если течение не осесимметрично (или ось г не совпадает с осью симметрии), то возникает необходимость формулирования на оси ъ искусственных граничных усло­ вий, не требуемых постановкой задачи. Этих ненужных осложнений можно избежать, если ввести вблизи оси декартовы координаты, в которых она ничем не отличается от всякой другой прямой, проходящей в области течения. Переход от одной системы ко­ ординат к другой в численном алгоритме не вызывает трудностей, если использовать для аппроксимации единую сетку точек, как это и сделано в § 5.

Граничные условия (3.2) и (3.3) в том виде, в каком они написаны, еще не позво­ ляют аналитически сформулировать задачу. Для этого необходимо ввести аналити­ ческое описание положения границ области @т — поверхности тела и ударной вол­ ны, что может быть сделано несколькими способами.

Определим положение поверхности тела заданием функции # (д1, #2, (?3, т) такой, что в момент времени т уравнение поверхности тела имеет вид # = 0. Входящие в уравнения (3.3) вектор нормали п и скорость Д определяются тогда известными форму­

Здесь дгаб # есть вектор с компонентами (1/# к) (д&/ддк) по осям дк, где Н к — коэффициент Ламе. При таком определении вектор п представляет собой скорость пе­ ремещения данной точки поверхности тела по направлению нормали к поверхности.

Другим способом аналитического описания поверхности тела является задание ее уравнения в параметрическом виде:

так как зависит от способа исключения, но связь между д19 д2, д3, т остается всегда

одной и той^же. Отсюда вытекает, что если § (д1? д2, д3, т) = 0 — другое уравнение, являющееся следствием (3.6), то

дЦ/ддк = т (д§/ддк) и д§/дх = т (дв/дх),

где т — некоторая функция дк и т. При подстановке в (3.5) т сокращается и поэто му вид левой части не влияет на значения Д и п.

Имея это в виду, компоненты ^габ^ и д^/дх можно определить, исходя из тожде­

однородных уравнений для четырех величин д^/дд^ и д#/дт, из которой они определяют­ ся с точностью до множителя. Окончательно получаем формулы:

В отличие от поверхности тела, положение ударной волны заранее неизвестно и

функции / или д\ подлежат определению в процессе решения задачи. Так как для задания поверхности всегда достаточно одной функции, то в выборе параметрического представления имеется значительный произвол.

Введение функций / и определяющих аналитически форму ударной волны и поверхности тела, уточняет постановку задачи. Соотношения (3.2), связывающие значения X на волне с производными неизвестной функции / (^х, д2, д3, т), помимо

граничных условий для X, содержат в неявном виде дифференциальное уравнение для /. В самом деле, нетрудно исключить из уравнений (3.2) величину В , после чего полу­ чаются четыре уравнения, связывающие X и производные д//ддк, но не производную дЦдх (так как только В зависит от д{/дх):

V* - «ТОО = о, («V - 9 Ы 2 + (Р “ Рсо) (р -1 - р -1) = о,

к — кос — (р-1 + Р"1) (р — Рос)/2 = 0.

Любое независимое от (3.8) соотношение, являющееся следствием (3.2), содержит В , а следовательно д//дт, и может рассматриваться как дифференциальное уравнение для /, например:

Уравнения (3.1) и (3.9) вместе с граничными условиями (3.8) и (3.3) составляют полную систему для определения X и / при х^> 0, если заданы начальные значения

статочно проста и удобна для теоретического исследования. Но при построении чис­ ленного алгоритма наличие криволинейных и к тому же подвижных границ вызывает определенные трудности. Одним из путей их преодоления является введение подвиж­ ных криволинейных сеток в пространстве (д2, д2, д3) таких, что границы области всегда проходят через узлы сетки. Другим, в данном случае более эффективным, путем является замена переменных с целью преобразования границ области @т, в фиксиро­ ванные поверхности простой формы. Естественно, что тогда в формулы преобразова­ ния координат войдет неизвестная функция, определяющая форму волны, и коэффи­ циенты уравнений для X в новых переменных будут зависеть от этой функции и ее производных, однако вследствие квазилинейности исходной системы к принципи­ альному усложнению ее это не приводит.

