книги / Прогнозирование прочности и анизотропного состояния деформированных конструкционных материалов

-A * dp + (47- р ) dfix +рс£Л,л ±

p d /i^ O .

Обозначая

S - 2 |^ /Ы , будем иметь

d p /d k ,в + (8 /h x )p

(2 .3 )

Таким образом, получили линейное дифференциальное уравне­

ние

вида

y f+ Р (х)у - Q (х),

(2 . 4 )

где

х ~ А ж,

у —/>.

у '= d y /d x —dp/dkx f

Р (х ) ^ <?АЛ,

•c/A*.

Общее решение уравнения (2*4) будем искать по методу Фурье.

Представим в (2 .4 ) у

произведением двух

функций и(х)

и и(х),ко­

торые затем

последовательно определим:-

и 'и + и и г + Р'Ы)ио mQ(x)t

или

ц/ v + и [ t/f+P(x) v] -

Поскольку одну из функций ( и, или

V ) мы можем назначить

неза­

висимо, то наиболее выгодно подобрать значение

V таким

обра­

зом, чтобы выражение в квадратных

скобках в последнем уравне­

нии обратилось в нуль, т .е . в качестве функции

V берем

любое

частное решение дифференциального

уравнения

u '+ P (x)v~ Q t дли

d v /d x + Р(х) о •О,

§ 0” C ,A j + i/ff,

откуда

Сц = ( 8 $ „ - O A -J/i.

Таким образом* для зоны отставания получим следующую

функцию

распределения давления на валок:

(2 . 8 )

Совершенно аналогично для зоны опережения при

,

бГ* «

(СГ|

-

напряжение

от переднего натяжения), и тогда

fSK+p=Z'tr\

в сечении выхода,

или

~ СЙ| /С й т Т| ) .

(2*9)

Подставляя теперь

(2 .9 ) в уравнение (2 .6 ),

записанное для

зоны

опережения с верхними знаками, при

получим значение

С ,,

которое

подставим

затем в (2 .6 ). В итоге для

зоны

опережения

будем иметь

/> Л --0/<f )[(£ |,+ 1 )(А*

(2.Ю)

т .е . получили

известные формулы А.И.Целикова

(2 .8 ),

(2 .10)

для

зон отставания и опережения соответственно.

Объединяя (2 .8 ) и (2 .1 0 ), можем записать

р А -±(V ® )[(<Р$,т

1

J

где

I

= 0 и верхние знаки - зона опережения,

а I -

I

и

нижние

знаки

-

отставания.§

§

2 .2 . Решение, основанное на аппроксимации

дуги

контакта параболой

В этом случае соотношения геометрических элементов в оча­

ге деформации

(см .рис.1 ) будем выражать через

два утла:

теку­

щий угол

*

соответствующий текущим значениям координаты ос и

высоты

который входит в уравнение равновесия,

и

полный

угол захвата <*, который используется, в частности*

в

гранич­

ном условии для зоны отставания. При этом

0 < o tJC^ o t,

-

Подставляя в

уравнение равновесия (2 rl)

соотношение

*

tgw*') с

учетом (2 *2 ) и расп и вая

скобки,

после

при­

ведения подобных членов будем иметь

( 2 .Si)

Учитывая, что

при малых сх со$ыЛ«1 и ac=/?tgotx созс*я е*

« /? tg c i,, параболическую зависимость АЛ от ас запишем в

виде

^ - /ц + ж У Я - Л ^ + Я tg 2<*x .

( 2 . 12)

Затем введем параметр w , связанный с а х соотношением

t g UJ~]/R/KA fcgot*.

(2 л з )

Тогда

, и (2.12) примет ввд

+ ty z io )t

(2.14)

Дифференцируя (2.14) по w , с учетом тригонометрической

форму­

лы s e c * a /- tg eftM

получим

« й А ^ д ш secaw = 2 A < tgo;(H tgaw).

(2.15)

U p -(± pA + Z 'ctgw )dtv^ 09

(2.16)

которое в классической теории прокатки решается методом,

пред­

ложенным А.Надаи [152]: с помощью умножения

на интегрирующий

множитель е “*ш. Мы же будем придерживаться изложенного

выше

метода.

Из-за малости ос., учитывая

(2 .1 3 ), можем положить,

что

tg u/**w. Тоща уравнение (2.16)

приводится к

виду (2 .4 ):

В зоне опережения при

= 0 w -

0; из

условия,

пластичности

при 0

^ - в*

для сечения выхода из

очага

получаем

(2 .9 ), и тог­

да из

(2.17)

С * -* , + Я/Л*.

Подставляя

полученное

значение С\

в уравнение (2 .1 7 ), записан­

ное для зоны опережения с верхними знакомя, будем иметь

/> Л - (^4*^ /A ^ )eAw-iZ /A MKi*Aw ),

(2 .18 )

си-

ос ,

СГж- б о и из условия пластичности получаем (2.7).

И тогда

из (2 .1

7 ), записанного для зоны отставания о нижними

знаками,

получим выражение для константы в виде

после

подстановки которого в уравнение (2 .(7 ) будем иметь

окон­

чательно для зоны отставания

ув/т “

{\-Аи)\

(2

.19)

Следовательно, отказ с целью повышения точности результа­

та от

простейшей аппроксимации дуги

контакта хордой цриЕёл клас­

сическую теорию

к усложненным уравнениям (2 18) и

(2 .1 9 ). Осо­

бенно серьезным

недостатком этого решения является

отсутствие

но,

координата нейтрального

сечения юн (а по ней

определяется

е*и

согласно (2 .13)) вычисляется из уравнения,

полученного при­

равниванием друг

к другу

значений функций p / t

для

зон опереже­

ния и отставания

в точке

и>н

, т .е . из уравнения

( * + % ) - %

0 - ^ - *

В зтом уравнении

неизвестное

wH задано неявно

и достаточно

где *> - коэффициент Пуассона;

£ - модуль Юнга материала валка.

Понятно, что в подобную формулу всегда должно входить р -

давление па валок, и отсюда следует неизбежность

многократных

пересчетов.

Ниже сделана попытка дать

инженерное решение

контактной

руется приближенно без предварительных

аппроксимаций, но

так,

чтобы при ожидаемом повышении точности результата

координата

нейтрального сечения определялась явно

заданной функцией,

ис­

ний и деформаций применительно к специальным случаям,

таким,

как прокатка анизотропно упрочняющихся металлов и сплавов,

а

также композиционных материалов и' главным образом -

построение

базовой математической модели в теории формирования

механиче­

ских свойств проката.

Полагая из-за малости (*х , что

t g ^ / a ^ o c ж/ а и

/?осж« л , получим

(V

)»• Ясс* - Х Л/Я ,

где д А/£

- разность между фактической толщиной полосы

после

прокатки

/Ц и толщиной, которую

имела tin жесткогогастичная (не-

упругая)

полоса после прокатки в

абсолютно жестких валках.

Рис.2. К определению поправки дА*

и

угловых параметров очага деформации.

Вследствие симметрии очага приведенная к одному валку по­

правка будет

д/ь^/2 (рис.2 ). Из рис.2 опред'ляются также

угло­

вые параметры

очага, которые понадобятся в дальнейшем.

Из соотношения

= t g — i—,

принимая,

что SLTU*/»

1

tg c /,/2. « 0^ / 2 , получим

оLA=}ftsAe /R .

(2.21)

Записаа теперь для всего

очага деформации

(0<

+с<)

•^[А(« ,) - (А,-дА.,)]

!«*-«(!

2 — •

—

-------- t g — —

с учетом выражения (2.21) получим

+

V[h,(sxK)-(h.fhk.Ey \/R

,

(2.22)

здесь

А (« я ) - условная текущая высота полосы в

очаге,

когда

валки

абсолютно жесткие,

а полоса деформируется

упругопласти-

Подставляя (2 . 2 7)

и (2.28) в (2.28) и решая

подученное

уравнение относительно

«Л после

интегрирования получим

j ^ + C

.

(8 .39)

Подстановка (2,29)

и

(2 .28)

в уравнение p**uv

приводит к

формуле вида (2 .5 ) общего

решения уравнения (2 .2 5 ):

( 2 -зо )

Подстановка

tdhx /k ^ Z d .t/t

проводит

внутренний

интеграл в (2.30) к табличной форме,

и,

принимая

во

внимание

при раскрытии модуля, что Л0> Л &Б>Л^

, получим

С

Л

Г

d t

*ЬХ,5А1.[А..-(Ач-ЛЛг)1

i[(Ar 4AfH » f

Z}LXt

■la

t*

HIa

lihE)

'* ~ Л * -(Д г дА£) >

0

Z{kr

K V A/t£M * l

где

(2 .31)

Таким образом, для подстановки в

уравнение

(2 .30)

будем

иметь

т;

а!

’)

Т Г (2,32)

Интеграл (2 .32) с помощью подстановки

i

А*-ДА*

±

- Д

А

* tJ

1-----1-7-----=

+ —T i— d h » - d it

(2 .33)

Лх

dh.*

*

1 л 0 -$ )я “ ^2 + ~

+ “ -+ ...^,

где 0 < ^ < 1

при допустимых пределах для этого

ряда -1 4 i < 1,

преобразуем полученный результат:

Г

t*►

0 М )

N(N+0, Ш +1)

/ 0= - Т И

- -

+ //- (Vi+

t +

t z ь

Подставляя полученный результат

в уравнение (2 .3 0 ), записанное

с нижними знаками, получим для

зоны отставания

+2(//*+3N +Z )(l-.V A*«)_0(0+ 5)j.

(2.35)

Константу СА определим из граничного условия при

АЖ=А0

с помощью формулы (2 .7 ):

До ) '

(2.36)

( Л /к + г ) ( ь - ' - ^ у + г м ч з н *z)U -

) ,

для зоны отставания окончательно имеем:

30