Условие (14.5а) показывает, что Р должно быть равно еди­ нице, так что предполагаемое решение для напряжений примет вид

Очевидно, что это решение не нарушает условия текучести. Поле скоростей деформаций, соответствующее (14.6), по­

лучается из условий

Следовательно, W будет линейной функцией, и на основании (14.56) поле скоростей выразится в виде

Здесь W0 есть неопределенная положительная постоянная. Заметим, что при \ = 0 величина угла наклона испыты­ вает разрыв. Фактически это происходит лишь потому, что мы чересчур идеализировали материал. Для реального ма­ териала подобный разрыв должен соответствовать малой области резко меняющегося наклона и, следовательно, боль­ шой кривизны. В пределе кривизна должна стать бесконеч­ ной, что противоречит первому уравнению (14.7). Однако так как начало координат находится в режиме В, мы должны

заменить (14.7) условиями

qx = - W " > 0, ?2 = - ^ - > 0.

Эти условия будут удовлетворены при отрицательном бес­

§ 15. Упругий идеально-пластический материал

Если значение Р меньше Ро, то жестко-пластическая пла­ стинка, рассмотренная в предыдущем параграфе, не будет испытывать каких-либо деформаций и будет невозможно исследовать напряжения. Поэтому для исследования этогослучая следует рассмотреть упругие деформации. Ранее это было выполнено Нахди [15.1], Гопкинсом [15. 2], Хейзорнсвейтом [15.3] и Текиналпом [15.4].

Определим, как и прежде, безразмерные переменные и предположим, что диаграмма напряжений — деформаций,.

выраженная в этих переменных, будет упруго-идеально-пла­ стической. Нужно подчеркнуть, что это допущение будет эквивалентно предположению об упруго-идеально-пластиче­ ском поведении материала только в частном случае пла­ стинки с идеализированной слоистой конструкцией. Однако даже для пластинки с однородным поперечным сечением такое предположение дает достаточно близкое приближение к действительному решению.

Итак, при достаточно малых Р пластинка будет всюду упругой. В этом случае решение определяется зависимо­ стями (1.6), (14.1) и (14.3). Разрешив сперва (1.6) и (14.3) относительно напряжений, получим

в ' = - т ( г + ' т ) - I

(15.1)

<ь= — H »W "+-T-).

где Ъ определяется равенством

Подстановка этих значений в (14.1) приведет к уравнению третьего порядка относительно W, общее решение которого, как легко убедиться, будет следующим:

(15.3)

Постоянные определяются из граничных условий (14.5). Полное упругое решение можно записать в таком виде:

ний Р, при которых точка с координатами Qb Q2 лежит внутри рамки текучести на фиг. 13. Рассуждения удобно проводить, пользуясь профилем напряжений, который полу­

чается нанесением кривой Qi = Qi(E), Q2 = 0г(£). 0-<£- <1, определяемой зависимостями (15.4). Характерные профили напряжений показаны на фиг. 13, где для определенности v принято равным ‘/з- Очевидно, что критическая точка

в пластинке находится в центре, так что пластинка останется упругой, пока Qi = Q2 < 1 при | = 0. Таким образом, макси­ мальная упругая нагрузка будет равна

остаются справедливыми для упругой области, но граничные условия при | = 0 будут уже непригодны. Однако условия

Q2 = — ( l _ v ) | ~ 5 ( l - v ) + l(3 + - v )P — |(l+ 3 v )P P . (15.6B)

Используя те же соображения, что и приведенные в пре­ дыдущем параграфе, можно показать, что единственной разумной гипотезой будет предположение, что пластический профиль напряжений принадлежит линии ВС на фиг. 13. Следовательно, Q2 имеет постоянное значение, равное еди­ нице, и решение уравнения равновесия (14.1) дает полное решение для напряжений:

Здесь постоянная интегрирования определяется так, чтобы было удовлетворено условие изотропии (14.5в) в центре пла­ стинки.

На основании (1.7) и (8.4) закон напряжений — дефор­ маций в пластической области примет вид

напряжениях, так что в данном случае наклон должен быть всюду непрерывен. Так как нельзя выбрать ненулевые зна­ чения А и В, при которых удовлетворялись бы условия

наша гипотеза, принятая для решения задачи, оказывается неверной.

Для изыскания другой гипотезы заметим, что мы можем опять использовать аргументы, выдвинутые в § 14 против использования стороны АВ, но аргументы, выдвинутые там

Ф и г . 16. Х арактер переги бов пластинки при Р = 1 , 5 .

против применения угла В, будут уже недействительными. Интуитивно можно ожидать, что величина Qi становится рав­ ной нулю только при £ = 1, а всюду в других местах она положительна. Поэтому разумно предположить, что профиль напряжений принадлежит стороне АВ при у < £ < 1 и углу В

вает, что В = —А. Подстановка этих равенств в уравнение равновесия (14.1) дает уравнение для Q\. Оно легко ре­ шается, причем постоянная интегрирования определяется из

Характерные особенности решения показаны на фиг. 16—18, взятых из работы [6.3].

Предыдущие рассуждения основывались на простой кине­ матической модели упрочнения, в которой рассматривались лишь моменты Мг и М?. Для полного кинематического упро­

чнения, очевидно, необходимо рассматривать нормальные

напряжения N г и N v но легко показать, что для пластинки

с симметричными поперечными сечениями они не влияют на результаты.

Имеется, однако, более тонкое обстоятельство: мы не учитывали обобщенное напряжение Q3, которое опреде­ ляется как

А

Так как o2 = 0, величина Q3, разумеется, равна нулю. Однако если учесть направление Q3 при определении рамки текуче­ сти, то можно видеть, что фиг. 13 представляет собой неорто­ гональное сечение равносторонней шестигранной призмы, ось которой совпадает с линией Qi = Q2= Q3. Соответствую­ щий анализ приведен в [5.2].