Наиболее удобно определить (^, ц, ^) таким образом, чтобы поверхности тела и удар­ ной волны были координатными поверхностями, например, ^ = 0 и ^ = 1 соответст­ венно. Тогда, очевидно, параметрические уравнения поверхностей тела и волны имеют вид:

9к= Л. С. 0 = ^ 0 1 ’ 5. 0. Як = ?к(1. Л. С. 0 = 32(11» С, 0- (3.11)

Наоборот, если исходить из заданных параметрических уравнений (3.11), то можно определить замену переменных формулами:

где ф* = ф* (^, т), Е, I) — известные функции, удовлетворяющие условиям дфк/д% > 0 при всех (|, ц, С, *) и

Ф" (°> Л, Е, 0 = 1 — Фк (1, Л, С, 0 = 0.

В выборе функций и д® допустим значительный произвол, который целесообразно

использовать для учета конкретных особенностей задачи. При этом функции Я\ (т], I) всегда должны содержать одну неизвестную функцию, определяющую форму волны.

Общий вид преобразования (3.12), на котором мы в дальнейшем будем основыватьсяу предполагает, что исходные координаты выражаются через расчетные явным образом* Это ограничение не является принципиальным и введено лишь для того, чтобы уп­ ростить построение численного алгоритма и ускорить процесс решения задачи.

условиям, является функция ф (^) = ^. В ряде случаев для обеспечения устойчиво­ сти счета и других целей может потребоваться введение функций ф более сложного вида.

Для записи граничных условий в новых координатах достаточно найти выраже­ ния для V, И при ^ = 1 и п, Д при ^ = 0. Так как уравнение ударной волны в коор­ динатах (г, г, ф, т) имеет вид ^ (2, г, ф, т) = 1 и ^ при малых со возрастает в направ­

лении убывания я, то для нормали V, направленной в сторону внешнего потока и со­ ответствующей скорости /), имеем формулы

Функции $, С, со, входящие в определение новой системы координат, не произвольны так как они связаны с формой тела. Если # (г, г, 0, *) = 0 — уравнение поверхности тела в цилиндрической системе координат, то $, С, со должны быть таковы, что

Отсюда следует, что, вообще говоря, две из трех функций могут быть заданы. Из геометрического смысла $, ©, Сследует, что наиболее удобно задавать $(л) и со (т],0), определяя затем б из уравнения (3.22) как неявную функцию (л, 0, I).

Для фактического вычисления б и ее производных в заданный момент времени и при заданных (т), 0) удобно применять метод Ньютона.

Если обтекаемое тело неподвижно и является телом вращения, ось г направлена по оси симметрии, а функция со не зависит от 0, то линии пересечения координатных конусов л =сопз1; с поверхностью тела будут и линиями пересечения ее поверхностя­ ми 2 = сопз!.

Иногда бывает удобно сохранить это свойство в случае любого неподвижного тела, использовав для этого свободу выбора функций со и$ и связав этот выбор с фор­ мой тела. Будем исходить из уравнения поверхности тела в виде г = #х (г, 0). Тогда определение функций©, б при заданной $(л) производится следующим образом. Преж­ де всего устанавливаем соответствие между значением %т на линии пересечения кону­ са ц = сопз! с поверхностью тела и значением л, задав функцию 2т = сг (л). Выбор о* (т)) может определяться дополнительными соображениями, связанными с требова­ ниями, предъявляемыми к расчету. После задания о’(л) функции © и б определяются

Описанный способ задания функции ©, очевидно, применим только в случае, когда любая плоскость х = сопзЪ пересекает тело по единственной замкнутой кривой, окружающей ось х. Для тел, имеющих более сложную форму (например, углубление в носовой части), необходимо задавать © (л, 0) и ( (л), а определять только б, в общем случае зависящую от (л, 0, *)•

