книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

§ся большая свобода выбора семей­ ства поверхностей г) = сопз1. Это

имеет существенное значение при расчете конических тел с большим углом полураствора при малых числах Маха. В самом деле, в этом случае условие

2-гиперболичности и > с может оказаться невыполнимым ни при каких направле­ ниях оси г, в то время как условие (3.32) будет выполнено, если, например, выбрать со так, чтобы поверхности ц = сопзЪ были нормальны к поверхности тела. Вве­ дение системы координат общего вида существенно облегчает получение начальных данных для расчета сверхзвуковой области, если найдено течение в головной час­

шей точности начальных данных (см. § 9).

Для тел, имеющих сферическое затупление, получение начальных данных для расчета сверхзвуковой области может быть во многих случаях упрощено. А именно, если линия пересечения предельной характеристической поверхности (см. § 4) с по­ верхностью тела лежит целиком на ее сферической части, то течение в дозвуковой области и прилегающей к ней области влияния будет осесимметрично относительно направления вектора скорости набегающего потока. Для конусов и других тел вра­ щения со сферическим затуплением осевая симметрия течения в области носка мо­ жет сохраняться до значительных углов атаки, превосходящих угол полураствора конуса. Таким образом, один и тот же расчет осесимметричного течения около сферы при некотором М» может служить источником начальных данных для весьма мно­ гих случаев обтекания.

Для фактической реализации сказанного необходимо связать систему коорди­ нат, в которой течение осесимметрично в головной части, с основной системой, в ко­ торой проводится расчет сверхзвуковой части. Разберем это на примере кругового конуса с углом полураствора р, затупленного по сфере единичного радиуса и рас­ положенного под углом атаки а к вектору скорости набегающего потока.

Пусть (2, г, ф) — основная система цилиндрических координат, где ось 2 совпа­ дает с осью симметрии конуса, а (2, 2?, Ф) — цилиндрическая система координат, относительно которой течение осесимметрично в головной части (фиг. 16.1, а). Очевид­ но, что оси 7 и 2 пересекаются под углом ос в центре сферического затупления и что через линию сопряжения сферической и конической частей поверхности проходит круговой конус с осью 2 и углом полураствора я/2 — р. Пусть из расчета осесиммет­ ричного течения около сферы найдено (для данного числа Маха), что ЙШ1Песть минимальный угол полураствора кругового конуса с осью 2, поверхность которого имеет пространственный тип. Тогда, очевидно, для возможности использования осе­ симметричного расчета в качестве начальных данных необходимо, чтобы й т1п +

+я/2 — Р, или а < я/2 — (ЙШ1П+ Р). Пусть это условие выполнено, и для

Для возможности использования этой поверхности в качестве поверхности началь­ ных данных *1 = ц0 необходимо выбрать функции $ (ц), со (т), 0) в основной системе координат так, чтобы уравнение ц = ц0 было уравнением конуса Й = б. Легко ви-

то

вычисляются остальные производные. В заключение заметим, что при переходе от системы 2, Л, Ф к системе 2, г, ф компоненты скорости (С/, V, Т'Г == 0) должны быть пересчитаны на компоненты (и, г?, и;) по формулам:

и = V соз ос + V соз Ф зш а,

V = — II з т а соз 0 + V (соз а соз Ф соз 0 + з т Ф з т 0),

ш = {7зтосзт0 — V (соз а соз Ф з т 0 — зтФ соз0),

где

=5 — = • " я •

Н31П О

3.Обработка результатов расчета. Нет никаких принципиальных различны

вметоде обработки результатов расчета сверхзвуковой области по сравнению с обра­ боткой расчетов течения в головной части (см. § 9). Практически имеется, однако, некоторое различие, вызванное постепенным накоплением информации по мере про­ движения по координате ц. При расчете тел большого удлинения оказывается прак­ тически невозможным сохранять всю информацию, содержащуюся на сотнях и даже

вотдельных случаях тысячах шагов по координате ц. Поэтому для длительного хранения выделялись только сравнительно редко расположенные сечения по ц (или по 2), всего не более нескольких десятков сечений. Значения газодинамических функций в этих сечениях сохранялись и могли быть использованы для обработки многократно. Основным методом представления информации в сечении был принят метод построения изолиний различных функций, достаточно полно и наглядно отра­ жающий качественную и количественную структуру течения.

§ 17. Пространственные течения около параболоидов

Детальное исследование пространственного обтекания газом тупых тел необходимо проводить на основе полных уравнений газовой динамики без каких-либо упро­ щающих предположений. Несмотря на возникающие при таком исследовании труд­ ности, его целесообразность в настоящее время не вызывает сомнений.

Ведущее положение в исследовании пространственных течений занимают чис­ ленные методы, и в частности метод конечных разностей. Современный уровень раз­ вития численных методов позволяет в ряде случаев проводить детальное исследо­ вание пространственных течений газа. Следует сразу же подчеркнуть, что для этого численное решение должно быть получено с известной и достаточно высокой точ­ ностью, иначе многие существенные детали течения останутся незамеченными или будут сделаны неверные выводы о характере потока.

В этом и следующем параграфах приведены результаты расчетов и анализ сверх­ звуковой области пространственных течений около различных тупых тел.

Описание течений дано в цилиндрической системе координат (2, г, 0) или (2, 0). Начало системы координат помещено на поверхности тела в его вершину (эта точка совпадает с критической точкой течения при а = 0). Компоненты вектора скорости

и, V, V) отнесены к У р н/Рн, где рн и рн — значения давления и плотности невоз­ мущенного движением тела потока газа. Давление р отнесено к рп, а плотность р — к рн.

Расчеты течений выполнены при постоянном отношении удельных теплоемко­ стей к = 1.4.

В этом параграфе приведены результаты расчета и анализ течений около кру­ гового и эллиптических параболоидов.

Уравнение образующей кругового параболоида имеет вид 2 = 1.125 г2. Таким

щие таблицы всего поля течения для сверхзвуковой области. В § 10 и 11 даны резуль­ таты расчетов и проведен анализ дозвуковой и трансзвуковой областей течения около этих же параболоидов. Поэтому на основе результатов, приведенных в настоящей работе, можно получить полное представление о поле всего течения около этих па­ раболоидов.

1.Форма ударных волн. При увеличении значения координаты 2 расстояние Р

увеличении угла атаки а в полуплоскости 0 = я расстояние Р также увеличивается, а в полуплоскости 0 = 0 — уменьшается.

На фиг. 17.1 приведен график изменения расстояния от оси кругового парабо­ лоида до ударной волны в нескольких плоскостях ъ = сопз! в зависимости от 0 при а = 5° (сплошные линии) и а = 10° (пунктирные линии), Мое = 4. На фиг. 17.1 хорошо виден отмеченный выше характер зависимости Р от г и 0.

Наклон ударной волны к оси ъ в каждой меридиональной плоскости опреде­

фиг. 17.2 видно, что наклон ударной волны к оси 2 монотонно уменьшается во всех меридиональных плоскостях. Однако из этого еще не следует, что установление асим­ птотических значений будет монотонным и при дальнейшем увеличении значения 2.

Расстояние от оси эллиптического параболоида до ударной волны изменяется не так просто, как у кругового параболоида. Например, для эллиптического пара­ болоида, аг = 5, ^2 = 3 при малых значениях ъ и малых углах ос это расстояние мак­ симально не в полуплоскости 0 = я. С увеличением значений 2 и а максимум функ­

Фиг. 17.3

правлены к оси параболоида, а не как обычно — от оси. На фиг. 17.6 приведены гра-

V

фики функции V(2) для различных ^ и 0 для того же случая обтекания, что и графики фиг. 17.5. Обозначения на фиг. 17.6 те же самые, что и на фиг. 17.5.

Графики функции р (2) для различных значений !• и 0 могут пересекаться. На поверхности параболоидов и около нее может быть перерасширение потока по от­ ношению к невозмущенному потоку (р«< 1). Отметим, что в этих случаях при боль­ ших значениях ъ функция р (2) может иметь по крайней мере один минимум. В данных здесь примерах течений расчеты проведены до 2шах= 30 ч- 100. При таких значе­ ниях г давление имеет минимум только с подветренной стороны параболоида. На фиг. 17.7 приведены графики функции р (г) для случая обтекания эллиптического

На фиг. 17.8 приведены графики функции р (г) для того же случая обтекания, что и на фиг. 17.7. Сплошной линией обозначены графики для 0 = х/2 а пунктирной — 0 = я. Видно, что функции р (г) в этих меридиональных плоскостях не имеют мини­ мумов, но графики функций для различных ^ могут пересекаться между собой.

Рассмотрим изменение компонент вектора скорости, давления и плотности в за­ висимости от значения координаты 5, т. е. поперек потока.

Функция и (|), как правило, имеет максимум для 0]>О при значительных вели­ чинах ъ (ъ > 2). В некоторых случаях обтекания с подветренной стороны течения и (%) может иметь не только максимум, но и минимум вблизи от поверхности пара­ болоида.

При больших значениях 2 осевая компонента мало изменяется по Только у са­ мой поверхности параболоида в области энтропийного слоя происходит резкое уменьшение величины и, причем тем большее, чем меньше значение 0. При малых 2 осевая компонента вектора скорости, как правило, монотонно убывает по На фиг. 17.9 приведены графики, иллюстрирующие отмеченные выше зависимости. Штрих-пунктирной линией нанесены функции и (5) для случая обтекания кругового

цательны. Отрицательные величины V появляются с наветренной стороны пара­ болоидов при малых значениях 0 в области течения, примыкающей к ударной

р (^) от зависимости р (^).

Рассмотрим изменение компонент вектора скорости, давления и плотности в зависимости от значения координаты 0.

Осевая компонента вектора скорости с увеличением значения 0, как пра­