Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 556 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Здесь также существуют LS-, S -, HS- режимы с обострением.

Для LS-режима были построены высшие собственные функции

нелинейной среды. Интересно, что для них характерна та же

закономерность, что и для одного уравнения (2.3), - в об

ласти немонотонности они хорошо согласуются с решениями линеаризованной задачи [123, 126].

Рис. 2.9. Смешанный режим. LS-режим

с обострением по первой концентрации

и //S -режим с

обострением

по второй.

Параметры расчета

<7^

<Т2

= 3;

Р, = Р2 = 1,5;

у ,

jr2

= 1,5; k

= 1;

= q

= 5,25;

0.0;

7,45-10

;

<3 = 7,708429’ 1(Г^

Вместе

тем

поведение

системы

(2.16)

при

—»

да

леко не всегда определяется автомодельными решениями. Это

показывает следующее простое рассуждение. Рассмотрим

пространственно однородное решение их = vx = 0> можно про

верить,	что при	этом		уравнения (2.16)	имеют	интеграл (q^ =
= Я2 =	!)
	и а1/а1 -		v а2 /а 2 = С,		+ 1 -	3r
	а2 =	T2 +	1	“ А ’		(2-17)

Значение постоянной определяется начальными данными. Тогда ясно, что при < 0, а2 < 0 режим с. обострением по первой компоненте (и —» со, t —» t{) имеет место, когда С > 0, по


Рис. 2.10. Выход на собственную функцию нелинейной среды в S-режиме в
трехкомпонентной		среде, описываемой		системой (2.18)			kQ =	1,0;	= 5,25;
			= 0,0;	=	8,9-10,-2 <3		= 2,91-10-1
второй -	когда		С < 0 и по	обеим		компонентам,			если	С	= 0.
Естественно,		что автомодельное			решение,		описывающее			режим
с обострением по обеим компонентам (даже то,									которое		опи
сывает	простую		структуру),	будет		неустойчивым.			Именно та
кая картина		и	наблюдалась	в	проведенных			расчетах			[123].

Кроме того, большой интерес при исследовании двухкомпо

нентных систем вида (2.16) представляют			режимы с	обостре
нием, прн		которых полуширина различных	компонент	меняется
по	разным	законам. Пример такого процесса представлен на
рис.	2.9.	В этом случае локализованной	оказывается только

одна компонента.

В	модели (2.3)	режимы с	обострением	существуют,		когда
0 > 1,	а локализованные структуры - когда 0				> <r +	1. Это
является	достаточно	жестким	требованием	для	многих	реаль

ных моделей. Однако такие режимы возможны в системах, где источник по компоненте и не зависит от самой этой компо ненты. Таковы, например, уравнения

и{ = kQ (иих)х +	qQvw,
v t = k0 ( VVJ X +	% U W '	(2-18 )
wf = kQ (wwjx + qQuv.

Можно убедиться, что решение (2.9), (2.10) удовлетворяет этой задаче при и = v = w. На него и происходит выход в

проведенных	расчетах. Пример такого процесса	показан на
рис. 2.10.
Для многих моделей физики плазмы характерны степенные
зависимости	коэффициента теплопроводности от	температуры

[94].Поэтому модель (2.3) эффективно использовалась при

решении ряда физических задач [94, 121]. В задаче о

0-пинче использование локализованных процессов позволяет уменьшить теплопотери с торцов, что может привести к

уменьшению размеров экспериментальных установок [95]. Отметим, что LS-режимы с обострением могут сущест

вовать и в средах с постоянной теплопроводностью. Это поз волило использовать уравнения (2.3) для описания начальной стадии многих процессов в качестве упрощенной модели. Например, в работе [37] такой подход позволил объяснить эффективное сокращение полуширины профиля температуры,


наблюдавшееся			при	окислении некоторых		металлов	в воздухе
под воздействием лазерного					излучения.
	Представление			о локализованных		процессах,	развиваю
щихся		в режиме с		обострением, оказалось очень полезным и
при	решении многих			других задач в физике и газовой динами
ке. Эти		проблемы подробно обсуждаются в обзоре [92].
	При исследовании модели тепловых структур анализ сис
темы	намного		упрощало		наличие известного автомодельного