3. Уравнения в окрестности оси цилиндрической системы координат. Чтобы за­ вершить аналитическую формулировку задачи, нам осталось еще рассмотреть окрест­ ность оси л = 0, где уравнения (3.1) и полученные из них (3.15) не применимы вслед­ ствие особенности вида 1/г в коэффициентах. Поэтому вблизи оси введем систему коор­

г определено формулами (3.14), т. е. (3.23)выражают С, я, у не через декартовы, а через

основные расчетные координаты л, 0. Во всех точках, не лежащих на оси, (§, х, у, I) выражаются черев (^, л» в, 0 и обратно через посредство формул (3.14). На оси, т. е.

Введем в качестве новых искомых функций компоненты скорости (II, V, IV) по

С производными Бхо и ^уо Дело обстоит сложнее, так как в (3.27) формально вхо­ дит их зависимость от 0. В то же время этой зависимости не должно быть, если по­ верхность Б = сопзЪ имеет при т] = 0 определенную касательную плоскость. Естест­ венно предположить, что это условие выполнено при Б = 0 и Б = 1,т. е. для поверх­

На границах области 65 заданы условия: а) | = 0 (поверхность тела):

б) | = 1 (поверхность волны):

Л + Т в(2Г, Р, Р-г» Рв, Хоо) = 0.

Первые четыре граничных условия не содержат производной Р{. Пятое условие можно рассматривать как дифференциальное уравнение для функции Р. При 1 = 0 считаются заданными значения

Если производится расчет стационарного течения методом установления, то Но» и Хоо не зависят от времени.

При т] = Н не задано никаких условий. Граница Т1=0 является фиктивной, обус­ ловленной системой координат, и особенность в уравнениях при л == 0 устраняется соответствующей заменой переменных.

По переменной 0 решение удовлетворяет условию периодичности с периодом 2 я Сформулированная задача с математической точки зрения чрезвычайно сложна и весьма далека от полного теоретического решения. В то же время построение и ис­

следование численного алгоритма невозможно выполнить эффективно, не зная ни качественного характера решения, ни основных свойств рассматриваемой системы уравнений и соответствующей краевой задачи. Частично такую информацию мож­ но получить из эксперимента, как физического, так и численного. Не меньшее зна­ чение имеет использование теоретических результатов, полученных для других, более простых случаев, например для линейных уравнений или уравнений с постоянными коэффициентами.

Основная идея применения этих результатов состоит в том, что условия, обеспе­ чивающие разрешимость (корректность) задачи в некотором более простом случае, могут рассматриваться как необходимые в более сложной задаче. Рассмотрение с этой точки зрения нелинейных уравнений осложняется тем, что изменение условий задачи (форма тела, параметры набегающего потока) может приводить к качественному из­ менению не только решения, но и типа уравнений, полностью изменяя математиче­ скую постановку задачи. В таких случаях на помощь приходит эксперимент, позво­ ляющий установить общую качественную картину течения и, постулируя ее, выделить класс задач с определенной математической постановкой.

Примером такого подхода является рассматриваемая задача об|обтекании тупого тела. Существование перед телом области возмущенного течения, отделенной от набе­ гающего сверхзвукового потока резкой границей — ударной волной, было установ­ лено и проверено экспериментально для большого класса выпуклых тел. Это позволяет проводить исследование математической постановки задачи для некоторого, достаточ­ но широкого класса решений.

Чтобы применить в этом случае результаты теории линейных уравнений, целе­ сообразно рассмотреть линейную систему для малых возмущений некоторого решения нелинейной задачи, качественная структура которого известна. Пусть функции

X (6, Т), 0, *) и ^ (л, 0, г) являются решением системы (4.1) с граничными условиями (4.2) и (4.3). Назовем это решение основным и рассмотрим его малое возмущение, ха­

рактеризуемое функциями бX = У (^, т|, 0, *)и6Р = / (т], 0, *). Полагая X = Х + У , р = р + Д выпишем систему для малых возмущений, коэффициентьГкоторой