Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 5511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Краевая

задача (3.25), очевидно, совпадает с (3.12).

Исходная

переменная

u(t,x,e)

связана

медленной

амплиту

дой

£(т,дс)

при

d * О

формулой

u(t, дс.е)

1/2

[€(т,х)

+ £(т,х)

] +

0(е>.

Пусть

теперь

zQ >

Тогда матрица A(zQ) имеет на

мнимой оси

только

одно

простое

нулевое

собственное

значе-

ние:

A(zQ)a

Л/

(a, b)

Можно

показать,

0, A*(zQ)b

Л/

(Da^b)

где

а^

решение

уравне-

что (Da,b) = 0, А

ния

A (^Q)a 1

= Da. Введем также величину

+ 0,

где

0(e)

(-1,

определяется

равенством 0 =

Можно показать, что в этом случае аналогом укороченной нормальной формы является краевая задача

+ 2п0т)ж + (а - л202)? + Ь%£2 + т)2),

Vt = Vxx ~ 2пв^х + (а					- я202)т> + Ьу(€2 +			п2),	(3.26)
	€х(0.	0 =	€*(1.	0- =	40,	t) =	ТК1, t) =	о,
		О i X S 1, - 1 < 0 s 0.
Здесь а и b -		постоянные			величины,		которые	определяются
матрицами	AQ,	Ay	D и	функцией		F.	Имеет место		следующее
утверждение [ДА].				Пусть при некотором 0				= 0Q краевая
. Т е о р е м а			3.1.
задача	(3.26)	имеет		состояние			равновесия		£о(х,0о),

т)о(х,0о) и спектр линеаризованной на этом состоянии равно весия краевой задачи не пересекается с мнимой осью.

	Тогда	найдется	такая		последовательность е^ —*		+ 0,
что	система	(3.23)	имеет	состояние равновесия		uQ(x,ek) =
=	^JL^o(x,eo)cos(nn(ek)x)			+	T)o(x,0o)sin(nn(efe)jc)]a	+	0(e)
той	же. устойчивости,		что	и	€О(*,0О), TIQ( X ,Qq ).	Выбор	е^
определяется условием			постоянства величины 0Q = 0(efe).

101

Обратим внимание на интересный качественный эффект,


следующий		из	(3.26).	Если	в	уравнении Курамото			-	Цузуки
данной	системе		реакция -		диффузия		соответствовал			один
набор	параметров		CyC^l,		то	здесь	одной	системе		(3.23)
соответствует		целый		отрезок		а = const и		0 е	(-1,0], и

асимптотический анализ не позволяет указать, какое 0 будет реализоваться. Малое возмущение длины области приводит к

тому,	что система «сдвигается» вдоль линии а =	const.	При
этом	может меняться вид решения. Этоявление	напоминает
«чувствительность по отношению к параметрам»,		ранее	изу
чавшуюся для хаотических систем [258]. Поэтому		такое	явле

ние естественно назвать «чувствительностью по отношению к малому параметру».

В ряде случаев		возникают более сложные аналоги уко
роченных нормальных			форм.	Пусть существуют		два значения
г01 и г02’	для К0Т0РЫХ			матрицаЛ(г0 .)	(i	= 1,2)	имеет
собственные	значения	с	нулевой вещественной частью.				Матри

ца Л(г01) имеет на мнимой оси только одно простое нулевое собственное значение zQ1 > 0, zQ2 = 0 и матрица A(zQ2)

имеет пару чисто мнимых собственных значений. Квазинор-

мальной

формой

в этом случае является

краевая

задача

€,

€ „

2ndvx +(а

п202)€

+ а д 2

+ V2)

+ c£\v\2. ■

Т1ХХ ~ 2пв£х +(а

п202)т) + 6тК€2

+ г}2)

+ст)|о|2,

= a v xx

"Я2).

(3-23)

€ ,(0 .0

€ ,(1 .0

40, t) =

ТК1.0

О,

V jp ,0

vx(l,t)

X S 1,

-1

< 0 *

где a, b, с и (3 - действительные параметры, а а, у и 5 - комплексные параметры. Ряд свойств этой модели мы обсудим далее.

Близкий подход, связанный с построением иерархии упрощенных моделей, в последние годы активно развивается при исследовании конвективной неустойчивости.

102

При этом удается рассматривать системы, длина и шири

на которых намного превышает характерные размеры яйеек или конвективных валов. Непосредственное численное моделирова ние таких неустойчивостей требует решения трехмерной

гидродинамической задачи в большой области, что связано с огромным объемом вычислений. В то же время решение уравне

ний, возникающих при анализе системы в окрестности термо динамической ветви, намного проще. Обычно при этом получа

ются краевые		задачи	для	системы	двух	параболических
уравнений в двумерной области.
При таком описании часто возникают более сложные
уравнения,	чем	(3.7),	в	которых	фигурируют четвертые
производные	[341]:
W. = W + \ 0 -			i ___ af_ ]2		w -	(w\2w.
т		L ах	^я^r ay2J

Учет различных физических факторов может приводить к усложнению уравнений, получаемых с помощью асимптотических методов [324]. Обсуждение различных способов упрощенного описания конвективной неустойчивости и топологических осо бенностей возникающих течений можно найти в работе [241]. Численное решение получающихся уравнений обычно дает кар тину, хорошо согласующуюся с результатами экспериментов [286].


	Мы обсудили		иерархию упрощенных		моделей	для случая,
когда	оба	коэффициента диффузии		достаточно близки.			Однако
в н;астоящее время активно развивается					исследование		и дру
гого класса		моделей	типа реакция -	диффузия. Один			коэффи
циент	диффузии у		них намного меньше		другого	(D j	= cD2,

е« 1). Такие задачи типичны для моделей морфогенеза,

экологии, физики полупроводников [32, 52, 166]. В этих системах обычно возникают стационарные диссипативные структуры, называемые контрастными. Контрастные структуры содержат чередующиеся участки резкого и плавного изменения переменных.

Пример контрастных структур дают так называемые дич

ковые структуры, типичный вид которых показан на рис.

3.10. Такие структуры могут наблюдаться в модели брюсселятора или в модели А.Тьюринга.

Большие сложности вызывает численное моделирование контрастных структур. Оно требует специальных численных методов, включающих построение адаптивных сеток, узлы которых сгущаются в окрестности больших градиентов.

Рис. З.Ю

Для их описания естественно воспользоваться асимпто тическими методами. Однако стандартный подход здесь непри

меним. Эта задача является сингулярно возмущенной: при е =

= 0 понижается порядок системы уравнений. Поэтому обычно здесь используются качественные представления, возникшие в теории колебаний [52].

В последние годы в работах А.Б.Васильевой и В.Ф.Буту

зова были построены асимптотические разложения решений,

описывающих пичковые структуры, и получен ряд строгих ре

зультатов. «Всплескам» концентраций при таком подходе со

ответствуют внутренние пограничные слои [49].	Развитый
подход допускает обобщение и на пространственно	многомер

ный случай. Дальнейшее развитие этого важного направления исследований, прежде всего связанное с изучением устойчи вости построенных асимптотических решений, представляет большой интерес.

Г Л А В А 4

ОДНОМЕРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Одной из базовых моделей, позволяющих исследовать

сложную	временную упорядоченность и стохастические	режимы
в нелинейных средах, являются отображения отр'езка		в себя,
или, как	их часто называют, одномерные отображения.

Исследование одномерных отображений позволило ввести новые понятия, применимые к большому классу диссипативных

систем, обнаружить ряд новых явлений, ответить на несколь

ко принципиальных вопросов. Как происходит переход от простейших упорядоченных к стохастическим режимам? Как че редуются в пространстве параметров области, в которых наб людается порядок и хаос? Как происходит усложнение упоря доченности при изменении параметра? Каковы основные типы стохастических режимов в таких системах и способы их опи сания?

Обратим внимание на парадоксальность этих вопросов. В

самом деле, одномерное отображение -			детерминированная
система. Тем не менее процессы, которые			она		описывает,			мо
гут обладать рядом стохастических свойств.
Рассмотрим для определенности простейшую модель, при
водящую	к одномерным отображениям.
Допустим, что нас интересует изменение						численности
какого-либо вида животных в определенном				районе. Один				раз
в год мы считаем их и получаем число			х.	По		этим	данным
можно	построить	последовательность	х^,	х2..........			х^, ...
(п = 1	соответствует	первому измерению).	Для		краткости			бу -

105

дем обозначать ее {х^}. По-видимому, среди этих чисел есть какая-то закономерность. Естественно ожидать, что числен ность популяции в данный год х^+1 зависит от того, сколько животных было год назад, т. е. от величины хп. Таким обра зом, в простейшем случае

			V i	= « v	A>-					<4 1 >
Здесь	f - непрерывная функция,				А	-	параметр,		который зави
сит от того, какую конкретную						задачу		мы	рассматриваем.
Часто	используется		функция	f вида Ах (N-x				):
	V	i =	Xxn(N -	ХП)'	0	-	xn s	N.		(4.2)
	Эта формула показывает, что если АN >								1,	численность
вида	быстро	растет, пока		она	мала		(хп «	N),		и начинает

убывать, когда животных становится слишком много. Удобно

сделать	замену		переменных хп =		x'W ,	А =	А1/N,	при этом
формула	(4.2)	приобретает		вид
	х '	=	А 'х'(1 -	х '),	0 s	х '	s 1.	(4.3)
	п+1		п '	п ’ ’		п		У '

В дальнейшем штрихи у новых переменных будем опус

кать.

Нас интересует вопрос о том, что произойдет с различ

ными видами по прошествии достаточно долгого времени. Для

ответа на него в этой простейшей					модели	достаточно выяс
нить, какой будет последовательность {х^},						п —* ю при		раз
личных	значениях	А.	Отображения		вида	(4.1)	используются
при феноменологическом описании многих других							явлений.
	§ 4.1. Переход к хаосу. Сценарий Фейгенбаума
При небольших		значениях		А	(0 < А < 1)		хп —* О	при
п —* оо	независимо	от	выбора	Ху	Поведение		последователь

ности в этом и в других случаях удобно представлять графи чески.

106

Нарисуем кривую у = f(х) при выбранном значении Л и

прямую	у	= х (рис. 4.1). Отложим Ху по оси абсцисс,						прове
дем вертикаль до пересечения с кривой у					=	f(x)	(точка		А),
затем	из	нее	горизонталь	до пересечения	с линией у = х
(точка	В).	Теперь вновь проведем вертикаль до переселения
с осью	х.	Легко проверить,		что *2 = f(x).	Взяв		точку	х2	за
начальную		и повторив все те же операции,			получим х3,			затем
х4 и т. д.		Из	рисунка видно, что хп —» 0 при			п —» оо.

Из формулы (4.3) следует, что функция f(x) переводит

отрезок

[0,1]

отрезок

[0,А/4]. Если

A s

4, то

все

значе

ния хп лежат на отрезке [0,1]

при

условии,

что

0 ^ Ху ^ 1.

Именно

поэтому

говорят,

что

формула

(4.3)

задает

отображе

ние отрезка

себя.

Пусть теперь А немного больше единицы. При этом пос

ледовательность

(*п)

ведет

себя

по-другому

(рис.

4.2):

{хп} стремится

постоянному

значению

лс* >

применении

к исходной

биологической

задаче

это

означает,

что числен

ность такого вида по прошествии нескольких лет стабилизи руется и перестанет меняться со временем.

Значение х*		может быть найдено из	уравнения
		** = f(x*.А)-	(4.4)
Все	точки,	удовлетворяющие этому	уравнению,	называют
ся неподвижными точками отображения,			так как хп	= х* при
любом п,	если Ху	= х*.

107

При А < 1 квадратное уравнение х* = Ах*(1 - х*) имеет

один неотрицательный корень х* = 0. При А > 1 неотрица тельных корней два: х* = 0 и х* = (А - 1)/А. При А = 1 не подвижная точка х* = 0 теряет устойчивость, а вновь по

явившаяся	точка		становится	устойчивой.
Нетрудно определить, будет ли устойчивой неподвижная
точка х* отображения f(x).				Пусть	хп =х*	+ Дхп,	где		Дхл -
малое число. Если точка устойчива, то с						ростом	п	величина
\|Дхп\| должна		уменьшаться. Перепишем формулу (4.1)						в	виде
*			*		*	df(x*)
х	+	A V	1 = f(x +	А * „ ) *	к * ) +	- Ш —	Lxn-

При анализе устойчивости особых точек обыкновенных

дифференциальных уравнений показывается, что в невырожден

ном	случае все определяется линейными членами (первый ме
тод	теории устойчивости Ляпунова). Проводя здесь аналогич
ные	рассуждения, можно убедиться, что устойчивость точки

хопределяется поведением отображения

df(x*)

Дхл+1		7Гх		Дхп.	(4.5)
Для того чтобы Дхп	0,	должно		выполняться	неравенство
\| df{x*)			<	1.	(4.6)
'	dx

108

Это и есть достаточное условие устойчивости точки х*. Если

выполнено	противоположное	неравенство,	то можно утверж
дать, что	точка х* будет	неустойчивой.	Если производная

равна единице, то нужно рассматривать следующие члены ряда Тейлора.

Будем дальше увеличивать параметр .А.

Поведение систе

мы

снова

изменится:

последовательности

{х

начиная с

достаточно

больших

п,

будут

чередоваться

два

числа:

а2.

(Точнее

говоря,

последовательность

{дсд}

устроена

так,

что

*2n+i

а\'

Х2п

а2

ПРИ п

“ )■

^ти

числа связаны

соотношениями

а^ =

f(a2),

а2

f(aj. Будем

говорить,

что

вэтом случае отображение (4.3) имеет устойчивый цикл с

периодом

обозначать его S2.

Рис.

4.3

показывает,

как

выглядит

цикл 5

на графике.

Переход

от

неподвижной

точки

(ее

можно

считать

циклом

S1 ) к циклу S2 произошел в результате бифуркации,

которая

получила

название

бифуркации

удвоения

периода.

Точка

х*

при этом

не

исчезла,

однако

величина

df(x*)

меньше

—^

------ стала

- 1 .

При

дальнейшем

увеличении

А последовательность

{х }

опять

изменяется.

Возникает

цикл

х.

—» а,,

х.

S :

—*

4 т

4 т+ 1

° Т

Х4 т +2

- >

а У

Х4 т +3

° 4

ПРИ т

“

ПРИЧвМ

° 2

= fta,),

a3 =

f(a2),

а4

= f(a3),

f(a4)

(рис. 4.4).

109

0,8

Увеличивая далее значение параметра Л, мы увидим цик

лы S8, S16. S32 и т. д. При этом каждый раз цикл Затеряет устойчивость, происходит бифуркация удвоения периода, и


устойчивым		становится		цикл S	2Р+1	Наконец,		при	некотором

значении	А	(его иногда		обозначают		Аш)	формула		(4.3)	дает
уже непериодическую			последовательность {х^}.
Наблюдаемая картина оказывается очень интересной. Во-
первых,	в	поразительно		простой	модели		(4.1)	заложено		очень
сложное	поведение.		Во-вторых,		в	ней	удается		проследить

большое количество бифуркаций, приводящих к усложнению ре

шения.

Сделать

это

более

сложных

моделях гораздо

труд

нее. В-третьих, при

0 < А < Аш устойчивы только циклы,

пе

риод

которых

равен

2Р.

Хотелось

бы

понять,

чем

это

вызва

но,

изучить

поведение

модели более

подробно.

Наряду

отображением

(4.1),

удобно

рассмотреть

отоб

ражение

„

v , - « « * „ » 5 f 4 > -

<4-7>

этой

главе

fn(x)

всегда

будет

соответствовать

п-й

итерации функции f.

В нашем случае вид функции f (х) пока

зан

на

рис.

4.5

4.6.

Первый

рисунок

соответствует

устой-

чивой

неподвижной

точке,

второй

устойчивому

циклу

5 .

График

пересекается с

прямой

во

всех

неподвиж

f (х)

но

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 5511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги