книги / Прогнозирование прочности и анизотропного состояния деформированных конструкционных материалов
..pdfправлений скольжения около направления л>» так что в е [ - р ( £ ) ,
1рис.7.
Впрямоугольном треугольнике (рис.6 ,Z) в плоскости Oij ка
теты параллельны направлениям скольжения п, и Ь , положение ги
потенузы определено выбором т, (углом <*>), |
и тогда положитель |
|||||
ное |
направление |
го определяется обходом контура |
треугольника |
|||
(по ходу или против хода часовой стрелки), |
совпадавшим с вы |
|||||
бранным направлением /л., |
|
|
|
|
||
|
В качестве |
общего вида |
следуя |
[1333, |
будем рассма |
|
тривать полярную функцию |
|
|
|
|
||
|
|
F{OJ)= (k/h,K<xfk -R<)> |
|
|
(3 .4) |
|
где |
к , k, 81 - |
опытные константы, причем |
k t h, £ |
1 , |
Заметим, |
|
что после подстановки в (3 .4 ) |
значения |
|
и продольно |
|||
го |
перехода |
получим |
+Аипг1.£С<д»“А'-- < |
> |
||
|
F(u>)«A |
|
А- 0 L |
А- 0 |
ДТ |
а раскрыв неопределенность последнего предела посредством при менения правила Лоситаля
, |
|
|
jL. |
к llm, |
кЦпг— :— =кUrn, |
--------- |
|||
.t-*e |
h, |
А-*0 |
oL |
Л.**0 |
|
|
|
сОг (h>) |
|
- u T h In , o>
- АЪгсо,
*
приходим к логарифмическому виду полярной функции |
упрочнения |
(3 .4 ) |
|
f(o>)-A IrtCc/co). |
(3.5) |
Пусть максимальное касательное напряжение T (t) |
в материа |
ле в процессе его нагружения является монотонно растущей функ
цией параметра |
^-времени. Под действием Т ( О |
в |
некоторый на |
||||||||||
чальный момент |
t 0 начнется пластическая деформация |
|
материала |
||||||||||
путем скольжения в |
направлении иод углом я /4 к |
главным |
осям |
||||||||||
или под углом тс/4-Ф U 0) |
к |
оси 0J в системе обычных |
осей |
Oij |
|||||||||
(см .рис.7 ) . Здесь |
Ф( t 0) |
- |
значение в |
начальный момент |
сколь |
||||||||
жения некоторой угловой функции Ф (*), |
выражающей величину |
угла |
|||||||||||
поворота в любой момент |
t обычных осей |
Oij |
в положение главных. |
||||||||||
Поскольку известное выражение для касательного напряжения |
на |
||||||||||||
наклонной площадке о нормалью р в любой момент |
£ |
имеет вид |
|||||||||||
|
хр- -■^•(^-<5t)sLn ЯФ t) +*ty cosZ<p(t), |
|
|
(3.6) |
|||||||||
то для случая, |
когда площадка с нормалью р |
главная и . |
следо |
||||||||||
вательно, хр - |
0, |
угловая функция |
Ф (^) дня начального момента |
||||||||||
t 0 , |
любого другого момента t и за |
интервал времени |
д £ * £ -£ й: |
||||||||||
|
|
Ф и « )“ Ф,,—J |
ttrc t9 e -(te) - « 5 ( f , ) ' |
|
|
|
<3.7а) |
||||||
|
|
Ф « ) - Ф <4 а г с 1 д ^ | ^ у , |
|
|
|
(3 .7 d ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Й-Су«.) |
I |
|
(3 .7 в ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
Ф(д£)»Ф <-Ф 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В начале скольжения максимальное касательное |
|
напряжение |
||||||||||
T (t* ) на начальном направлении скольжения равно |
значению |
ани |
зотропного предела текучести металла на сдвиг под углом и А -Ф , к оси Oj. Анизотропный предел текучести получим, используя урав
нение годографа пределов текучести н& растяжение [104] для пло скости Olj , которое в общем случае выражается функцией
siri4,к sirvacc со$го£+ cos^ot^ , (3 .8)
причем |
|
Ъу /(IJ )= \/т л-Ы /кг-(4/т .)(\/1*+^г ), |
(3 .9) |
||||
где |
I , J , |
К |
- измеренные в направлениях осей |
I , j , А |
преде |
||
лы текучести |
на растяжение материала до |
деформации; |
- |
ко |
|||
эффициент |
отклонения формы годографа от |
эллипса; |
ш = 2 |
и |
4 - |
||
для |
слабо |
и сильно анизотропных материалов соответственно. Вос |
пользовавшись критерием Мнзеса, представим предел текучести на
дцвиг для |
плоскости |
Oij в виде [45, |
104] |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.10) |
|
Подставляя |
в (3.10) |
значение <3FTct |
по |
(3 .8 ) о /л. =2 |
для |
угла |
<х- 5г/4 -Ф0 и приравнивая к T ( i e) |
полученное таким |
образом |
для |
|||
направления начального скольжения частное значение |
'Бт(ж/4 - ф ,) |
|||||
годографа |
т То( будем иметь для момента t Q следующее условие |
|||||
квазистатического равновесия: |
|
|
|
|
+w |
‘ |
'*•)'+7*“ **( т ' ф')] |
(3-ш |
|||
В этот же момент Ьй сопротивление |
сдвигу |
(предел текучести |
на |
|||
сдвиг) в направлении т, будет равно |
|
|
|
|||
т(*/4 |
|
|
7 / И |
т +в» - 4 |
|
|
*«»*(f + V ♦.)+j. |
+®.~ |
|
(3.12) |
|||
Сдвиг по действующим системам скольжения приводит |
к |
ани |
||||
зотропному упрочнению, |
т . е . происходит деформационное упрочне |
|||||
ние материала, |
меняющее состояние |
его анизотропии. Подставляя |
||||
выражения (3 .2 ) |
и (3 .3 ) |
в (3 .1 ), |
получим уравнение для |
обус |
ловленного деформационным упрочнением приращения сопротивления сдвигу в произвольном направлении т к моменту £
^ - ^ F ( w ) y ( 0 , * ) d e . |
(3.13) |
43
j , К ( к - в направлении по нормали к рассматриваемой плоско
сти U ) и подотавляя (ЗЛ7) и (3.18) |
в (3.16), получим обобщен |
|
ное условие пластичности |
|
|
А! |
|
(<V<5/)\ 3 L 1. |
г |
|
|
Так как |
-T(d) , то ив последнего выражения получим |
. j _ L L - |
{ 'А К*<Ъ-Ъ'>‘ У * |
(3.19а) |
||
к * \ р |
2 кя}\ |
г |
J • |
или
(3.196)
Если I- J KK~GT г выражение в квадратных скобках в(3.19) принимает вид
Но так как 6V-V3TW согласно (3.10), то для случая сфериче ской изотропии материала вместо (3.19а) будем иметь
Возводя в квадрат (ф -ф >У [4Т^]+т§/[т*(<)]=Н |
н умножая |
|
все члены |
на 4Тг(О г получим 4Т2(*)«(«*-с^)*+4т?; |
> в резуль |
тате чего |
окончательно приходим к известному уравнению |
|
|
Т « > - £ т - в ,) * + 4 1 ф . |
(3.20) |
Равенство Sm.(&0г^)= ^trv^Ot ^ , представляющее собой ус |
ловие квазистатического равновесия в момент |
t , запишем в раз |
||
вернутом виде, |
используя уравнения (3,14) и (3.15): |
||
|
"p fl/J* з1аг( т + ®»'ф')+ J j sta'( - f + в. ' *<) е о з ^ * О,-Ф,)+ |
||
i |
аfit |
\т1Л < flV^ |
|
+rjCOS U +e«'<t,vJ +Щ |
. (3.21) |
||
|
|
|
45 |
После математически преобразований
_т С0 9 4 т +(в°"ф,)]=
* ~ - ^С05^-С052(ео-Ф 0“ sitbj- Sin О Д-Ф *)]"^[\+ sin,Я(в0-Ф,)],
со»А( £ +в0-Ф1) -0L5[l-eiitfc( V * i 4 ,
sia£^ +80-Ф^ cos* +80- |
= Q,5[4+sln.2 (80-Ф<)1* |
х 0 ,б [< - airv 2 (б р —ф ,) ] - |
0 ,г 5 [ \ - sin,* 2 (fl0 - ф4) ] |
выражение в квадратных скобках в уравнении (3.21) принимает вид
1 , 5^ ( | + ео-Ф ,)+ ^ з ^ ( | +в0- Ф^ ^ +ео-ф )+1 |
^ |
+е0-Ф 1) . |
-Щ- + ^ f r t Щ+[Щ |
sin, г (e„-*() - ^ ] s ia 2 ( e 0-* ,). |
Пренебрегая в полученном выражении членом [0,2.5/i^/tTj)]з1ггг t^(0o—Ф4*Й высшего порядка малости (форма годографа предела текучести ма ло отличается от эклиптической), найдем, что
м , 4 2 а
Далее можно преобразовать о учетом функции |
(3 .4 ) |
условие ква- |
|||
зистатического |
равновесия |
(3 .21) |
в направлении пь в плоскости |
||
деформации Lj |
для момента |
t к |
следующему |
виду: |
|
Jj-U (-a £ -£ )*t*fc-*>р+
« 1 %
+ |
к |
сЬ<*> |
I-/L |
|
(3 .2 2 ) |
|
Ш |
) |
( |в - в . Г - в ,) ? ( М М в - Т « ) с о 62 (в 0-Ф (), |
||||
где угол |
ш |
в |
функции F(.u>) |
типа (3 .4 ) определяется |
описанным |
|
ранее |
опоообом (см.пояснение |
к р и с .6 ,а ): |
|
« - 1 |
|
|
|
|
o . 4 - f +P*<4)’ f - f t w |
l |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 .2 3 ) |
||||
|
If-If* |
|
|
|
Po6 [^|—f t W |
. f +/M 4)J, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для исключения из уравнения (3.22) |
|
|
проведен следующие ма |
|||||||||||
тематические преобразования. Запишем выведенные в работе |
[104] |
|||||||||||||
выражения для параметров |
анизотропии |
Му =L,M,N: |
|
|
|
|||||||||
|
|
ZML |
|
2 |
. 2 |
1 |
JHL |
|
|
(3 .24) |
||||
|
|
1г J& /С* IJ |
|
|
|
|
|
|||||||
Подставим вместо |
2Му его |
значение |
из (3.18) 2 / ^ и А£<к/>» |
|
ГДО |
|||||||||
- Т |
, а Т |
в свою очередь выразим функцией (3 .1 9 ). |
Тогда |
|||||||||||
получим формулу (3 .9) для рассматриваемого случая слабой |
ани |
|||||||||||||
зотропии, |
когда |
лг= |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выводе уравнения |
(3.22) была получена функция |
(3.21а), |
||||||||||||
при подстановке в которую значения |
П уАи)по |
(3 .9 ) при |
л* * |
2 |
||||||||||
после приведения подобных приходим к уравнению |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
» г (\/Т г + 1/К *Г,/г. |
|
|
(3 .25) |
||||||
При |
J - /C - б ^ - б т |
выполняется |
равенство |
(3 .2 0 ), |
и |
в |
ре |
|||||||
зультате |
подстановки |
его |
в |
(3 .25) |
получим |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
„ |
, , f |
|
* |
|
. |
П |
' й |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
4 |
|
| |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
С .-< 5)*+ 4х?у |
e f |
“ в * |
’ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.26) |
||
Таким образен, для изотропного .материала формула |
(3 .25) |
|||||||||||||
превращается в извеотное энергетическое условие |
пластичности |
|||||||||||||
Губера-Мизеса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
(3.25) |
в |
уравнение |
(3 .2 2 ), подучим |
|
|
|
|||||||
|
» т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Рь«> |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ - ^ - \ |
(1в-8,| |
-8,)<f(e,Orfe-Tcos2(8j-+,). |
(3.27) |
||||||||||
|
YZh Ч р<«) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бели теперь положить
s . - e . - s , s = b ^ L, v ($>*>“
то уравнение (3.27) преобразуется в линейное интегральное урав
нение Фредгольма |
к |
|
€№ |
(3.28) |
|
3 |
(1?-?0Г -Bj<f (£ ,t)db- /< $ 0, *), |
Действительно, |
| £ - |
= |
<?(£» О в <Р ( £ + Я» * )" ф(0»О* |
||||
Пределы интегрирования |
в (3 .27) - ft (*)•♦. f t (*) |
охватывают ве |
|||||
ер направлений, |
ограниченный суммарным углом f t ( 0 + f t ( 0 a2 p (i) |
||||||
и симметрично расположенный относительно направления |
Т (£ 0) - |
||||||
начального скольжения |
(см .рис.7 ) . Пределы интегрирования |
в |
|||||
(3 .28) |
охватывают такой же веер с суммарным углом |
и так |
|||||
же расположенный относительно |
Т (/<>). Следовательно, |
величина |
|||||
интеграла в (3 .28) осталась той же, что и в (3 .2 7 ), |
так |
как |
|||||
подынтегральные функции и интервалы интегрирования |
соответст |
||||||
венно |
эквивалентны. |
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы получить |
значение функции |
/ ( £ 0,£), исполь |
|||||
зуем подстановку |
в |
(3 .15) и тригонометрические |
фор |
||||
мулы преобразования синуса и косинуса суммы аргументов |
|
- ^ г с о з г ( ^ + « - Ф , ) - г / | ^ [ ^ + ^ + 2 ^ - ^ ) $и г ( ^ +в-Ф([ =
= ~ ^ T (c O s 2 ( f - $ ,)M s 2 S „ - s i* 2 (J - * l)stR 2 S 0] - 2 | / ! ^ { J 5 + ^ +
+[со52(Л-Ф| ) sin, 2 £ 0+ sin Жв-Ф,)cos £<£0]j /
Раскладывая si.a& £0 и с о з 2 £ 0 в рад Маклорена, после про стых преобразований будем иметь с точностью до
/ f e , < ) = ^ T [ ( b 2 ? t + f r t ) c“ ‘« - ,«>.)-2(i;o- 4 i ; 0 ^ 2 ( « - ^ ) ] - 2 y f A »
Х(т» + Ь ) |
Д 3 .2 9 ) |
48 |
1 |
Чтобы преобразовать выражение в фигурных скобках функции (3.29) к интегрируемой форме, воспользуемся разложением в ряды:
I) из [31]
. x la flt |
(xtn,o. ) 4 |
a |
а * .* * 1**. [*+—И— + |
oj |
<*4<©о>, |
|
{<+b[afe0=-|-55)cos2M-4>,)+(l-&i;5 + 1 |
s t r v 2 W - $ , = |
|
|||||
« i - - ^ in { i+ b [ |
]} + -f (in.{<+4[ |
Cint1+bt |
l } ) 1; |
|
||||
|
2) далее, из |
[31] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*-<)* |
(х-1)г (аг-О4 ^ |
|
|
|
|
|
1|х л = (л - 1 ) - |
Z |
3 |
" 4'*, (0< x £ Z ). |
|
|||
Численный анализ показывает, |
что условие |
сходимости |
разложе |
|||||
ния |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
| *-11 - ) б [2 (? „ - f |
5 г)с08Я « - ф ,) + ( ( - 2 ? |+ § < $ s in 2 («-«,)}]<) |
|
||||||
для |
анизотропных металлических материалов |
(в том числе |
компо |
|||||
зиционных) всегда выполняется, так как |
Ь-~+1, а значения |
£ 0 |
||||||
всегда малы, ибо направления скольжений должны быть |
близки |
к |
направлению действия максимального касательного напряжения, при нятого за начало отсчета углов.
Применяя последовательно разложения I ) и 2 ), |
носав |
всех |
преобразований получим для подстановки в (3.29) |
с точностью |
|
до s i |
|
|
(Н 4 [2(?г |5 ^ о о зг(^ Ф > (|-2 ^ * + |^ * )з1 а 2 Й -Ф )]} 'Й. 2 ^ о . < 3 .31)
где коэффициенты ^ выражаются многочленами:
/f0= i — |
Ъsin, Z($-Ф4) —g -^sin2£ |
(9-4^ ) - |
ЬъslaJ ZW -Ф ,) + |
+ - jb l *inz Z(B-% ) cos.2W |
-^)+ -jfc bASin4 Я(Я-Ф4) - |
||
- ^ |
i 49ia3- Я(Я- Ф4) COS Z(6 - Ф,)~ ^ |
Ь5sia5Z(S ~Ф<)+ |
+ jj-bss i f t * Z ( $ - 9 i ) c o s Z ;
~ T b5sin2£(tf-4»4)cos2(tf-®,)-b ^ ^81гъ3а(£-Ф,)&052(в-Ф,)-
44 sin* Z(8-% ) Мй12(1!-Фу) - 1 | 6s sin4г (tf-*4)cos2(tf-*\)~
|
6 ssin? ЖЯ-Ф,) со&*г(£-Ф,)-...; |
/4г-дз1п.г(5-Ф<) + ^ 6 г&1а4г(^-Ф4)+ -|-ь г со$гг(5 -Ф ,) + |
|
+-|- |
$'иъЖЯ-Ф4)с,05г2(£-Ф4> |
“ §4* sin4 Й.(А~Ф|)+^£ 44 sin5Я(0-Ф,) cos 2(8 -Ф4) + |
+ ^ б Ч 1 п г ЖЯ-Ф1)со$гЖ о-ф 4) + ||б 5^ 5ЖЯ-Ф4)+
Ь5з1пАЖ$-Ф4) совЖЛ-Ф,)- | | Ь6 sin5 г(5 -Ф 1)со5гЯ(^-Ф4)+
+ jg б58игг Ж $-Ф 4)соз5Ж А -Ф 4К . . ;
|
><5— ■|-6со82.(б,-Ф4)+ ^ Ьг з1пЖ^-Ф4)созЯ(^-Ф,)+ |
|
|
Ьъsin*&(8 -Ф4) cos 2 (tf~Ф4) - - | Ььcos*2 (8 - Ф4)- |
|
- Ж |
ь*йл>г(8-Ъ )сль2(8-% )+47бАзш*Жв~Ф4)со5гЖЯ-Ф> |
|
+ ^ 6 4 з1п.2(Я-Ф4)со$5Ж$-Ф4)+ |
^аш ?ад-Ф 4)со&гв-Ф,> |
|
+ - ^ |
Ь5 5\ль2(8~Ф^)сх>^2(8-ФА) - ^ |
65sm5 2(8-Ф ')соь12($-%)\..\ |
л4— ^б81пг^-Ф4) - :| б г з1пгя(5-Ф4) - я б гсозг г(й1-Ф4) -
-% ь 1&г?г($-Ф А) + ^ ь 1$1Г1г(8-ФА)1оьг2 ($ -Ф 1 )+
-» - ^ - 6 4 31П4 Я № -Ф 4) * - ^ Ь4 б 1п* 2 (5 '- Ф 4') COS Я ( б - Ф ^ ) -
-^ Ь 451пгЯ(^-Ф4)соз2Я№'Ф1) + ^ 6 4со54Я(5-Ф1) - Щ - ^ 51г152^ _ ф ^
-^ Л 1 а 4Я($-Ф4)с0 5 Я № -Ф ,)+ Ь * 5 1 п 4Ж£-Ф4)соз2йД0-Ф4) - Aysin*2(tf-$4) cos32« -*4) - £ | A5sin г® -*,) cos42 (M > )-..(3 .32)
50 .