решения. Встает вопрос,	насколько	широк класс	коэффициен
тов теплопроводности и	источников,	для которых	такие реше

ния существуют. Он был решен в ряде работ, где использова лись методы инвариантно-группового анализа. Подробная биб

лиография этих работ содержится	в обзоре	[58].
В этих исследованиях были	найдены группы преобразова
ний, допускаемые уравнением (2.3) (т. е.		не	меняющие его)

при произвольных k(T) и Q(T). При этом наряду с группами точечных преобразований

С	=	f(t,	х,	Т\	Oj, ....	аг),
х		^[(^,	х,	Г,	•••*	(219)
Т	=	<p(t,	х,	Т,	ау ....	аг).

где аг - параметры r-параметрической группы Ли [153], были рассмотрены группы Ли - Бэклунда, (содержащие наряду с за висимыми и независимыми переменными все производные до бесконечности), которые задаются преобразованиями

х* = х + £(f,		х,	Т,	Ту	Тг	...)а	+	о(а),
Г	= t + тit,	X,	Т,	Т у	Т 2,	...)а	+	о(а),	(2.20)
Т	= т + U(t,	X,	Т,	Т у	Тг	...)а	+	о(а),

Было обнаружено, что набор k(T) и <3(7"), при которых существуют автомодельные решения, далеко не исчерпывается

степенными и показательными	функциями,	а	оказывается
гораздо шире. В этом случае	удается не	только		решить
задачу инвариантно - групповой	классификации,		но	и найти

много частных решений, представляющих физический интерес.

Например, уравнение

<ту <г2 > 0, 0 > 0,

(2.21)

Описывающее распространение тепла в анизотропной среде, имеет автомодельное решение вида

u(x,y,t) =

(tf -

0 1/(1_Э)

u(Z,V),

0.5(О-

Э)/(Э

( 2. 22)

€ = * ( ', - 0

V = y(tf -

0.5(0-

Э )/(Э

Из

этой

формулы

следует

неожиданный

результат -

тепло в

такой

среде

может

быть локализовано по одному направлению

(£(()

< С)

может

неограниченно

распространяться

по дру-

тому

(7КО —» ю).

При о,1 = o-g = o' уравнение (2.21) имеет другое пара

доксальное решение

[58]

u(r,B,t)

(ff

о И1_Р)

«(Л.*).

= r(t{

0 0.5О-о-МН*>,

0О -

с0

ln(/f -

t),

(2.23)

х =

г cos0,

= г sin0,

в котором локальные максимумы должны двигаться вдоль лога рифмической спирали, раскручивающейся (3 < <? + 1) или за кручивающейся (3 > о- + 1) при t —> tf. Подчеркнем, что та

кие сложные решения могут существовать в одном уравнении

теплопроводности

источником,

где

в силу

принципа

макси

мума температура в каждой точке

не

убывает

[170].

Несмотря

на то,

что до

сих

пор не были

построены

собственные

функ

ции нелинейной среды такого типа

(u(R,Ф)

при

cQ *

0),

сама

возможность

существования таких

решений

представляется

очень интересной.

В последние годы была развита математическая теория,

которая

сделала

автомодельные

решения еще более

полезными

при анализе нестационарных диссипативных	структур	[170]. В
ее основе лежит идея сравнения различных	решений	нелиней

ных параболических уравнений. Обратимся к рис. 2.1. Видно, что вначале амплитуда решения падала, однако затем функция

T(x,t) начала расти в каждой точке профиля. Распределения, у которых Т{(х,0) > 0, были названы критическими. Можно

убедиться, что во многих задачах типа (2.3) критические начальные данные приводят к критическим решениям при t >

> 0. Оказалось, что можно доказать большой класс теорем сравнения для различных критических решений.

Например,			если два		решения		T^\x,t)	и	1®\x,t)		за
дачи	(2.3)	критичны		и	7^(дс,0)	>	Т^\х,0),		то	1<'\x,t)>
> 7<2\x,t).		Это	позволяет,		например,		получать		информацию
об эволюции профиля T^2\x,t), зная							автомодельное			решение
l<\x,t)	[59].
Удается		сравнивать		не	только	различные		решения			одно

го, но и решения разных уравнений, что особенно важно в прикладных задачах, где k(T\, и Q(T) могут иметь достаточно

сложный вид. Такой подход получил название операторного сравнения [61, 62]. К примеру, решения уравнений

U(V>= k(v){u(v)'! Vu(v)! )Ды(У) + ^	14um j )t
У=1,2,
можно сравнить, если выполнены неравенства

k(2\p,q) — k(\p ,q ),

k(\ p ,q )(fX p ,q ) Ь k(2\p,q)Q(\p ,q ),

ы^(х,0) > и@\х,0).

В работах [61, 62] был		установлен новый подход к исследо
ванию	асимптотической	стадии процессов (так	называемый
метод	приближенных автомодельных решений). Оказалось,			что
при t	—> tf некоторые	совершенно различные	уравнения,	в

том числе и те, которые не имеют автомодельных решений,

ведут себя одинаково. Они сходятся к решениям ь'которых

вырожденных	базовых уравнений, которые	уже могут иметь
такиерешения.	При этом в зависимости от	величины предела

В. = lira [k(u)/k'(u)Y ■ И-»00

базовые решения будут различными. Например, при —» он

такое приближенное автомодельное решение, к которому схо

дится решение исходной задачи (2.3) при t —> t{,		удовлет
воряет уравнению первого порядка типа Гамильтона		- Якоби
[62]	„
k(v)	„
у = -------	\|7о\|2 + Q(v).
v+1

В настоящее время получен также ряд строгих результатов, касающихся локализации решений, оценки времени обострения, устойчивости первых собственных функций нелинейных сред [58].

Таким образом, в модели тепловых структур автомо

дельные решения выступают не как вырожденные случаи или решения некоторых специальных уравнений. Они описывают

асимптотику процессов в широком классе различных нелиней

ных сред, являются эффективным инструментом теоретического

анализа,	определяют законы, по которым простые структуры
могут бы„ть объединены в сложные.
Мы обсудили некоторые понятия, введенные при иссле
довании	процессов в нелинейных средах: «режимы с	обостре-
нием»,	«локализованные процессы», «диссипативные	струк

туры». В некоторых физических задачах эти понятия играют

ключевую роль. Обратим внимание на некоторые из них.

С 60-х годов параллельно в СССР и США велись работы

по лазерному термоядерному синтезу (ЛТС). Этот проект при

успешном завершении			смог бы изменить саму постановку энер
гетической		проблемы	(но, конечно, поставил	бы	ряд новых).
Идея	очень	проста:	на короткое время сжать мишень из дей
терия	лазерными импульсами и нагреть до			таких	температур,

чтобы стала возможной термоядерная реакция. Сверхвысокое

сжатие	позволяет намного	снизить	требования		к	лазерам.
«В лазерном термоядерном		синтезе,	-	писал	американский
ученый	Дж.Наккольс, - мы	пытаемся		использовать		преиму

щества следующего важного принципа: для сжатия мишени в 10 тысяч раз по отношению к ее нормальной плотности требуется

только один процент той энергии, которая нужна,	чтобы	на
греть мишень до температуры зажигания» [Д21].
Выяснилось, что оптимальные условия для	такого	син

теза будут созданы, если мощность лазера можно менять в режиме с обострением I * (tf - t)s, s < 0. Режимы с обост

рением и новый подход к решению крупной научно-технической задачи оказались тесно связанными. Об этом периоде в проб леме ЛТС подробно рассказывается в книге [Д21].

Изучение проблемы ЛТС привело к расцвету вычисли

тельного эксперимента в физике плазмы. Система настолько

сложна, что без вычислительного эксперимента нельзя рассчитывать на успех натурного, нельзя браться за созда

ние уникальных эспериментальных установок. Необходимостью

стало	появление нового поколения	вычислительных	методов,
более	глубокий анализ различных физических явлений.
	Одно из явлений, подвергшихся	такому анализу,	- само

фокусировка и коллапс ленгмюровских волн. Плазма, как известно, состоит из электронов и ионов, плотности зарядов которых приближенно равны. Представим, что электроны смес

тились относительно ионов. Тогда возникнет электрическое

поле, которое стремится возвратить электроны в положение

равновесия, возникают колебания, называемые ленгмюровски-

ми, и по плазме начинают распространяться волны с близкой


частотой.	Их может возбуждать лазерный импульс или		элект
ронный пучок.		Появление ленгмюровских волн в плазме	может
сопровождаться		появлением локализованных каверн (кавито-
нов), в	которых растет напряженность электрического		поля и

понижается плотность		плазмы.		При этом, хотя система и не
является	диссипативной,		в ней	возможны режимы с обострени
ем. Здесь	одномерные	и	двумерные задачи принципиально от

личаются. Например, самофокусировку ленгмюровских волн мо делируют с помощью уравнения

i(pt + Д<р + <р\<р\2 = 0 ,

где (р - комплексная функция, которая характеризует напря женность электрического поля. В одномерном случае это уравнение, называемое кубическим уравнением Шредингера, может быть решено аналитически (оно сводится к некоторому линейному уравнению). Его решения - уединенные волны или солитоны. Уравнение имеет бесконечное число законов сохра

нения.

Рис. 2.11. Типичная картина возникновения плазменного шнура. Амплитуда

падающей	волны Е ~ А Н ^ \г), А =	0,55; ОС=	0; У = 1; б = 10,0; /3 = 2,0
В	многомерном случае	решения	качественно меняются -

это локализованные распределения, которые определяются

соотношениями вида <р -	(t -	t^ f(r/ (t	-	г	=	(х2	+
+ у2)1/2. Однако если в	модели	тепловых	структур		показате
ли степеней выражались	через	параметры	среды	Э	и	<г,	то

здесь определение степени у и 5 требует проведения сложных

численных расчетов.	Вопрос о том, каковы у и б, дискутиру
ется до настоящего	времени.

Задачи, связанные с коллапсом и самофокусировкой

ленгмюровских волн,		обсуждаются	в	обзоре	[89].		Примеры
алгоритмов, созданных для анализа таких					процессов,			дает
работа	[76].
Примеры множества нестационарных диссипативных струк
тур дает другая область физики			плазмы		- теория			СВЧ-
разряда. Электромагнитные волны			сверхвысокой			частоты			в
газе могут привести к возникновению				плазмы.		Это	явление
дает	принципиальную	возможность	. создать		слой	плазмы			в

атмосфере, который может служить отражающим экраном

(«загоризонтное» телевидение). Если бы	этот проект	ока
зался приемлемым с экологической точки	зрения, то	такой

подход смог бы конкурировать с трансляционными спутниками.

качестве примера математической модели, возникающей

в этой

области,

можно

привести

систему

уравнений [40]

Л\г д£_

еЕ = о,

е = 1 -

п ( 1 +

idn)F,

д г [

d rJ

дп

+ п(\Е\2&1&

1)л

ап ,

r ( rVne> =

в*

^i — (rvn) = О,

dt	г dr
I -А(п>)	= %nn \E\2F,	F = Л ± Л
r dr	e	s2

Она описывает пространственно-временную эволюцию неравно весного заряда, формируемого полем сходящейся цилиндри ческой волны в условиях сильного нагрева газа. Температура

электронов предполагается много больше температуры

нейтрального газа. Такой сильно неравновесный режим пред


ставляет	наибольший		интерес для			ряда прикладных задач.
В этой модели Е характеризует амплитуду электромаг
нитной	волны,	п -	плотность		газа,		v	-	его	скорость,	ng -
концентрацию		электронов,		б,	/3,	а,	у,	k	-	постоянные,	ха
рактеризующие		свойства		газа.	Газодинамические процессы						при

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 556 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги