ствию внезапно возрастающего внутреннего давления. В ра­ боте Агабабян [1] построены кривые, характеризующие рас­ пространение прямых и отраженных от свободной поверх­ ности волн.

§ 12. Сейсмические задачи и задачи о колебаниях

Фундаментальные исследования Лэмба [1] по динамике тюлубесконечного тела (1904) привели к появлению группы русских работ и, независимо, — группы работ в западных странах. Некоторые из работ возникли из сейсмологических проблем (Лэмб), другие — из технических задач, например из задачи о записи ударных воздействий или задачи о дей­ ствии на фундамент при вибрациях машин. В обоих случаях проводились и соответствующие экспериментальные исследо­ вания.

Статья Гутина [1] связана с ранними работами Соболе­ ва [1], Смирнова и Соболева [1], Нарышкиной [1] и Шер­ мана [4], посвященными колебаниям полупространства. Петрашень [1, 2] расширил новейшие повторные исследования

.двумерных задач, рассмотрев упругий слой с сосредоточен­ ным импульсивным возмущением на поверхности. Ему уда­ лось построить кривые, обнаруживающие характерную осо­ бенность, вызванную конечной толщиной слоя: движение по­ верхности приобретает характер затухающих колебаний. Для простейших вибрационных возмущений Гутин показал, что, комбинируя асимптотические (для поверхности) формулы Лэмба с формулами, выражающими законы отражения пло­ ских волн и теорему взаимности, можно найти асимптотиче­ ские выражения для смещений внутри тела. Аналогичные ре­ зультаты с помощью других методов получили Миллер и Персей [1]. Возмущение ступенчатой формы в случае внут­ реннего линейного источника исследовалось Лепвудом [1] для полупространства со свободной поверхностью и Ньюлендсом [1] для полупространства и покрывающего его упругого слоя.

Использованием и развитием теории Лэмба для исследо­ вания взаимодействия упругого полупространства и вибри­ рующей машины, по-видимому, впервые занимался Рейсснер (1936). Дальнейшие исследования (учет раскачивания, по­ перечных движений, определение полей напряжений и пе­ ремещений внутри тела) были проведены Байкрофтом [1], Миллером и Персеем [1] и Арнольдом, Байкрофтом и Ворбертоном [1], которые получили экспериментальное подтвержде­ ние своих результатов.

§ 13. Заключительные замечания

Как отмечалось во введении, где указаны тема и цель данного обзора, некоторые важные разделы теории упру­ гости пришлось из обзора исключить, хотя они в последнее время привлекают все большее внимание. Одним из таких разделов является теория конечных деформаций. Помимо по­ лученных ранее общих теорем, здесь появилось большое число разнообразных и противоречивых формулировок об­ шей теории, которые приводят к малоправдоподобным ре­ зультатам, не связанным ни с экспериментами, ни с техни­

все время растет, причем эти работы публикуются на английском языке. Чтобы следить за ними, необходимо в ка­ честве введения ознакомиться с книгой Грина и Церна [1], а в дальнейшем использовать реферативные журналы Applied Mechanics Reviews и Mathematical Reviews l). Теория конеч­ ных деформаций представляет первостепенный интерес не только для резиноподобных материалов, но равным образом и для металлов в связи с проблемами устойчивости и взаимо­ действия нагрузок разного типа (например, с проблемой из­ менения крутильной жесткости при растяжении).

Некоторые вопросы не включены в обзор, несмотря на то, что им посвящен ряд малоизвестных работ, преимущественно русских. Сюда относятся кручение и изгиб при малых де­ формациях; растяжение, кручение и изгиб стержней, на­ чально слабо изогнутых или закрученных, или же сложных по структуре (например, цилиндр с продольной полостью, за­ полненной другим материалом); задачи для параболоидных, эллипсоидальных и сферических поверхностей; общая дина­ мическая теория (а не частные решения) упругих тел, осо­ бенно теория колебаний. Теория кручения по Сен-Венану

А г а б а б я н Е. X. [1], Укр. матем. журн., 5, 1953, 375— 379.

А р н о л ь д , Б а й к р о ф т и В о р б е р т о н ( A r n o l d R., B y c r o f t G.

Математическая

теория

пластичности

Ф. Г. ХОДЖ

Соколовского, опубликованная на русском языке в 1946 г. [24.23]. Наша цель состоит в первую очередь в том, чтобы дать обзор работ, выполненных после появления названных выше книг. Поэтому мы не будем уделять места тем вопро­ сам, которые нашли отражение в одной или нескольких из этих книг. Исключение будет сделано в тех случаях, когда это необходимо для ясности изложения.

Если образец материала подвергается простому растя­ жению, его механическое поведение определяется кривой на­ пряжений— деформаций и сжимаемостью. Хотя действитель­ ная форма кривой напряжения — деформации зависит от ис­ пытуемого материала, некоторые ее особенности являются общими для почти всех используемых в конструкциях ма­ териалов. При достаточно малых значениях напряжений связь между напряжениями и деформациями является ли­ нейной и обратимой. В этом случае поведение материала на­ зывают упругим. При несколько более высоких значениях напряжений эта связь становится нелинейной и необрати­ мой, и мы имеем пластическое поведение материала. Пере­ ход от упругого поведения к пластическому может быть по­

в случае фиг. 1,6 оно соответствует определенному физиче­ скому явлению.

Действительные кривые, представленные на фиг. 1,а, и б, трудно использовать для решения сложных задач, поэтому зачастую желательно аппроксимировать их сравнительно про­ стыми выражениями. Очевидно, можно использовать ряд ли­

упругому поведению, а участок ВС — пластическому. Если участок ВС горизонтален, мы получаем кривую для идеально­ пластического материала, представленную на фиг. 1, а. Нако­ нец, если полные деформации велики по сравнению с упру­ гими деформациями, то последними можно пренебречь, что приводит нас к теории жестко-пластических тел (фиг. 1, д и е).

До сих пор мы не могли провести различия между пла­ стичностью и нелинейной упругостью. Это различие возни­ кает при рассмотрении разгрузки. Разгрузка нелинейно уп­

маются первые приращения нагрузки, соответствующие при­ ращения деформаций будут упругими, так что наклон кривой напряжения — деформации будет тем же, что и при началь­ ной стадии нагружения. Таким образом, если материал на­ гружается и переходит в пластическую область вдоль АВС

Ф и г . 1. Кривые напряж ений — деф орм аций .

а —алюминий; б — мягкая сталь; в —кусочно-линейная кривая;

ский материал.

(фиг. 1), а затем подвергается разгрузке, то начальный на­ клон CD будет таким же, как начальный наклон АВ.

Если разгрузка продолжается и прикладывается отрица­ тельная нагрузка, то в конце концов материал будет пласти­ чески течь при сжатии. Для идеально-пластического мате­ риала предел текучести при сжатии будет постоянной

материала, и для простоты мы будем считать, что он равен пре­ делу текучести при растяжении. Однако для упрочняющегося материала предел текучести при сжатии может зависеть от упрочнения при растяжении, достигнутого до разгрузки. Это свойство более подробно будет рассмотрено в гл. 2.

Некоторые важные различия между упругостью и пла­ стичностью вытекают непосредственно из предшествующих рассуждений. Наиболее существенным является вопрос о единственности. Если образец разгружается вдоль пути CDE, то он проходит через те же напряжения и деформации, что и при первоначальном нагружении вдоль АВС, но при ином между ними соответствии. Таким образом, на всем пути нагружения напряжения уже не будут единственным обра­ зом определяться деформациями (и обратно).

По текущим данным нельзя даже сказать, будет ли ма­ териал упругим или пластическим. Например, в точках D на путях разгрузки CDE материал будет упругим, тогда как де­ формации, соответствующие этим точкам на начальном пути нагружения, будут пластическими.

Так как предсказания, проистекающие из упругого или пластического поведения, совершенно различны, то важно четко сформулировать различие между этими двумя видами поведения.

Это различие можно провести по существу в двух отно­ шениях. С одной стороны, после того как материал прошел через некоторую данную историю напряжений и деформаций, будут существовать такие два числа, называемые «мгновен­ ными пределами текучести» («current yield stresses») при сжатии и при растяжении, что поведение материала будет упругим, пока напряжения заключены между двумя этими числами. Сначала эти две величины численно равны друг

растяжении и сжатии будут соответствовать уровням напря­ жений в С и £ соответственно, тогда как первоначально они соответствовали уровню напряжений в В (со знаками плюс и минус).

Мы установили, что поведение будет упругим, пока зна­ чения напряжений заключены между величинами мгновен­ ных пределов текучести. Однако если поведение будет пла­ стическим, то даже в том случае, когда напряжения дости-

гают мгновенного предела текучести, необходимо выполнить второе условие, а именно: скорость изменения напряжений должна быть неубывающей на мгновенном пределе теку­ чести при растяжении и невозрастающей на мгновенном пре­

При испытании на простое растяжение это последнее тре­ бование для пластического течения можно отнести к ско­ ростям деформаций, а именно: для пластического течения при растяжении скорость деформаций должна быть поло­ жительной, а при сжатии эта скорость должна быть отри­ цательной.

Главы 1 и 2 посвящены обобщению этих представлений на случай многоосных состояний напряжений. В частности,

вгл. 1 рассматривается поведение идеально-пластических тел,

ав гл. 2 — поведение упрочняющегося материала. Глава 3 по­ священа некоторым специальным случаям, при которых ма­ териал обнаруживает ограниченную независимость от исто­ рии напряжений. В гл. 4 мы устанавливаем и доказываем некоторые экстремальные принципы, справедливые для тео­ рии пластичности.

Остальная часть обзора посвящена приложениям теории.

Вгл. 5 довольно подробно изучается одна элементарная за­ дача, выбранная для иллюстрации существенных особенно­ стей рассмотренных теорий. В заключение в гл. 6 и 7, чтобы дать представление о современных методах решения задач теории пластичности, мы более кратко описываем другие задачи. Особое внимание уделено важному вкладу советских ученых в теорию пластичности.

лой пластинки, рассмотренном более подробно в гл. 5, удоб­ но положить

где У — предел текучести при растяжении, 2h — толщина пластинки и а — ее радиус. В этом случае все напряжения и деформации будут безразмерными, и внутренняя энергия, отнесенная к единице площади, в соответствии с (1.1) будет равна

U = Mrxr-\-M,4 = ^ - Q iqi.

В качестве второго примера рассмотрим случай радиально симметричной деформации оболочки вращения. Обозначим через Щ и М¥ моменты, отнесенные к единице длины, а че­

Здесь легко опять убедиться, что

U = 2YhQlql.

Учитывая наличие связи между напряжениями и дефор­ мациями, мы будем выбирать в качестве обобщенных пере­ менных только такие величины, которые могут влиять на ве­ личину внутренней энергии. Например, в случае обычной тео­

мации сдвига не учитываются.

В линейной теории упругости обобщенные напряжения и деформации будут линейными функциями напряжений и де­

Значения By можно всегда выразить через модуль упру­

гости и коэффициент Пуассона (или в более общем случае — через анизотропные упругие постоянные). Например, при